1、12016-2017 学年高中数学 第 2 章 圆锥曲线与方程 3.2 双曲线的简单性质 第 1 课时 双曲线的简单性质课后演练提升 北师大版选修1-1一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1设双曲线 1( a0， b0)的虚轴长为 2，焦距为 2 ，则双曲线的渐近线方x2a2 y2b2 3程为( )A y x B y2 x2C y x D y x22 12解析： 由题意知，2 b2,2 c2 ，则 b1， c ， a ；双曲线的渐近线方程3 3 2为 y x.22答案： C2双曲线 mx2 y21 的实轴长是虚轴长的 2 倍，则 m( )A B414C4 D14解析： 由题意知 m0，方
2、程化为 y2 1，x2 1m a21， b2 ，又 a2 b， a24 b2.1m1 ， m4.4m答案： B3焦点在 x 轴上，虚轴长为 12，离心率为 的双曲线标准方程是( )54A. 1 B 1x264 y2144 x236 y264C. 1 D 1y264 x216 x264 y236解析： b6， ， a8ca 54又焦点在 x 轴上，2方程为 1.x264 y236答案： D4已知双曲线 1( a0， b0)的一条渐近线方程是 y x，它的一个焦点在x2a2 y2b2 3抛物线 y224 x 的准线上，则双曲线的方程为( )A. 1 B 1x236 y2108 x29 y227C.
3、 1 D 1x2108 y236 x227 y29解析： 渐近线方程是 y x， .3ba 3双曲线的一个焦点在 y224 x 的准线上， c6.又 c2 a2 b2，由知， a29， b227，此双曲线方程为 1.x29 y227答案： B二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)5若双曲线 1 的离心率 e2，则 m_.y216 x2m解析： 由 a216， b2 m， c216 m， 4，c2a2 16 m16 m48.答案： 486双曲线 1 的焦点到渐近线的距离为_x24 y212解析： 双曲线 1 的焦点为(4,0)或(4,0)渐近线方程为 y x 或 yx24 y212 3x.由
4、双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等， d 2 .3|43 0|3 1 3答案： 2 3三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)7根据以下条件，求双曲线的标准方程：(1)过 P(3， )，离心率为 ；5 2(2)与椭圆 1 有公共焦点，且离心率 e .x29 y24 523解析： (1)若双曲线的焦点在 x 轴上，设双曲线方程为 1( a0， b0)x2a2 y2b2 e ， 2，即 a2 b2.2c2a2又过点 P(3， )有： 1，59a2 5b2由得： a2 b24，双曲线方程为 1，x24 y24若双曲线的焦点在 y 轴上，设双曲线方程为 1( a0， b0)y2a2
5、 x2b2同理有： a2 b2， 1，5a2 9b2由得 a2 b24(不合题意，舍去)综上，双曲线的标准方程为 1.x24 y24(2)由椭圆方程 1，x29 y24知长半轴 a13，短半轴 b12，半焦距 c1 ，a21 b21 5所以焦点是 F1( ，0)， F2( ，0)5 5因此双曲线的焦点也为( ，0)和( ，0)，5 5设双曲线方程为 1( a0， b0)x2a2 y2b2由题设条件及双曲线的性质，有Error!解得 Error!即双曲线方程为 y21.x248直线 x t 过双曲线 1 的右焦点且与双曲线的两渐近线分别交于 A、 B 两点，x2a2 y2b2若原点在以 AB 为
6、直径的圆内，求双曲线离心率的取值范围解析： 双曲线的渐近线方程为 y x，ba由 x t c 可得| AB| ，2bca4又原点在以 AB 为直径的圆内， c ， a b， 1，bca ba e ， e ，ca 1 b2a2 2离心率 e 的取值范围是( ，)2 尖 子 生 题 库9(10 分)一个椭圆，其中心在原点，焦点在同一坐标轴上，焦距为 2 .一双曲线和13这椭圆有公共焦点，且双曲线的半实轴长比椭圆的半长轴长小 4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为 73，求椭圆和双曲线的方程解析： (1)焦点在 x 轴上，椭圆为 1( a b0)，且 c ，x2a2 y2b2 13设双曲线为 1， m a4，x2m2 y2n2 ，易得 a7， m3.e双e椭 73椭圆和双曲线的半焦距为 ，13 b236， n24.椭圆方程为 1，x249 y236双曲线方程为 1.x29 y24(2)焦点在 y 轴上，同理可求得椭圆方程为 1，x236 y249双曲线方程为 1.y29 x24
