1、1模块质量检测(二)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知命题 p：所有有理数都是实数，命题 q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )A( p)或 q B p 且 qC( p)且( q) D( p)或( q)解析： 由题知， p 真 q 假，则 p 假， q 真只有 D 中( p)或( q)为真，故选 D.答案： D2(2011天津卷)设集合 A xR| x20， B xR| x0， C xR| x(x2)0，则“ x A B”是“ x C”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条
2、件 D既不充分也不必要条件解析： A x|x20 x|x2(2，)，B x|x0(，0)， A B(，0)(2，)，C x|x(x2)0 x|x0 或 x2(，0)(2，)，A B C.“ x A B”是“ x C”的充要条件答案： C3已知 A(2，5,1)， B(2，2,4)， C(1，4,1)，则向量 A 与 A 的夹角为( )B C A30 B45C60 D90解析： A (0,3,3)， A (1,1,0)，cos A ， A B C B C ，所以 A ， A 60，故应选 C.AB AC |AB |AC | 3322 12 B C 答案： C4双曲线方程为 x22 y21，则它的
3、右焦点坐标为( )A. B.(22， 0) (52， 0)C. D( ，0)(62， 0) 3解析： 原方程可化为 1， a21， b2 ，x21 y212 12c2 a2 b2 ，右焦点为 .32 (62， 0)答案： C5在下列各结论中，正确的是( )“ p q”为真是“ p q”为真的充分条件但不是必要条件；“ p q”为假是“ p q”为假的充分条件但不是必要条件；“ p q”为真是“ p”为假的必要条件但不充分条件；“ p”为真是“ p q”为假的必要条件但不是充分条件A BC D解析： “ p q”为真则“ p q”为真，反之不一定，真；如 p 真， q 假时， p q 假，2但
4、p q 真，故假； p 为假时， p 真，所以 p q 真，反之不一定对，故真；若 p 为真，则 p 假，所以 p q 假，因此错误答案： B6已知 A， B， C， D 是空间四点， A (1,5，2)， B (3,1， z)，B C B ( x1， y，3)，若 AB BC，且 BP平面 ABC，则实数 x， y， z 分别为( )P A. ， ，4 B. ， ，4337 157 407 157C. ，2,4 D4， ，15407 407解析： 因为 AB BC，所以 A B 0，B C 即 352 z0，得 z4，又 BP平面 ABC，所以 B A ， B B ，P B P C 又 B
5、(3,1,4)，C 所以Error! 解得Error!答案： B7正方体 ABCD A1B1C1D1中， BB1与平面 ACD1所成角的余弦值为( )A. B.23 33C. D.23 63解析： BB1 DD1， DD1与平面 ACD1所成的角即为 BB1与平面 ACD1所成的角，设其大小为 ，设正方体的棱长为 1，则点 D 到面 ACD1的距离为 ，所以 sin ，得 cos 33 33 .63答案： D8设椭圆 1( m0， n0)的右焦点与抛物线 y28 x 的焦点相同，离心率为 ，x2m2 y2n2 12则此椭圆的方程为( )A. 1 B. 1x212 y216 x216 y212C
6、. 1 D. 1x248 y264 x264 y248解析： y28 x，焦点 F(2,0)，可知椭圆焦点落在 x 轴上，排除 A、C；且椭圆中c2，由Error! Error!Error!故选 B.答案： B9椭圆 1 和双曲线 y21 的公共焦点为 F1、 F2， P 是两曲线的一个交点，x26 y22 x23那么 cos F1PF2的值是( )A. B.13 23C. D.73 14解析： 不妨设 P 在第一象限， F1， F2分别为左、右焦点，由双曲线和椭圆定义可知：|PF1| PF2|2 ，6|PF1| PF2|2 ，3| PF1| ，| PF2| ，6 3 6 33所以 cos F
7、1PF2|PF1|2 |PF2|2 |F1F2|22|PF1|PF2| |PF1| |PF2| 2 2|PF1|PF2| |F1F2|22|PF1|PF2| .故选 A.24 23 1623 13答案： A10已知命题 p： mR， m10，命题 q： xR， x2 mx10 恒成立，若 p q 为假命题，则实数 m 的取值范围为( )A m2 B m2 或 m1C m2 或 m2 D2 m2解析： 若 p q 为假命题则 p 与 q 至少有一个为假命题若 p 假 q 真，则Error!1 m2；若 q 假 p 真，则Error! m2；若 p 假 q 假，则Error! m2综上可知 m2
8、或 m1，故选 B.答案： B11(2011泸州高二检测)如图，在正三棱柱 ABC A1B1C1中， AB1.若二面角C AB C1的大小为 60，则点 C 到平面 C1AB 的距离为( )A. B.34 12C. D132解析： 由题意知：取 AB 中点 E，连结 C1E， CE.易知 C1EC60，过点 C 作 CO C1E.解Rt COE，即证 CO .也可建立坐标系求解34答案： A12设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. B.2 3C. D.3 12 5 12解析： 设双曲线方程为 1，设 F(c
9、,0)， B(0， b)， kBF ，双曲线渐近线的x2a2 y2b2 bc斜率 k .ba BF 与一条渐近线垂直， 1，bc ba b2 ac，又 a2 b2 c2， c2 ac a20， e2 e10，4 e (舍负值) e ，故选 D.152 5 12答案： D二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)13已知 p： 是第二象限的角， q：sin tan 0，tan 0，所以 sin tan b0)的离心率为 ，以原点为圆心、椭圆短半轴长x2a2 y2b2 33为半径的圆与直线 y x2 相切(1)求 a 与 b；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为
10、 F1和 F2，直线 l1过 F2且与 x 轴垂直，动直线 l2与 y轴垂直， l2交 l1于点 P.求线段 PF1的垂直平分线与 l2的交点 M 的轨迹方程，并指明曲线类型解析： (1)由于 e ，33 e2 ， .c2a2 a2 b2a2 13 b2a2 23又 b ，21 1 26 b22， a23.因此， a ， b .3 2(2)由(1)知 F1、 F2分别为(1,0)，(1,0)由题意可设 P(1， t)(t0)，那么线段 PF1的中点为 N .(0，t2)设 M(x， y)是所求轨迹上的任意一点，由于M ， (2， t)，N ( x， t2 y) PF1 则Error! ，消去参
11、数 t 得 y24 x(x0)因此，所求点 M 的轨迹方程为 y24 x(x0)，其轨迹为抛物线20.(12 分)如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA平面ABCD， AP AB2， BC2 ， E， F 分别是 AD， PC 的中点2(1)证明： PC平面 BEF；(2)求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小解析： 方法一：(1)证明：如图，以 A 为坐标原点， AB， AD， AP 所在直线分别为x， y， z 轴建立空间直角坐标系 AP AB2， BC AD2 ，四边形 ABCD 是矩形，2 A， B， C， D， P 的坐标为 A(0,0,0)， B(2,
12、0,0)， C(2,2 ，0)， D(0,2 ，0)，2 2P(0,0,2)，又 E， F 分别是 AD， PC 的中点， E(0， ，0)， F(1， ，1)2 2 P (2,2 ，2)， B (1， ，1)， E (1,0,1)，C 2 F 2 F P B 2420， P E 2020，C F C F PC BF， PC EF，又 BF EF F， PC平面 BEF.(2)由(1)知平面 BEF 的法向量 n1 P (2,2 ，2)，C 2平面 BAP 的法向量 n2 A (0,2 ，0)，D 2 n1n28.设平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 ，则 cos |cos n1， n2|
13、 ，|n1n2|n1|n2| 8422 22 45，平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 45.方法二：(1)证明：连接 PE， EC，在 Rt PAE 和 Rt CDE 中PA AB CD， AE DE， PE CE，7即 PEC 是等腰三角形，又 F 是 PC 的中点， EF PC，又 BP 2 BC， F 是 PC 的中点，AP2 AB2 2 BF PC.又 BF EF F， PC平面 BEF.(2) PA平面 ABCD， PA BC，又 ABCD 是矩形， AB BC， BC平面 BAP， BC PB，又由(1)知 PC平面 BEF，直线 PC 与 BC 的夹角即为平面 BEF 与平
14、面 PAB 的夹角，在 PBC 中， PB BC， PBC90， PCB45.所以平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 45.21(12 分)已知 m1，直线 l： x my 0，椭圆 C： y21， F1， F2分别为椭圆m22 x2m2C 的左、右焦点(1)当直线 l 过右焦点 F2时，求直线 l 的方程；(2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点， AF1F2， BF1F2的重心分别为 G， H.若原点 O在以线段 GH 为直径的圆内，求实数 m 的取值范围解析： (1)因为直线 l： x my 0 经过 F2( ，0)，m22 m2 1所以 ，得 m22，m2 1m22又因为
15、 m1，所以 m .2故直线 l 的方程为 x y10.2(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error! 消去 x 得 2y2 my 10，m24则由 m28 m280，知 m28，(m24 1)且有 y1 y2 ， y1y2 .m2 m28 12由于 F1( c,0)， F2(c,0)，故 O 为 F1F2的中点，由 2 ， 2 ，可知 G ， H .AG GO BH HO (x13， y13) (x23， y23)|GH|2 . x1 x2 29 y1 y2 29设 M 是 GH 的中点，则 M ，(x1 x26 ， y1 y26 )由题意可知，2| MO| GH|，8
16、即 4 ，(x1 x26 )2 (y1 y26 )2 x1 x2 29 y1 y2 29即 x1x2 y1y20，而 x1x2 y1y2 y1y2( m21) ，(my1m22)(my2 m22) (m28 12)所以 0，即 m24.m28 12又因为 m1 且 0，所以 1 m2.所以 m 的取值范围是(1,2)22(12 分)如右图所示，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， C1C CB CA2， AC CB， D， E 分别为棱C1C、 B1C1的中点(1)求点 B 到平面 A1C1CA 的距离；(2)求二面角 B A1D A 的余弦值；(3)在线段 AC 上是否存在一点 F，使得 E
17、F平面 A1BD，若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由解析： (1)因为三棱柱 ABC A1B1C1为直三棱柱，所以 CC1底面 ABC， CC1 BC，因为AC CB，所以 BC平面 A1C1CA， BC 的长即为点到平面 A1C1CA 的距离，因为 BC2，所以点B 到平面 A1C1CA 的距离为 2；(2)因为三棱柱 ABC A1B1C1为直三棱柱， C1C CB CA2， AC CB， D， E 分别为C1C， B1C1的中点，建立如下图所示的空间直角坐标系，得 C(0,0,0)， B(2,0,0)， A(0,2,0)，C1(0,0,2)， B1(2,0,2)， A1(0,2,2)， D(0,0,1)， E(1,0,2)，所以 (2,0,1)，BD (2,2,2)，BA1 设平面 A1BD 的法向量为 n(1， ， )，有Error!即Error! 得Error!所以 n(1，1,2)，同理平面 ACC1A1的法向量为 m(1,0,0)，cos m， n ，即二面角 B A1D A 的余弦值为 ；16 66 66(3)设在线段 AC 上存在一点 F(0， y,0)，使得 EF平面 A1BD，欲使 EF平面 A1BD，由(2)知当且仅当 n ，因为 (1， y,2)，所以 y1，故存在惟一一点 F(0,1,0)满足条FE FE 件， F 为 AC 的中点
