1、韦达定理,执教者：虞申君,一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的求根公式：,X1,2=,算一算,（1）x2-7x+12=0,(2)x2+3x-4=0,(3) 2x2+3x-2=0,解下列方程并完成填空：,3,4,12,7,1,-3,- 4,- 4,-1,-,-2,一元二次方程的根与系数的关系：,如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是X1 , X2 ,那么X1+x2= , X1x2=,-,（韦达定理）,注：能用韦达定理的前提条件为0,韦达（15401603）,韦达定理的证明：,X1+x2=,+,=,=,-,X1x2=,=,=,=,如果方程x2+px+q=0的两根是 X1 ，X2，
2、那么X1+X2= , X1X2=,P,q,推论,说一说：,说出下列各方程的两根之和与两根之积：,1、 x2 - 2x - 1=0,2、 2x2 - 3x + =0,3、 2x2 - 6x =0,4、 3x2 = 4,x1+x2=2,x1x2=-1,x1+x2=,x1+x2=3,x1+x2=0,x1x2=,x1x2=0,x1x2= -,典型题讲解：,例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1 , x2 。求：,(1) (2) x12+x22,解：,由题意可知x1+x2= - , x1 x2=-3,(1),=,=,=,(2) (x1x2)2 x12+x22 2x1x2,x12+x22 (x1x2)
3、2 -2x1x2,(- )2,-2(-3)6,典型题讲解：,例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值。,解：,设方程的另一个根为x1.,把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0,解这方程，得 k= - 2,由韦达定理，得x123k,即2 x1 6, x1 3,答：方程的另一个根是3 , k的值是2。,典型题讲解：,例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值。,解二：,设方程的另一个根为x1.,由韦达定理，得,x1 2= k+1,x1 2= 3k,解这方程组，得,x1 =3,k =2,答：方程的另一个根是3 ,
4、 k的值是2。,你会做吗？,你会做吗？,已知x1,x2是方程3x2+px+q=0的两个根， 分别根据下列条件求出p和q的值:,(1) x1 = 1, x2 =2,(2) x1 = 3, x2 = -6,(3) x1 = - , x2 =,(4) x1 = -2+ , x2 = -2-,由韦达定理，得,解：,x1+x2= - , x1 x2=,p= -3(x1+x2) q=3 x1 x2,(1)p= -9 q= 6,(2)p= 9 q= -54,(3)p= 0 q= -21,(4)p= 12 q= -3,试一试,1、已知方程3x219x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。,2、设x1,
5、x2是方程2x24x3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。,解：设方程的另一个根为x1,则x1+1= , x1= ,又x11= , m= 3x1 = 16,解：,由韦达定理，得,x1+x2= - 2 , x1 x2=, (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1 =-2+( )+1=,今天我学会了,1、韦达定理及其推论,2、利用韦达定理解决有关一元二次方程 根与系数问题时，注意两个隐含条件：,（1）二次项系数a0,（2）根的判别式 0,拓广探索,1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。,解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x
6、1-x2=1, (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2,由韦达定理得x1+x2= , x1x2=,解得k1=9,k2= -3,当k=9或-3时，由于0，k的值为9或-3。,2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。,拓广探索,解：由方程有两个实数根，得,即-8k+40,由韦达定理得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2, X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4,由X12+x22 =4，得2k2-8k+44,解得k1=0 , k2=4,经检验， k2=4不合题意，舍去。, k=0,谢谢！,
