1、第 一 章 一阶微分方程的解法的小结、可分离变量的方程：、形如 )(ygxfd当 时，得到 ，两边积分即可得到结果；0)(ygdxf)(当 时，则 也是方程的解。00)(xy例 1.1、 dx解：当 时，有 ，两边积分得到0yxdy )(2ln为 常 数Cxy所以 )(1121 Cx eCe为 非 零 常 数 且显然是原方程的解；0y综上所述，原方程的解为 )(121为 常 数eyx、形如 0)()(dQPdNxM当 时，可有 ，两边积分可得结果；0)(yPyNx)()(当 时， 为原方程的解，当 时， 为原方程的解。00 0）P0x例 1.2、 )1()1(22dyxdyx解：当 时，有 两
2、边积分得到02dx122，所以有 ；)(ln1lln22Cyx )0()(2Cy当 时，也是原方程的解；0)(综上所述，原方程的解为 。)()1(2为 常 数yx可化为变量可分离方程的方程：、形如 )(ygdx解法：令 ，则 ，代入得到 为变量可分离方程，得uudx)(ugdx到 再把 u 代入得到 。)(0),(为 常 数Cxuf )(0),(为 常 数Cxyf、形如 0(,abyxGdy解法：令 ，则 ，代入得到 为变量可分离方adx)(1uGbadx程，得到 再把 u 代入得到 。)(),(为 常 数Cxuf )0,(为 常 数Cyf、形如 )(2211cybxafdy解法： 、 ，转化
3、为 ，下同；0021 )(byaxGd、 ， 的解为 ，令0221ba02211cybxa),(00yvxu得到， ，下同；)()(2121 uvgfvufdv还有几类： xydxygyf,0)()(vxd,2 22wfsin,co,)(,)(, ryrxyxNyM以上都可以化为变量可分离方程。例 2.1、 25yxd解：令 ，则 ，代入得到 ，有 dxu7uduxdxu71所以 ，把 u 代入得到 。)(72为 常 数Cx )(2为 常 数）（ Cy例 2.2、 1yd解：由 得到 ，令 ，有 ，代入得到02x3yx31yvxuduxvy，令 ，有 ，代入得到 ，化uvudv21tudttv
4、tdut21简得到， ，有)1(222tdtt，所以有 ，故代入得)1ln(l 为 常 数Cu )(112Cetu，到 )0(,3113121xyx（3） 、一阶线性微分方程：一般形式： )()01hyadx（标准形式： (QPy解法：1、直接带公式： )()()()()()( CdxQedxeCe xPdxxPdxdx2、积分因子法：，)()(1CxQxydxPe)(3、IVP： ，yPd0)(y xdsPdsPxdss tetQetetey txtxxx 000000 )()(0)()(例 3、 1)()1(nxnyd解：化简方程为： ，则nxe)( ;)1(),1)( nxexn代入公式
5、得到 dxdxP-1)( 所以， )()()(1() 为 常 数CeCexy xnnnn(4)、恰当方程：形如 dyNyMdGtsyxdyNM),(),(.),(,0),(),( 解法：先判断是否是恰当方程：如果有 恒成立，那么原方程是个恰当方程，找出一个 xyNyM),(),(,)(),(),(),(.),( yxNyGXGtsx 有 ；,),(为 常 数CyG例 4、 0)46()3322dyxdx解：由题意得到， 32246),(, yxNyM由 得到，原方程是一个恰当方程；xNy12下面求一个 ),(),(),(),(.),( yxyGXyGtsy 由 得 ，两边对 y 求263, x
6、XMxG 3,2偏导得到 ，得到 ，有 ，3224)(6yyy4)(y4)(故 ，由 ，得到23),(xx0dG)(,342为 常 数Cyx(5)、积分因子法： 方程 ，是 一 个 恰 当 方 程0.),(,0),(),( NdyMxtsdyNxyM那么称 是原方程的积分因子；积分因子不唯一。当且仅当 ，原方程有只与 x 有关的积分因子，且为 ，)(xNy dxeyx)(,(两边同乘以 ，化为恰当方程，下同(4)。),(x当且仅当 ，原方程有只与 y 有关的积分因子，且为 ，)(yMy dyex)(,(两边同乘以 ，化为恰当方程，下同(4)。),(x例 5.1、 02)3(xydex解：由 得
7、 ，且有xyNyM2),(, yxNM426，有 ，原方程两边同乘 ，得到xNx2)(2),(eydx2x化为 ，得到解为,03(322dyex 0)232yex(,)(32 为 常 数Cyexx例 5.2、 )(3yxy解:由题意得到， ，有)(),(, 3yxNM2)1(xNM有 ，有 ，原方程两边同乘 ，yxNy2)( 2)(,( yexddy 2y得到 ，得到原方程的解为：0)2()(2dyd )(,为 常 数Cyx(6)、贝努力方程：形如 ,nyxQPdxy)()(解法：令 ，有 ，代入得到 ，nu1dydun) )(1)(1xQnuxPndxu下同（3）例 6、 2xyd解：令 ，
8、有 ，代入得到 ，则 ，1udu2 xud6x)(,6)(有 ， ，把 u 代入6)(xexdP ,8)( 626 为 常 数Cx得到 .)(,8162为 常 数Cy(7)、一阶隐式微分方程：一般形式： ，解不出 的称为一阶隐式微分方程。0),(yxFy下面介绍四种类型：),()1fy),()2(f0),(3yxF0),(4yF、形如 ，dxy一般解法：令 ，代入得到 ，两边对 x 求导得到 ，这p),(pxfydxpfp是关于 x，p 的一阶线性微分方程，仿照(3)，1、得出解为 ，那么原方程的通解为为 常 数Cx),(为 常 数Cxfy),(,2、得出解为 ，那么原方程的通解为为 常 数p
9、x),(为 常 数pfyx,),(3、得出解为 ，那么原方程的通解为为 常 数Cpx,0),(为 常 数Cpxfy,)(0,、形如 ),(dxyf一般解法：令 ，代入有 ，两边对 y 求导，得到 ，此p),(pyf dypfp1方程是一阶微分方程，可以按照以上(1)(5)求出通解 ，那么原为 常 数C,0),(方程的通解为 为 常 数Cpyfx,)(0,、形如 0),(yxF一般解法：设 ， ，两边积分得到)(,)为 参 数tdttdxy)(，于是有原方程的通解为为 常 数Cdtty,()为 常 数Ctxdy,)(、形如 0),(yF一般解法：设 ，由关系式 得 ，有)(,)为 参 数tdxy
10、dxtt)(，两边积分得到 ，于是有 dtx)(为 常 数， Ctx)(为 常 数，tyd)(例 7.1 yx13解：令 ，得到 ，两边对 y 求导，得到 ，p3px dypp)1(34有 ，得到 ，于是通解为ddy)2(3为 常 数Cp,2为 常 数，pyx231例 7.2 ye2解：令 ，得到 ，两边对 x 求导，得到 ，有p pe2 dxpep)2(，两边积分得到 ，于是通解为dedx)2( 为 常 数Cxp,)1(为 常 数eyp,2例 7.3 12yx解：设 有 ，所以,sincot dtdttdxy21cos)sin(i 为 常 数C,42于是通解为 为 常 数Ctxy,cos24
11、in例 7.4 1)(2y解：设 有 ，所以,cosint )tan(cossin1co22dtttydx 为 常 数C,a于是通解为 为 常 数tyx,cos1n(8)、里卡蒂方程：一般形式： )()(2xRQyxPd一般解法：先找出一个特解 ，那么令 ，有 ，代入原方0zy10dxzydx201程得到 ，)()(1)(1220 Rxzyxzx化简得到 ，为一阶线性微分方程，解出(0PQPd为 常 数Cxz),()那么原方程的通解为 为 常 数xy,)(10例 8 )2(2xy解：我们可以找到一个特解 ，验证： ，代入满足原方程。xy10201xy令 ， ，代入有 ，zxy1dz2 0)21()(2zxdz化简得到， ，所以有d 为 常 数Cexxdx ,31)( 22所以原方程的解为或 为 常 数Cxy,32xy1
