1、12017 春高中数学 第 1 章 解三角形 1.2 应用举例 第 1 课时 距离问题课时作业 新人教 B 版必修 5基 础 巩 固一、选择题1海上有 A、 B 两个小岛相距 10 n mile，从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60的视角，从 B岛望 C 岛和 A 岛成 75的视角，则 B、 C 间的距离是 ( D ) 导 学 号 27542109A10 n mile B10 n mile3 6C5 n mile D5 n mile2 6解析 如图，由正弦定理，得 ，BCsin60 10sin45 BC5 .62某人向正东方向走 x km 后，他向右转 150，然后朝新方向走 3 km，结果
2、他离出发点恰好 km，那么 x 的值为 ( C )3 导 学 号 27542110A B23 3C2 或 D33 3解析 由题意画出三角形如图则 ABC30，由余弦定理，得 cos30 ， x2 或 .x2 9 36x 3 33两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东20，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 ( 导 学 号 27542111B )A a km B a km3C a km D2 a km2解析 ACB120， AC BC a，由余弦定理可得 AB a(km)34有一长为 10 m 的斜坡
3、，它的倾斜角是 75，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过2加长坡面的方法将它的倾斜角改为 30，则坡底要延伸 ( C )导 学 号 27542112A5 m B10 mC10 m D10 m2 3解析 如图，在 ABC 中，由正弦定理，得 ，xsin45 10sin30 x10 m.25江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为 45和 30，而且两条船与炮台底部连线成 30角，则两条船相距 ( D )导 学 号 27542113A10 m B100 m3 3C20 m D30 m3解析 设炮台顶部为 A，两条船分别为 B、 C，炮台底部为 D，可知 BAD45， CAD
4、60， BDC30， AD30.分别在 Rt ADB、Rt ADC 中，求得 BD30， DC30.在 DBC 中，由余弦定理，得 BC2 DB2 DC22 DBDCcos30，解得 BC30.36海上的 A、 B 两个小岛相距 10 n mile，从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60的视角，从 B岛望 C 岛和 A 岛成 75的视角，则 B 岛与 C 岛之间的距离是 ( D )导 学 号 27542114A10 n mile B n mile31063C5 n mile D5 n mile2 6解析 在 ABC 中， C180607545，由正弦定理，得 BCsin 60，解得 BC5 n
5、 mile.10sin 45 6二、填空题7两船同时从 A 港出发，甲船以每小时 20 n mile 的速度向北偏东 80的方向航行，乙船以每小时 12 n mile 的速度向北偏西 40方向航行，一小时后，两船相距 28n mile. 导 学 号 27542115解析 如图， ABC 中， AB20， AC12， CAB4080120，由余弦定理，得 BC220 212 222012cos120784， BC28(n mile)38湖中有一小岛，沿湖有一条南北方向的公路，在这条公路上的一辆汽车上测得小岛在南偏西 15方向，汽车向南行驶 1 km 后，又测得小岛在南偏西 75方向，则小岛到公路
6、的距离是 km.36 导 学 号 27542116解析 如图， CAB15， CBA18075105， ACB1801051560，AB1 km.由正弦定理 ，BCsin CAB ABsin ACB得 BC (km)设 C 到直线 AB 的距离为 d，则 d BCsin75sin15sin60 6 223 (km)6 223 6 24 36三、解答题9如图，甲船以每小时 30 n mile 的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直2线航行当甲船位于 A1处时，乙船位于甲船的北偏西 105方向的 B1处，此时两船相距 20 n mile.当甲船航行 20 min 到达 A2处时，乙船航行到甲船
7、的北偏西 120方向的 B2处，此时两船相距 10 n mile，问乙船每小时航行多少 n mile？2 导 学 号 27542117解析 解法一：如图，连接 A1B2，由已知，A2B210 ， A1A230 10 ，2 22060 24 A1A2 A2B2，又 A1A2B218012060， A1A2B2是等边三角形， A1B2 A1A210 .2由已知， A1B120， B1A1B21056045，由 A1B2B1中，由余弦定理，得B1B A1B A1B 2 A1B1A1B2cos452 2 2120 2(10 )222010 200.2 222 B1B210 .2乙船的速度的大小为 60
8、30 n mile/h.10220 2答：乙船每小时航行 30 n mile.2解法二：如图，连接 A2B1.由已知， A1B120，A1A230 10 ， B1A1A2105，22060 2cos105cos(4560)cos45cos60sin45sin60 .2 1 34sin105sin(4560)sin45cos60cos45sin60 .2 1 34在 A2A1B1中，由余弦定理，得A2B A1B A1A 2 A1B1A1A2cos10521 21 2(10 )220 2210 202 22 1 34100(42 )3 A2B110(1 )3由正弦定理，得 sin A1A2B1 s
9、in B1A1A2A1B1A2B15 ，2010 1 3 2 1 34 22 A1A2B145，即 B1A2B2604515，cos15sin105 .2 1 34在 B1A2B2中，由已知， A2B210 ，2由余弦定理，得 B1B A2B A2B 2 A2B1A2B2cos152 21 210 2(1 )2(10 )2210(1 )10 200.3 2 3 22 1 34 B1B210 ，2乙船速度的大小为 6030 n mile/h，10220 2答：乙船每小时航行 30 n mile.2能 力 提 升一、选择题1如图，一货轮航行到 M 处，测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15，与灯塔 S
10、 相距 20 n mile，随后货轮按北偏西 30的方向航行 30 min 后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为 ( B )导 学 号 27542118A20( ) n mile/h B20( ) n mile/h2 6 6 2C20( ) n mile/h D20( ) n mile/h6 3 6 3解析 由题意可知 NMS45， MNS105，则 MSN1801054530.而 MS20，在 MNS 中，由正弦定理，得 ，MNsin30 MSsin105 MN 20sin30sin105 10sin 60 4510sin60cos30 cos60sin30 10( )106 24
11、 6 26货轮的速度为 10( )6 21220( )n mile/h.6 22如图，一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 n mile 的速度沿南偏东 40的方向直线航行，30 min 后到达 B 处 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东70，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65，那么 B、 C 两点间的距离是( A )导 学 号 27542119A10 n mile B10 n mile2 3C20 n mile D20 n mile3 2解析 由题目条件，知 AB20 n mile， CAB30， ABC105，所以 ACB45.由正弦定理，得 ，所以 BC10
12、 n mile，故选 A20sin45 BCsin 30 2二、填空题3甲船在岛 A 的正南 B 处，以 4 km/h 的速度向正北航行， AB10 km，同时乙船自岛A 出发以 6 km/h 的速度向北偏东 60的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为 min.1507 导 学 号 27542120解析 如图，当两船航行 t h 时，甲船到 D 处，乙船到 C 处，则AD104 t， AC6 t， CAD120，若 AD4 t10， AC6 t， CAD60，所以 CD2(6 t)2(104 t)226 t(104 t)( )28 t220 t100，12当 t h 时， CD
13、2最小，即两船最近，514t h min.514 15074一船以 24 km/h 的速度向正北方向航行，在点 A 处望见灯塔 S 在船的北偏东 307方向上，15 min 后到点 B 处望见灯塔在船的北偏东 65方向上，则船在点 B 时与灯塔 S 的距离是 5.2 km.(精确到 0.1 km)导 学 号 27542121解析 作出示意图如图由题意知，则 AB24 6，1560 ASB35，由正弦定理，得 ，6sin35 BSsin30可得 BS5.2 km.三、解答题5碧波万顷的大海上， “蓝天号”渔轮在 A 处进行海上作业， “白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距“蓝天号”20 n mil
14、e 的 B 处现在“白云号”以每小时 10 n mile 的速度向正北方向行驶，而“蓝天号”同时以每小时 8n mile 的速度由 A 处向南偏西 60方向行驶，经过多少小时后， “蓝天号”和“白云号”两船相距最近. 导 学 号 27542122解析 如右图，设经过 t h， “蓝天号”渔轮行驶到 C 处， “白云号”货轮行驶到 D处，此时“蓝天号”和“白云号”两船的距离为 CD 则根据题意，知在 ACD 中，AC8 t， AD2010 t， CAD60.由余弦定理，得CD2 AC2 AD22 ACADcos60(8 t)2(2010 t)228 t(2010 t)cos60244 t2560
15、 t400244( t )2400244( )2，7061 7061当 t 时， CD2取得最小值，即“蓝天号”和“白云号”两船相距最近70618答：经过 h 后， “蓝天号”和“白云号”两船相距最近70616已知海岛 B 在海岛 A 的北偏东 45方向上， A、 B 相距 10 n mile，小船甲从海岛B 以 2 海里/小时的速度沿直线向海岛 A 移动，同时小船乙从海岛 A 出发沿北偏西 15方向也以 2 n mile/ h 的速度移动. 导 学 号 27542123(1)经过 1 h 后，甲、乙两小船相距多少海里？(2)在航行过程中，小船甲是否可能处于小船乙的正东方向？若可能，请求出所需
16、时间，若不可能，请说明理由解析 (1)经过 1 h 后，甲船到达 M 点，乙船到达 N 点，AM1028， AN2， MAN60，所以 MN2 AM2 AN22 AMANcos60644282 52.12所以 MN2 .13所以经过 1 h 后，甲、乙两小船相距 2 n mile.13(2)设经过 t(0t5)小时小船甲处于小船乙的正东方向，则甲船与 A 距离为AE(102 t)n mile，乙船与 A 距离为 AF2 t n mile， EAF60， EFA75，则由正弦定理，得 ，AFsin45 AEsin75即 ，2tsin4510 2tsin75则 t 5.10sin452sin75
17、2sin45 103 3 5 3 33答：经过 小时小船甲处于小船乙的正东方向5 3 337.如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径一从 A 沿直线步行到C，另一种是从 A 沿索道乘缆车到 B，然后从 B 沿直线步行到 C 现有甲、乙两位游客从 A处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后，乙从 A 乘缆车到 B，在9B 处停留 1 min 后，再从 B 匀速步行到 C、假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m/min，山路 AC 长为 1 260 m，经测量，cos A ，cos C .1213 35(1)求索道 AB 的长；(2)
18、问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 min，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 导 学 号 27542124解析 (1)在 ABC 中，因为 cos A ，cos C ，1213 35所以 sin A ，sin C .513 45从而 sin Bsin( A C)sin( A C)sin Acos Ccos AsinC .513 35 1213 45 6365由正弦定理 ，得ABsin C ACsin BAB sin C 1 040(m)ACsin B 1 2606365 45所以索道 AB 的长为 1 040 m.(2)假设乙出
19、发 t 分钟后，甲、乙两游客距离为 d，此时，甲行走了(10050 t) m，乙距离 A 处 130t m，所以由余弦定理得 d2(10050 t)2 (130t)22130 t(10050 t)200(37 t270 t50)，1213因 0 t ，即 0 t8，1 040130故当 t min 时，甲、乙两游客距离最短3537(3)由正弦定理 ，BCsin A ACsin B得 BC sin A 500 (m)ACsin B 1 2606365 513乙从 B 出发时，甲已走了 50(281)550 m，还需走 710 m 才能到达 C 设乙步10行的速度为 v m/min，由题意得3 3，解得 v ，500v 71050 1 25043 62514所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 min，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内1 25043 ， 62514
