1、1高中数学 4.3.3 三次函数的性质:单调区间和极值自我小测 湘教版选修 2-21有下列命题:一个函数的极大值总比极小值大;函数导数为 0 的点不一定是极值点;一个函数的极大值可以比最大值大;一个函数的极值点可在其不可导点处达到其中正确命题的序号是( )A B C D2函数 f(x) x3 x 在区间1,1上( )A最小值为1,最大值为 2B最小值为2,最大值为 2C最小值为1,最大值为 1D最小值为 0,最大值为 13三次函数 f(x) x3 bx2 cx d 与 x 轴的交点个数最多为( )A1 B2 C3 D44函数 y2 x2 x3的极值情况是( )A有极大值,没有极小值B有极小值,
2、没有极大值C既无极大值,也无极小值D既有极大值又有极小值5函数 f(x) x33 x22 在区间1,1上的最大值是( )A2 B0C2 D46若 f(x) x3 mx25 x1 在(,)上是增函数,则 m 的取值范围是_7函数 f(x)93 x x3的极小值为_8函数 y4 x2(x2)在 x2,2上的最大值和最小值分别为_9已知函数 f(x) x33 ax29 a2x a3.(1)设 a1,求函数 f(x)的极值;(2)若 a ,且当 x1,4 a时,| f( x)|12 a 恒成立,试确定 a 的取值范围1410已知函数 f(x) x3 ax2 x1, aR.(1)讨论函数 f(x)的单调
3、性;(2)设函数 f(x)在区间 内是减函数,求 a 的取值范围(23, 13)2参考答案1B2B f( x)3 x210, f(x)为增函数 f(x)的最小值为 f(1)2, f(x)的最大值为 f(1)2.3C4D y3 x22 x3 x .令 y0,(x23) x0 或 .23当 x 时, f( x)0;( , 23)当 x 时, f( x)0;(23, 0)当 x(0,)时, f( x)0. f(x)在 x 处取得极小值,23在 x0 处取得极大值5C f( x)3 x26 x.令 f( x)0,得 x0 或 2(舍去) f(0)2, f(1)0, f(1)2, f(x)最大值 2.6
4、 m f( x)3 x22 mx5,由(2 m)24350,得 m .15 15 15 1577 f( x)33 x23( x1)( x1),当 x1 时, f( x)0,当1 x1 时, f( x)0, f(x)在 x1 处取得极小值, f(1)9317.80,64 令 y12 x216 x0, x0 或 x .43当 x(2,0)时, f( x)0;当 x 时, f( x)0;(0,43)当 x 时, f( x)0.(43, 2)故 f(x)在 x0 时取得极大值,在 x 时取得极小值43又 f(0)0, f(2)64, f(2)0,3f ,(43) 12827函数的最大值为 0,最小值为
5、64.9解:(1)当 a1 时,对函数 f(x)求导数,得f( x)3 x26 x9.令 f( x)0,解得 x11, x23.列表讨论 f(x), f( x)的变化情况如下:x (,1) 1 (1,3) 3 (3,)f( x) 0 0 f(x) A极大值 6 A极小值26 A所以, f(x)的极大值是 f(1)6,极小值是 f(3)26.(2)f( x)3 x26 ax9 a2的图象是一条开口向上的抛物线,关于 x a 对称若 a1,则 f( x)在1,4 a上是增函数,从而 f( x)在1,4 a上的最小值是14f(1)36 a9 a2,最大值是 f(4 a)15 a2.由| f( x)|
6、12 a,得12 a3 x26 ax9 a212 a,于是有f(1)36 a9 a212 a,且 f(4 a)15 a212 a.由 f(1)12 a 得 a1,由 f(4 a)12 a 得 0 a .13 45所以 a ,(14, 1 13, 1 0, 45即 a .(14, 45若 a1,则| f( a)|12 a212 a,故当 x1,4 a时|f( x)|12 a 不恒成立所以使| f( x)|12 a(x1,4 a)恒成立的 a 的取值范围是 .(14, 4510解:(1) f(x) x3 ax2 x1,令 f( x)3 x22 ax10,当 (2 a)2344 a2120,即 a 时, f( x)0 恒成立,3 3此时 f(x)为在(,)上为增函数当 4 a2120,即 a 或 a 时,函数 f( x)存在零点,3 3此时,当 x 或 x 时, f( x)0,函数 f(x)单调递增; a a2 33 a a2 334当 x 时, f( x)0,函数 f(x)单调递减 a a2 33 a a2 33(2)若函数在区间 内是减函数,说明 f( x)3 x22 ax10 的两根在区间(23, 13)外,因此 f 0,且 f 0,(23, 13) ( 23) ( 13)由此可以解得 a2.因此 a 的取值范围是2,)