1、12017春高中数学 第 1章 解三角形综合素质检测 新人教 B版必修 5 (时间：120 分钟 满分 150分)一、选择题(本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1 ABC的内角 A、 B、 C的对边分别为 a、 b、 c，若 c ， b ， B120，则 a2 6等于 ( D )导 学 号 27542185A B26C D3 2解析 在 ABC中，由正弦定理，得sinC ，又 B120， C为锐角，csinBb 2326 12 C30， A30， a c .22在 ABC中，若 AB 1， BC 1， AC ，则 B等于 ( C
2、 )3 3 6 导 学 号 27542186A30 B45C60 D120解析 cos B ， B60.AB2 BC2 AC22ABBC 123在 ABC中， A45， AC4， AB ，那么 cosB ( D )2 导 学 号 27542187A B31010 31010C D55 55解析 BC2 AC2 AB22 ACABcosA1628 cos4510， BC ，2 10cosB .AB2 BC2 AC22ABBC 554在 ABC中，角 A、 B、 C所对的边分别为 a、 b、 c，若 C120， c a，则2( A )导 学 号 27542188A ab B a0， a2b2， a
3、b.5已知 ABC的一个内角为 120，且三边 a、 b、 c满足 a b4， c b4，则ABC中最小角的余弦值为 ( C )导 学 号 275421892A B514 914C D1314 1114解析 由 a b4， c b4，知 A120，于是 cos120 b10， c6， a14，故 ABC中最小角 C的余弦值为b2 b 4 2 b 4 22b b 4 12cos C .142 102 6221410 13146 ABC的三边分别为 2m3， m22 m， m23 m3( m0)，则最大内角度数为( B )导 学 号 27542190A150 B120C90 D135解析 解法一：
4、 m0， m23 m32 m3，m23 m3 m22 m.故边 m23 m3 对的角为最大角，由余弦定理，得cos ， 2m 3 2 m2 2m 2 m2 3m 3 22 2m 3 m2 2m 12 120.解法二：特值法取 m1，则三边长为 5,3,7cos ， 120.52 32 72253 127在 ABC中，已知 BC5 ，外接圆半径为 5.若 ，则 ABC的周长为3 AB AC 112( A )导 学 号 27542191A11 B93 3C7 D53 3解析 由正弦定理，得 25，sin A ， A60或 120. 53sin A 32 AB ， A60， bccos 60 ， b
5、c11. a2 b2 c22 bccos 60AC 112 112 b2 c2 bc( b c)23 bc75，( b c)2108， a b c5 6 11 .3 3 38在 ABC中，关于 x的方程(1 x2)sinA2 xsinB(1 x2)sinC0 有两个不等的实数根，则 A为 ( A )导 学 号 27542192A锐角 B直角C钝角 D不存在解析 把已知方程整理得(sin Asin C)x22sin Bx(sin Asin C)0，3 4sin 2B4(sin Asin C)(sinAsin C)0，即 sin2Bsin 2Csin 2A0. b2 c2 a20，cos A0，可
6、知 A为锐角9若 ABC的内角 A、 B、 C所对的边 a、 b、 c满足( a b)2 c24，且 C60，则 ab的值为 ( A )导 学 号 27542193A B8443 3C1 D23解析 由( a b)2 c24 得( a2 b2 c2)2 ab4. a2 b2 c22 abcosC，方程化为 2ab(1cos C)4， ab .21 cosC又 C60， ab .4310在 ABC中， a2 b2 ab c22 S ABC，则 ABC一定是 ( B )3 导 学 号 27542194A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形解析 由 a2 b2 ab c2得：cos
7、 C ，a2 b2 c22ab 12 C60，又 2 S ABC a2 b2 ab，32 absin60 a2 b2 ab，312得 2a22 b25 ab0，即 a2 b或 b2 a.当 a2 b时，代入 a2 b2 ab c2得 a2 b2 c2；当 b2 a时，代入 a2 b2 ab c2得 b2 a2 c2.故 ABC为直角三角形11在 ABC中，若| |2，| |5， 5，则 S ABC ( AB AC AB AC 导 学 号 27542195A )A B 532 3C D552解析 | | |cosA10cos A5，AB AC AB AC cos A ，sin A ，12 324
8、 S ABC | | |sinA .12AB AC 53212如图， ABC中， D是边 BC上的点，且 AC CD,2AC AD， AB2 AD，则 sin B3等于 ( C )导 学 号 27542196A B63 33C D66 36解析 设 AD x，则 AC x， CD AC x，32 32在 ACD中，由余弦定理，得 cos CAC2 DC2 AD22ACDC .sin C .34x2 34x2 x2232x32x 13 223在 ABC中，由正弦定理，得 ，ACsin B ABsin Csin B .ACsin CAB 32x2232x 66二、填空题(本大题共 4个小题，每个小
9、题 4分，共 16分将正确答案填在题中横线上)13三角形一边长为 14，它对的角为 60，另两边之比为 85，则此三角形面积为40 .3导 学 号 27542197解析 设另两边长为 8x和 5x，则 cos60 得 x2，另两边长为 16和 10，此三角形面积为64x2 25x2 14280x2S 1610sin6040 .12 314在 ABC中，若 tanA ， C150， BC1，则 AB .13 102 导 学 号 27542198解析 tan A ，sin A ，13 10105由正弦定理，得 AB .BCsinCsinA 10215某小区的绿化地，有一个三角形的花圃区，若该三角形
10、的三个顶点分别用A、 B、 C表示，其对边分别为 a、 b、 c，且满足(2 b c)cos A a cos C0，则在 A处望B、 C所成角的大小为 .3导 学 号 27542199解析 (2 b c)cos A acos C0，由正弦定理，得 2sin Bcos Asin Ccos Asin Acos C0，2sin Bcos Asin( A C)0，2sin Bcos Asin B0. A、 B(0，)，sin B0，cos A ， A ，即在 A处望 B、 C所成的角的12 3大小为 .316.如图，已知梯形 ABCD中， CD2， AC ， BAD60，则梯形的高为 . 19332导
11、 学 号 27542200解析 解法一： BAD60， ADC180 BAD120. CD2， AC ，19 ，sin CAD .19sin120 2sin CAD 5719sin ACDsin(60 CAD) .35738 AD 3.ACsin ACDsin ADC 1935738sin120 h ADsin60 .332解法二：在 ACD中，AC2 AD2 CD22 ADCDcos120， AD22 AD150. AD3 ( AD5 舍去) h ADsin60 .332三、解答题(本大题共 6个小题，共 74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步6骤)17(本题满分 12分)在 ABC中
12、， a、 b、 c分别是角 A、 B、 C的对边，若cosA ，cos C .1010 55 导 学 号 27542201(1)求角 B的大小；(2)若 c4，求 ABC的面积解析 (1)cos A ，cos C ，1010 55sin A ，sin C ，31010 255cos( A C)cos AcosCsin AsinC ，1010 55 31010 255 22cos Bcos( A C) .又0 B， B .22 4(2)由正弦定理，得 ，asinA csinC a 3 .csinAsinC431010255 2 S ABC acsinB 3 4sin 3 4 6.12 12 2
13、4 12 2 2218(本题满分 12分)在 ABC中， C A ，sin B .2 13导 学 号 27542202(1)求 sinA的值；(2)设 AC ，求 ABC的面积6解析 (1)由 C A 和 A B C，2得 2A B,0A .cos2 Asin B，2 4即 12sin 2A ，sin A .13 33(2)由(1)得 cosA .63又由正弦定理，得 ，BCsinA ACsinB7 BC 3 .ACsinAsinB63313 2 C A ， C A，2 2sin Csin( A)cos A ，2 63 S ABC ACBCsinC 3 3 .12 12 6 2 63 219.
14、(本题满分 12分)如图，某海轮以 30 n mile/h的速度航行，在点 A测得海面上油井 P在南偏东 60，向北航行 40 min后到达点 B，测得油井 P在南偏东 30，海轮改为北偏东 60的航向再航行 80 min到达 C点，求 P、 C间的距离. 导 学 号 27542203解析 AB30 20， BC30 40.4060 8060在 ABP中， BAP120， ABP30， APB30， BP sin BAP sin12020 .ABsin APB 20sin30 3在 Rt BCP中，PC 20 .BC2 BP2 402 203 2 7 P、 C间的距离为 20 n mile.7
15、20(本题满分 12分)在 ABC中， a、 b、 c分别为内角 A、 B、 C的对边，且2asinA(2 b c)sinB(2 c b)sinC(1)求 A的大小； 导 学 号 27542204(2)若 sinBsin C1，试判断 ABC的形状解析 (1)由已知，根据正弦定理，得2a2(2 b c)b(2 c b)c，即 a2 b2 c2 bc.由余弦定理，得 a2 b2 c22 bccosA，故 cosA ， A120.12(2)由 a2 b2 c2 bc，得 sin2Asin 2Bsin 2Csin BsinC8 1sin BsinC，sin BsinC .34 14又 sinBsin
16、 C1，故 sinBsin C .12因为 0B90，0 C90，故 B C所以 ABC是等腰的钝角三角形另解： A120且 sinBsin C1，sin Bsin(60 B) sinB cosBsin( B60)112 32又 60B60120 B6090， B30从而 C30. ABC为等腰的钝角三角形21(本题满分 12分)在 ABC中，角 A、 B、 C所对的边分别为 a、 b、 c，已知sin(A )2cos( B C)0.6(1)求 A的大小； 导 学 号 27542205(2)若 a6，求 b c的取值范围解析 (1)由条件结合诱导公式，得sin Acos cos Asin 2c
17、os A，6 6sin A cos A，tan A ，3 30 A， A .3(2) 4 ，bsin B csin C 6sin3 3 b4 sin B， c4 sin C，3 3 b c4 (sin Bsin C)4 sin Bsin( B)3 3234 ( sin B cos B)12( sin B cos B)332 32 32 1212sin( B )60 B ， B ，23 6 656612sin( B )12，69即 6b c12，当且仅当 B 时，等号成立322(本题满分 14分)在 ABC中，角 A、 B、 C的对边分别为 a、 b、 c，已知3cos(B C)16cos BcosC 导 学 号 27542206(1)求 cosA的值；(2)若 a3， ABC的面积为 2，求 b、 c.解析 (1)由 3cos(B C)16cos BcosC，得 3(cosBcosCsin BsinC)1，即 cos(B C) ，cos Acos( B C) .13 13(2)0 A，cos A ，sin A .13 223由 S ABC2 ，得 bcsinA2 ， bc6.212 2由余弦定理，得 a2 b2 c22 bccosA，9( b c)22 bc(1cos A)( b c)216， b c5.由Error! 得Error!或Error!.
