1、12016-2017 学年高中数学 第 2 章 圆锥曲线与方程 2.2 抛物线的简单性质课后演练提升 北师大版选修 1-1一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1顶点在原点，对称轴是 y 轴，并且顶点与焦点的距离等于 3 的抛物线的标准方程( )A x23 y B y26 xC x212 y D x26 y解析： 由顶点与焦点的距离等于 3，所以 3， p6.又因为对称轴是 y 轴，所以选p2C.答案： C2设抛物线的顶点在原点，焦点 F 在 y 轴上，抛物线上的点( k，2)与 F 的距离为4，则 k 的值为( )A4 B2C4 或4 D2 或2解析： 由题意知抛物线方程可设为 x22
2、py(p0)，则 24， p4， x28 y，将( k，2)代入得 k4.p2答案： C3过抛物线 y24 x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1， y1)， B(x2， y2)两点，若x1 x26，那么| AB|等于( )A10 B8C6 D4解析： 因 AB 线段过焦点 F，则| AB| AF| BF|.又由抛物线的定义知| AF| x11，| BF| x21，故| AB| x1 x228.答案： B4以抛物线 y22 px(p0)的焦半径为直径的圆与 y 轴的位置关系是( )A相交 B相离C相切 D不确定解析： 如图，取 AF 中点 C，作 CN y 轴， AM y 轴，可得| CN| |
3、AF|.12故选 C.2答案： C二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)5抛物线 y216 x 上一点 P 到 x 轴的距离为 12，则点 P 与焦点 F 间的距离|PF|_.解析： 由于点 P 到 x 轴的距离为 12，可知点 P 的纵坐标为 12，点 P 的横坐标 x 9.y216 121216由抛物线的定义知| PF| x 9413.p2答案： 136过抛物线 y22 px(p0)的焦点 F 作倾斜角为 45的直线交抛物线于 A、 B 两点，若线段 AB 的长为 8，则 p_.解析： 设 A、 B 两点的坐标分别为( x1， y1)、( x2， y2)，则 x1 x2 p8.设直线
4、AB 的方程为 y x ，p2联立 y22 px，得 x23 px 0，p24 x1 x23 p.3 p p8，即 p2.答案： 2三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)7正三角形 AOB 的两个顶点在抛物线 y22 px(p0)上若 S OAB36 ，试确定抛物3线的方程解析： 由于正 AOB 的 A、 B 两点在抛物线 y22 px 上，依对称性知 AOX30，其中 X 为线段 AB 与 x 轴的交点设 OA 所在直线方程为 y x.33方法一：联立Error!得 A(6p,2 p)， B(6p，2 p)3 3则| AB|4 p.3由 S AOB (4 p)212 p236 ，34
5、3 3 3得 p23， p .33故抛物线的方程为 y22 x.3方法二：设| OA| a，由 S AOB a236 知 a12.34 3即| OA| 12，x2 (33x)2 |23x|得 x6 ， y (6 )6.333 3由于 A(x， y)在抛物线 y22 px(p0)上，所以 A(6 ，6)3由点 A(6 ，6)在 y22 px 上得 p .3 3故抛物线的方程为 y22 x.38.已知直线 l 经过拋物线 y24 x 的焦点 F，且与拋物线相交于 A、 B 两点(1)若| AF|4，求点 A 的坐标；(2)求线段 AB 的长的最小值解析： 拋物线 y24 x 的焦点 F(1,0)，
6、准线为 x1.(1)设 A(x0， y0)，则| AF| x01|4， x03， y02 ，3 A(3，2 )3(2)当直线 l 的斜率不存在时，| AB|4，当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为y k(x1)，由Error! ，得 k2x2(2 k24) x k20，易知 k0，令 A(x1， y1)， B(x2， y2)， x1 x2 ，2k2 4k2| AB| x1 x224 4，4k2综上所述，| AB|4，即线段 AB 长的最小值为 4. 尖 子 生 题 库9(10 分)给定抛物线 C： y24 x， F 是抛物线 C 的焦点，过 F 的直线 l 与 C 相交于A， B 两
7、点4(1)设直线 l 的斜率为 1，求以 AB 为直径的圆的方程；(2)若| FA|2| BF|，求直线 l 的方程解析： (1)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，AB 中点 M(x0， y0)， l： y x1，联立Error! ，消去 y 得 x26 x10， x0 3， y0 x012，x1 x22故圆心 M(3,2)，半径 4，|AB|2 x1 x2 p2从而以 AB 为直径的圆的方程为( x3) 2( y2) 216.(2)显然直线 l 的斜率存在，故可设直线 l： y k(x1)，联立Error! ，消去 y 得 k2x2(2 k24) x k20，则 x1x21，故 x1 .1x2又| FA|2| BF|， 2 ，则FA BF x112(1 x2)由得 x2 (x21 舍去)，12所以 B ，得直线 l 的斜率为 k kBF2 ，(12， 2) 2直线 l 的方程为 y2 (x1)2
