1、0 时，反映出电压u 的相位超前电流一个角度 ，简称电压 u超前电流 I,如图 2.1.4(a)。当 =0 时，电压 u 和电流 i 同相位。如图 2.1.4(b)当 = 2时，称正交。如图 2.1.4(c)当 = 时，称反向。如图 2.1.4(d)正弦量的相量表示法用相量来表示相对应的正弦量称作相量表示法，由于相量本身就是复数，下面将对复数及其运算进行简要的复习。一、复数一个复数 A可用下面四种形式来表 示：代数式，如图 2.2.1A= a1+ja2j= 1为虚单位。三角函数式令复数 A 的模A等于 a，其值为正。 角是复数A 的辐角。Aa （cos +jsinj）式中指数式根据欧拉公式极坐
2、标式极坐标式是复数指数式的简写，在以上讨论的复数四种表示形式，可以相互转换。在一般情况下，复数的加减运算用代数式进行。设有复数A=a1+ja2B=b1+jb2AB=（a1b1）+j（a2b2）复数的加减运算也可在复平面上用平行四边形法则作图完成，如图 2.2.2+j+10a1Aa2a+10+jA+BBA图 2.2.1 图 2.2.2在一般情况下，复数的乘除运算用指数式或极标式进行。设有复数ajeA， 令|A|=abB， |B|=bba)(babajjeBA复数相乘除的几何意义，如图 2.2.312arctnsiojej21aABAa+bab+j+1AB.a.bBA+ja-babA/B+1a/b
3、0jAA+j+10/2图 2.2.3 图 2.2.4把模等于 1的复数如 ej 、e j/2、 e 等称为旋转因子，例如把任意复数 A 乘以j（ ej/2j）就等于把复数 A 在复平面上逆时针旋转 /2，如图 2.2.4，表示为 jA，故把 j 称为旋转因子。二、相量表示法对于任意一个正弦量，都能找到一个与之相对应的复数，由于这个复数与一个弦量相对应，把这个复数称作相量。在大写字母上加一个点来表示正弦量的相量。如电流、电压，最大值相量符号为 mI、 U，有效值相量符号为 I、 U。通过图 2.2.5 来分析。图中有复数 ，以不变的角速度 w 旋转在纵轴上的投影等于 Imsin(t+i).iIm
4、0 t+j+10iImi图 2.2.5图中复数 imI与正弦量 IImsin (t+i)是相互对应的关系，这个复数就是我们要求的，叫作相量，记为 im。电阻元件及其在交流电路中的作用一、电阻元件 imI1.电阻元件的外形及图形符号，如图 2.3.1图 2.3.1 电阻元件的外形及图形符号2.电阻的标注法电阻器的标称电阻值和偏差一般都标在电阻体上，其标注有四种：直标法、文字符号法、数码法和色标法。（1）直标法 直标法是用阿拉伯数字和单位符号在电阻器表面直接标出标称阻值，如图 2.3.2 所示，其允许偏差直接用百分数表示。（2）文字符号法 文字符号法是用阿拉伯数字和文字符号两者有规律的组合来表示标
5、称阻值，其允许偏差也用文字符号表示，见表 2.1。符号前面的数字表示整数阻值，后面的数字依次表示第一个小数阻值和第二个小数阻值，见表 2.2。例如，1R5表示1.5，2K7 表示2.7k,R1 表示 0.1允许偏差图 2.3.2 直标法表示的电阻器表 2.1 表示偏差的文字符号文字符号 允许偏差 文字符号 允许偏差B 0.1% J 5%C 0.25% K 10%D 0.5% M 20%F 1% N 30%G 2%表 2.2 表示电阻单位的文字符号文字符号 所表示的单位 文字符号 所表示的单位R 欧姆( ) G 千兆欧姆(10 9)K 千欧姆(10 3) T 兆兆欧姆(1012)M 兆欧姆(10
6、 6)（3）数码法 数码法是用三位阿拉伯数字表示，前两个数字表示阻值的有效数，第三个数字表示有效数后零的个数。例如，100 表示10，102 表示1k。当阻值小于10 时，以R表示，将 R 看作小数点，例如，8R2 表示8.2。（4）色标法 色标法是不同颜色的带或点在电阻器表面标出标称阻值和允许偏差。两位有效数字的色标法 普通电阻器用四条色带表示标称阻值和允许偏差，其中三条表示阻值，一条表示偏差，如图 2.3.3 所示。例如，电阻器上的色带依次为绿、黑、橙、无色，则表示 50100050k，误差是20；电阻的色标是红、红、黑、金，其阻值是 22122，误差是5；又如，电阻的色标是棕、黑、金、金
7、，其阻值是 100.11，误差是5。图 2.3.3 两位有效数字的阻值色标表示法图 2.3.4 三位有效数字的阻值色标表示法三位有效数字的色标法 精密电阻器用五条色带表示标称阻值和允许偏差，如图 2.3.4 所示。例如，色带是棕、蓝、绿、黑、棕，表示 1651的电阻器。3. 电阻的测量与质量判别通常可用万用表的电阻挡进行测量。值得注意的是，拿固定电阻器两只手的手指不要触碰在被测固定电阻器的两根引出端上，否则人体电阻与被测电阻器并联，影响测量精度。需要精确测量阻值时，可用万能电桥进行。电阻器的电阻体或引线折断、烧焦等，可以从外观上看出。电阻器内部损坏或阻值变化较大，可通过万用表欧姆挡测量来核对。
8、若电阻内部或引线有毛病，以致接触不良时，用手轻轻地摇动引线，可以发现松动现象；用万用表欧姆挡测量时，就会发现指针指示不稳定。二、电阻元件电压电流的关系分析各种正弦交流电路，不外乎要确定电路中电压与电流之间的关系（大小和相位） ，并讨论电路中能量的转换和功率问题。分析各种交流电路时，我们必须首先掌握单一参数（电阻、电感、电容）元件中电压与电流之间的关系，因为其他电路无非是一些单一参数元件的组合而已。本节中首先分析电阻元件的正弦交流电路R+-(a)iu(c)IU.(b) 2 tuiup00 t(d)jp+ +图 2.3.5 电阻元件的交流电路（a） 电路图；（b）电压与电流的正弦波形；（c）电压与
9、电流的相量图；（d）功率波形图 2.3.5（a）是一个线性电阻元件的交流电路图，电压和电流的参考方向如图中所示。两者的关系由欧姆定律确定，即u=Ri为了分析方便起见，选择电流经过零值并将向正值增加的瞬间作为计时起点（t=0）,即设tIimsin为参考正弦量，则tUtRIumsinsi (2.5)也是一个同频率的正弦量。比较上列两式即可看出，在电阻元件的交流电路中，电流和电压是同相的。电压和电流的正弦波形如图 2.3.5（b）所示。在式（2.5）中，mRIU 或 I（2.6）由此可知，在电阻元件电路中，电压的幅值（或有效值）与电流的幅值（或有效值）之比值，就是电阻 R。如用相量表示电压与电流的关
10、系，则为0U IRI或 IRU （2.7）此即欧姆定律的相量表示式。电压和电流的相量如图2.3.5（C）所示。知道了电压与电流的变化规律和相互关系后，便可计算出电路中的功率。在任意瞬间，电压瞬时值u 与电流瞬时值 i 的乘积，称为瞬时功率，用小写字母p 代表，即 )2cos1(sin2tIUtIummk )co1(（2.8）由式（2.8）可见，p 是由两部分组成的，第一部分是常数 UI，第二部分是幅值为UI并以 2 的角频率随时间而变化的交变量 UIcos2 t，P 随时间变化的波形如图2.3.5（d）所示。由于在电阻元件的交流电路中 u 与i 同相，它们同时为正，同时为负，所以瞬时功率总是正
11、值，即 P 0。瞬时功率为正，这表示外电路从电源取用能量。在这里就是电阻元件从电源取用电能而转换为热能，这是一种不可逆的能量转换过程。平均功率是一个周期内电路消耗电能的平均速率，其平均功率为 T RIUdtUItpd0 2)2cos1(1（2.9）电感元件及其在交流电路中的作用一、电感元件1. 电感元件的外形及其图形符号如图 2.4.1 所示图 2.4.12. 电感的测量电感量可用高频 Q 表或电桥等仪器 测量（请参阅有关参考书） 。电感的常见故障是断路。判断方法可用万用表的R1 或 R10 挡测量电感的电阻值，若读数无穷大，则说明电感内部已经断路。二、电感元件电压电流的关系现在来分析一下非铁
12、心线圈（线性电感元件）与正弦电源联接的电路。我们仍和上节一样来分析电感元件交流电路中电压与电流之间的关系，并讨论该电路中能量的功率问题。假定这个线圈只具有电感 L，而电阻 R 极小，可以忽略不计。当电感线圈中通过交流i 时，其中产生自 感电动势 eL。设电流 i，电动势 eL和电压 u 的参考方向如图 2.4.2（a）所示。设电流为参考正弦量，即 tIimsin则)90sin()90i()sin( tUtLdtILum（2.10）也是一个同频率的正弦量。L+-(a)iu+-eL(c)U.I.ui+-放 能i+-放 能i+-储 能i+-储 能i0 + -+-putti 2(b)(d)图 2.4.
13、2 电感元件的交流电路（a）电路图；（b）电压与电流的正弦波形；（c）电压与电流的相量图；（d）功率波形比较上列两式可知，在电感元件电路中，在相位上电流比电压滞后 90 度（相位差=+90） 。表示电压 u 和电流 i的正弦波形如图 2.4.2（b）所示。在式（2.10）中 mLIU或 I（2.11）由此可知，在电感元件电路中，电压的幅值（或有效值）与电流的幅值（或有效值）之比值为 L。显然，它的单位为欧姆。当电压 U 一定时， L愈大，则电流 I 愈小。可见它具有对交流电流起阻碍作用的物理性质，所以称为感抗，用 XL 代表，即fXL2（2.12）感抗 XL 与电感 L、频率 f 成正比。因此
14、，电感线圈在高频电路中对电流的阻碍作用很大，而对直流则可视作短路，即对直流讲，X L=0（注意，不是 L=0,而是 f=0） 。如用相量表示电压与电流的关系，则为 90UILjXI或 Ijj （2.13）式（2.13）表示电压的有效值等于电流的有效值与感抗的乘积，在相位上电压比电流超前 90 度。电压和电流的相量图如图 2.4.2（c）所示。知道了电压u 和电流 i的变化规律和相互关系后，便可找出瞬时功率的变化规律，即 tUItItIUIupmmL 2sinsi2cosin)90n(i（2.14） 由上式可见，p 是一个幅值为 UI，并以 2 的角频率随时间而变化的交变量，其变化波形如图 2.
15、4.2（d）所示。电感元件电路中的平均功率 TtIpdtP000sin1从图 2.4.2（d）的功率波形也容易看出，p 的平均值为零。从上述可知，在电感元件的交流电路中，没有能量消耗，只有电源与电感元件间的能量互换。这种能量互换的规模，我们用无功功率 Q 衡量 。我们规定无功功率等于瞬时功率 PL 的幅值，即 LXIU2（2.15） 它并不等于单位时间内互换了多少能量。无功功率的单位是乏（var）或千乏(kvar)。应当指出，电感元件和后面将要讲的电容元件都是储能元件，它们与电源间进行能量互换是工作所需。这对电源来说，也是一种负担。但对储能元件本身说，没有消耗能量，故将往返于电源与储能元件之间
16、的功率命名为无功功率。因此，平均功率也可称为有功功率。电容元件及其在交流电路中的作用一、电容元件1.常见电容元件的外形及图形符号，如图 2.5.1图 2.5.12.电容器的容量标注法电容器的标称容量系列与电阻器采用的系列相同，即 E24、E12、E6 系列。（1）直标法 将标称容量及偏差直接标在电容体上，0.22F10、 220MFD（220F）0.5。若是零点零几，常把整数单位的“0”省去，如 01F表示 0.01F。有些电容器也采用“R”表示小数点 ，如 R47F 表示0.47F。（2）数字表示法 是只标数字不标单位的直接表示法，采用此法的仅限 pF 和F 两种。如电容体上标志“3” 、
17、“47”、 “6800”、 “0.01”分别表示 3pF、47 pF、6800 pF、0.01F。对电解电容器如标志“1” 、 “47”、 “220”则分别表示1F、47F 和220F。（3）数字字母法 容量的整数部分写在容量单位标志字母的前面，容量的小数部分写在容量单位标志字母的后面。如 1.5 pF、6800 pF、4.7F、1500 F 分别写成1p5、6n847、1m5。（4）数码法 一般用三位数字表示电容器容量大小，其单位为 pF。其中第一、二位为有效值数字，第三位表示倍数，即表示有效值后“零”的个数。如“103”表示 10103Pf（0.01F） 、 “224”表示 22104pF
18、（0.02F） 。（5）色标法 标志的颜色符号与电阻器采用的相同，其容量单位为 pF。对于立式电容器，色环顺序从上而下，沿引线方向排列。如果某个色环的宽度等于标准宽度的 2 或 3 倍，则表示相同颜色的 2 个或 3 个色环。有时小型电解电容器的工作电压也采用色标，例如，6.3V 用棕色 、10V 用红色、16V 用灰色，而且应标志在引线根部。3.电容器的检测电容器常见故障是开路失效、短路击穿、漏电、介质损耗增大或电容量减小。电容器开路失效和短路击穿用万用表检查是很容易的。下面介绍几种测量电容器容量、漏电、极性判别的方法。（1）用万用表检查电解电容器的容量和漏电电阻万用表拨到R1k，黑表笔接电
19、解电容器的正极，红表笔接负极，即可检查其容量的大小和漏电程度，如图 2.5.2 所示。+G_R 1K+Rcc+ + 图 2.5.2 用万用表检查电解电容器（1）检查容量的大小 测量前把被测电解电容器短路一下，接上万用表的一瞬间，表内电池 E慢慢通过 R1k 档的内阻（欧姆中心值 R0）向 C 充电。由于电容两端的电压不能突变，刚接通电路时，电容上的电压 VC 仍等于零，所以充电电流为最大。只要电容量足够大，表针就能向右摆过一个明显的角度。随着 VC 升高，充电电流逐渐减小，表针又向左摆回。充电时间常数 RC（秒） ，当 R 确定后，C 愈大， 值也愈大，充电时间就愈长。当 C 取值较小时（如
20、1uF） ，充电时间很短，只能看到表针有轻微摆动。C 取值较大 时，甚至能冲过欧姆零点。（2）检查漏电电阻 电容器充好电时，V CE，充电电流 I0，此时 R1k 档的读数即代表电容器的漏电阻，一般应大于几百至几千欧。当测量几百到几千微法大电容器时，充电时间很长。为缩短测量大电容器漏电电阻的时间，可采用如下方法：当表针已偏转到最大值时，迅速从 R1k 档拨到R1档。若表针仍停在处，说明漏电电阻极小，测不出来；若表针又慢慢地向右偏转，最后停在一个高刻度上，说明存在漏电电阻，其读数即漏电电阻值。二、电容元件及其在交流电路中的作用图 2.5.3（a）是一个线性电容元件与正弦电源联接的电路，电路中的电
21、流 i 和电容器两端的电压 u 的参考方向如图中所示。当电压发生变化时，电容器极板上的电荷量也要随着发生变化，在电路中就引起电流 dtuCtqi如果在电容器的两端加一正弦电压 tUmsin则 )90sin()90i()sin( tItCdtUCi mm（2.16）也是一个同频率的正弦量。C+-(a)iu(c)U.I.图 2.5.3 电容元件的交流电路（a）电路图；（b）电压与电流的正弦波形；（c）电压与电流的相量图；（d）功率波形可见，在电容元件电路中，在相位上电流比电压超前 90 度。我们规定：当电流比电压滞后时，其相位差为正；当电流比电压起前时，其相位差为负。这们的规定是为了便于说明电路是
22、电感性的还是电容性的。表示电压和电流的正弦波形如图 2.5.3（b）所示。在式（2.16）中 mCUI或 CIUm1（2.17）由此可知，在电容元件电路中，电压的幅值（或有效值）与电流的幅值（或有效值）的比值为 c1。显然，它的单位是 欧姆。当电压 U 一定时， c愈大，则电流I 愈小。可见它具有对电流起阻 碍作用的物理性质，所以称为容抗。用 XC 代表，即fCX21（2.18）容抗 XC 与电容 C，频率 f 成反比。电容元件对高频电流所呈现的容抗很小，而对直流（f=0）所呈现的容抗 XC，可视作开路。因此，电容元件有 隔断直流的作用。如用相量表示电压与电流的关系，则为 0U 90IcjXI
23、或 CjIjIC（2.19）式（2.19）表示电压的有效值等于电流的有效值与容抗的乘积，而在相位上电压比电流滞后 90 度。电压和电流的相量图如图 2.5.3（c）所示。知道了电压和电流的变化规律与相互关系后，便可找出瞬时功率的变化规律，即tIUtIUtIuipm mmC2sn cosin)90sin(（2.20）由上式可见，p 是一个以2 的角频率随时间而变化的交变量，它的幅值为UI。p 的波形如图 2.5.3（d）所示。在电容元件电路中，平均功率 TtUIptP0002sin1这说明电容元件是不消耗能量的，在电源与电容元件之间只发生能量的互换。能量互换的规模，用无功功率来衡量，它等于瞬时功
24、率 pc 的幅值 。为了同电感元件电路的无功功率相比较，我们也设电流tIimsin为参考正弦量，则)90(Uu 于是得出瞬时功率tUIuipc2sin由此可见，电容元件电路的无功功率 XQC（2.21）即电容性无功功率取负值，而电感性无功功率取正值，以示区别。RLC 串联电路的分析一、电路电压与电流的关系电阻、电感与电容元件串联的交流电路如图 2.6.1（a）所示。电路的各元件通过同一电流。电流与各个电压的参考方向如图中所示。分析这种电路可以应用前面 3 节所得的结果。根据 KVL可得： idtCtLRiuuCLR1（2.22）设电流i=Imsint为参考正弦量，则电阻元件上的电压 uR 与电
25、流同 相，即uR=RImsint=URmsint+u- CLR+-uRuLuLL.I.UUC.UC+L.U .UCRU.U.(a)电路图 (b)相量图图 2.6.1 电阻、电感与电容元件串联的交流电路电感元件上的电压比电流超前 90，即、UL=ImLsin(t+90)=ULmsin(t+90)电容元件上的电压 uc比电流滞后90，即Uc=ImLsin(t-90)=Ucmsin(t-90)根据 KVLsin(tUuumCLR （2.23）如用相量表示，则为 IjXjILR Xj)(式中的 Z 称为电路的阻抗。即 ZRXXRXjR CLCLCL arctn)()( 22(2.24)由上式可见，阻抗
26、的实部为“阻” ，虚部为“抗” ，它表示了电路的电压与电流之间的关系，既表示了大小关系（反映在阻抗的模 Z 上） ，又表示了相位关系（反映在辐角 上） 。阻抗的辐角 即为电流与电压之间的相位差。对电感性电路， 为正；对电容性电路， 为负。阻抗不同于正弦量的函数的复数表示，它不是一个相量，而是一个复数计算量。图 2.6.1(b)所示，由电压相量 U， R及（ L+ CU）所组成的直 角三角形，称为电压三角形。利用这个电压三角形，可求的电源电压的有效值， Z，R， （X L-XC）三者之间的关系也可用一个直角三角形阻抗三角形（图 2.6.2）来表示。图 2.6.2 阻抗、电压、功率三角形如果 XL
27、XC,即 0，电路是电感 性的。如果 XLXC,即 0，电路是电容 性的。如果 XL=XC,即 =0，电路是电阻 性的。二、RLC 电路谐振的分析1谐振的定义在 RLC 串联电路中，改变电路的参数或电源的频率，当电压和电流达到同相时，电路中将出现一些新的特征，电路中的这种现象叫做谐振。谐振有串联谐振和并联谐振两种类型，这里只讨论串联谐振。2. 串联谐振在图 2.6.1(a)所示电路中，若 XL=XC 时， 0arctnR说明电路输入端的电压U 和电流 I同相，电路呈电阻性。这就是 RLC 串联电路的谐振现象，叫做串联谐振。串联谐振的基本条件是CLX 即 1当电源频率一定时，要使电路产生谐振，就
28、要改变电路参数 L 或C。常用的方法是改变电容C 的数值，即 L21当电路参数一定时，也可以用改变电源频率的办法，使电路达到谐振。谐振时的电源角频率和谐振频率为LCf210(2.29)串联谐振主要特征是：（1）电压 U 与电流 I 同相，电路呈电阻性。（2）电路阻抗数值小RXRZCL22)(|（3）电流最大UI0阻抗 Z 和电流 I 随频率变化的关系曲线如图 2.8.1 所示。（4）UL 和 UC出现新的情况：a. 因为 XL=XC，所以 UL 和UC 大小相等，相位相反，互相抵消，电感与电容对整个电路不起作用。电源不再给它们提供无功功率，能量互换只在它们两者之间进行。b. 当 XL=XCR
29、时，UL 和 UC将比电压 U高得多，此时过电压UL 和 UC的作用不容忽视。例如：设电源电压U=100V，R=1，X L=XC=10，此时 I=U/R=100/1=100A，UL 和 UC将达到 1000V。串联谐振时的相量图如图 2.8.2 所示。f0 f0i 0IZ| |. U = . U R . U . U c L I. 图 2.8.1 |Z|与 I 随频率变化曲线 图 2.8.2 串联谐振时 的相量图电压过高会击穿电容器和电感线圈的绝缘层，因此电力工程上就避免发生串联谐振。正弦交流电路的功率及功率因素提高一正弦交流电路的功率1. 瞬时功率一般负载的交流电路如图 2.7.1(a)所示。
30、交流负载的端电压 u 和i 之间存在相位差为 。 的正负、大小由负载具体情况确定。因此负载的端电压 u 和i 之间的关系可表示为i = 2Isint u = 2Usin(t+ )负载取用的瞬时功率为 p=u i = Usin(t+ ) Isint =UIcos UIcos(2 t+ )（a） (b) 图 2.7.1瞬时功率是随时间变化的。变化曲线如图 2.7.1(b)所示。可以看出瞬 时功率有时为正，有时为负。正值时，表示负载从电源吸收功率，负值表示从负载中的储能元件(电感，电容) 释放出能量送回电源。2. 有功功率(平均功率)和功率因数 上述瞬时功率的平均值称为平均功率,也叫有功功率为:P=
31、 Tpdt01= dtUIIT0 )2cos(s1=UIcos (2.25)上式表明，有功功率等于电路端电压有效值 U和流过负载的电流有效值 I 的乘积，再乘以 cos 。式(2.25)中 cos 称为功率因数。其值取决于电路中总的电压和电流的相位差，由于一个交流负载，总可以用一个等效复阻抗来表示，因此它的阻抗角决定电路中的电压和电流的相位差，即 cos 中的 也就是复阻抗的阻抗角。由上述分析可知，在交流负载中只有电阻部分才消耗能量，在 RLC 串联电路中电阻 R 是耗能元件，则有 P= RUI= 2IR。3. 无功功率由于电路中有储能元件电感和电容，它们虽不消耗功率，但与电源之间要进行能量交
32、换。用无功功率表示这种能量交换的规模，用大写字母Q 表示，对于任意一个无源二端网络的无功功率可定义为Q=UIsin (2.26)式(2.26)中的 角为电压和电流的相位差,也是电路等效复阻抗的阻抗角。对于感性电路， 0，则 sin 0，无功功率 Q为正值；对于电容性 电路， 0，则sin 0，无功功率 Q为负值。当 Q0 时，为吸收无功 功率；当 Q0 时，则为发出功率。在电路中既有电感元件又有电容元件时，无功功率相互补偿，它们在电路内部先相互交换一部分能量后，不足部分再与电源进行交换，则无源二端网络的无功功率为Q=QL+QC (2.27)上式表明，二端网络的无功功率是电感元件的无功功率与电容
33、元件无功功率的代数和。式中的 QL 为正值, Q C 为负值，Q 为一代数量,可正可负,单位为乏。4. 视在功率 在交流电路中，端电压与电流的有效值乘积称为视在功率，用 S 表示。即S=U I (2.28) 视在功率的单位为伏安(VA)或千伏安(KVA)。虽然视在功率 S 具有功率的量纲，但它与有功功率和无功功率是有区别的。视在功率 S通常用来表 示电气设备的容量。容量说明了电气设备可能转换的最大功率。电源设备如变压器、发电机等所发出的有功功率与负载的功率因数有关，不是一个常数，因此电源设备通常只用视在功率表示其容量，而不是用有功功率表示。交流电气设备的容量是按照预先设计的额定电压和额定电流来
34、确定的。用额定视在功率 SN 来表示。即SN = IU交流电气设备应在额定电压 条件下工作，因此电气设备允许提供的电流为NI可见设备的运行要受 NU、 I的限制。由上所述，有功功率 P,，无功功率 Q，视在功率 S之间存在如下关系：P=UIcos=Scos , Q=UIsin=Ssin S= 2=U I= Ptg1, 图 2.7.2显然，S、P、Q 构成一个直角三角形，如图 2.7.2 所示。此三角形成为功率直角三角形,它与同电路的电压三角形，阻抗三角形相似。二、功率因数的提高1. 功率因素提高的意义前已述及，交流电路中的有功功率一般不等于电源电压 U和总电流 I的乘积，还要考虑电压电流的相位
35、差的影响。即P=UIcos 式中 cos 是电路的功率因数。电路的功率 因数决定于负载的性质。只有电阻性负载（例如白炽灯，电阻炉等）的功率因数才等于 1，其它负载的功率因数均小于 1。例如交流电动机（异步机） ，当它空载时，功率因数约等于 0.830.85。为了合理使用电能，国家电业部门规定，用电企业的功率因数必须维持在 0.85 以上。高于此指标的给予奖励，低于此指标的则罚款，而低于 0.5 者停止供电。功率因数的高低为什么如此重要？功率因数低有哪些不利？我们从以下两方面来说明。（1）电源设备的容量不能充分利用 设某供电变压器的额定电压 UN=230V，额定电流 IN=434.8A，额定容量
36、SN=UNIN=230*434.8=100KVA如果负载功率因数等于是,则变压器可以输出有功功率 kWP108.4320cos如果负载功率因数等于0.5，则变压器可以输出有功功率 I 5可见，负载的功率因数愈低，供电变压器输出的有功功率愈小，设备的利用率愈不充分，经济损失愈严重.（2）增加输电线路上的功率损失当发电机的输出电压 U和输出的有 功功率 P 一定时，发电机输出的电流(即线路上的电流) 为 cosI可见电流 I和功率因数cos 成反比。若输电线的电阻为 R，则输电线上的功率损失为 rUPrI22)cs(功率损失 P 和功率因cos 的平方成反比，功率因数愈低，功率损失愈大。以上讨论，
37、是一台发电机的情况，但其结论也适用于一个工厂或一个地区的用电系统。功率因数的提高意味着电网内的发电设备得到了充分利用，提高了发电机输出的有功功率和输电线上有功电能的输送量。与此同时，输电系统的功率损失也大大降低，可以节约大量电力。2. 功率因素提高的方法提高功率因数的简便而有效的方法，是给电感性负载并联适当大小的电容器，其电路图和相量图如图2.9.1 所示。由于是并联，电感性负载的电压不受电容器的影响。电感性负载的电流1仍然等于原来的电流，这是因为电源电压和电感性负载的参数并末改变的缘故。但对总电流来说，却多了一个电流分量 Ic 即i=i1+iC或者 I+u-CLR性性性性性i1i ciiI.
38、1U.I.I.cuAI.=I.1U.(a) (b) (c)图 2.9.1 功率因数的提高由相量图（b）可知，末并联电容器，总电流（等于电感性负载电流）与电源电压的相差 1；并联电容器之后，总电流（等于 CI1）与电源电压的相位差为 ，见图（c） ，相位差减小了，由 1减小为 ，功率因数 cos 就提高了。应当注意，这里所说的功率因数提高了，是指整流器电路系统（包括电容器在内）的功率因数提高敢（或者说，此时电源的功率因数提高了） ，而原电感性负载的功率因数并末改变。由电路图和相量图可知，若增加电容量，容抗减小，则 Ic 增大，顺 a 、的延长线伸长角 随着减小，功率因数逐渐提高。若值选得适当，a
39、 与重合，电流和电压同相，则 cos =1，获得最佳状 态。若值选得过大，Ic 增大太多，电流 I 将超前电压，功率因数反倒减小。因此值必须选择适当。的计算公式推导如下：由相量图可知sini1IIC （2.30）式 IC 为电容器中的电流，1 和分别为功率因数提高前、后的电流。IC 可由电路1 和可由下面关系得出 UXICP=UI1cos 1(功率因数提 高前电路的有功功率)P=UI1cos (功率因数提高后电路的有功功率。电容器不消耗功率)即 11cosUPI将 IC、II 和代入式（2.30）sincosinco1UPPC或者 )(21tgfUPCt(2.31)(1tgUP式中电源向负载提
40、供的有功功率电源电压f电源频率；1并联电容前，电路的功率因数角；并联电容后，整个电路的功率因数角。三相对称电路的特点及分析一、三相电源三相交流发电机的结构如示意图 2.10.1(a)所示，其主要部件为定子和转子。定子上有三个相同的绕组 AX、B Y 和 CZ，它们在空间互相差 120。这样的绕组叫做对称三相绕组，它们的 A、B 和 C 叫做首端，X、Y 和 Z 叫做末端。转子上有励磁绕组，通入直流电流可产生磁场。当转子转动时，定子三相绕组被磁力线切割，产生感应电动势。若转子顺时针方向匀速转动时，对称三相绕组依次产生感应电动势eA、 eB 和 ec，如图 2.10.1（b）所示。图 2.10.三
41、相对称电动势显然，e A、 eB 和 eC频率相同，幅值（或有效值）也相同。那么在相位上，它们的关系又将如何呢？由图（a）可知，在图示情况下，相绕组处于磁极之下，受磁力线的切割最甚，因而相绕组的感应电动势最大。经过 120后，B 相绕组处于 NS 之下， B 相绕组的感应电动势最大。同理，经过 240之后，C 相绕组的感应电动势最大。若以 A 相绕 组的感应电动势为参考，则 tEemsin)120()120sin(4itEtmC(2.32)eA、 eB、 eC 的波形图如图 2.10.1（c）所示。若用相量表示，则AEBCE(2.33)eA、 eB 和 ec 的相量图如图 2.10.1（d）所
42、示。可见它们在相位上互相差 120。这样一组幅值相等、频率相同、彼此间的相位差为 120的电动势，叫做对称三相电动势。显然，它们的瞬时值或相量之和为零，即 CBAeE+ BE+ CE=0 (2.34)三相电动势依次出现正幅值（或相应的某值）的顺序叫做相序，这里的顺序是 ABC。三相发电机给负载供电，它的三个绕组可有两种接线方式，即星形接法和三角形接法，通常主要采用星形接法。下面我们只讨论星形接法的有关问题。三相绕组的末端 X、Y 和 Z 联接在一起，而首端 A、B 和 C 分别用导线引出。这样便组成了星形联接的三相电源，如图 2.10.2 所示。其中，三个绕组接在一起的一点，叫做三相电源的中点
43、，用 N 表示。从中点引出的导线叫做 中线。中线通常与大地相联，所示也叫做零线。从三相绕组另外三端引出的导线叫做端线或火线，因为总共引出四根导线，所以这样的电源被称为三相四线制电源。由三相四线制的电源可以获得两种电压，即相电压和线电压。所谓相电压，就是发电机每相绕组两端的电压，也就是每根火线与中线之间的电压，即图 2.10.2 中的uA、 uB 和 uC。其有效值用 UA、 UB 和 UC表示，一般统一用 Up 表示。所谓线电压，就是每两根火线之间的电压，即图 2.10.2 中的 uAB 、 uBC 和 u CA 。其有效值用UAB、 UBC 和 UCA 表示，一般统一用 UI 表示。在图 2
44、.10.2 中，由于已选定发电机各相绕组的电动势的参考方向是由末端指向首端，因而各相绕组的相电压的参考方向就选定为由首端指向末端（中点） 。至于线电压的参考方向，是为了使其与线电压符号的下标一致。例如，线电压 uAB，其参考方向选定为由 A端指向 B 端。根据以上相电压和线电压方向的选定，用 KVL 可写出星形联 接的三相电源的线电压和相电压的关系式，即 BABuCC图 2.10.2 发电机星形联接如果用相量表示，即0Ej 12120Eej)(BABABUUCCC (2.35)由式（2.10.3）可画出它们的相量图，如图 2.10.3 所示。因为三相绕组的电动势是对称的，所以三相绕组的相电压也
45、是对称的。由图 2.10.3 可见，三相电源的线电压也是对称的。线电压与相电压的大小关系，可由图中底角为 30的等腰三角形上找到，即图 2.10.3 AABUU230cos21因为相电压和线电压都是对称的，即 PCBA所以 plU3一般在低压配电系统中，三相四线制电源的相电压为 220V，线电压则为380V 。星形联接的三相电源，也可以不引出中线，这种电源叫做三相三线电源，它只能提供一种电压，即线电压。二、三相负载的联接三相电路的负载是由三部分组成的，其中每一部分叫做一相负载。如果阻抗相等且阻抗角相同，则三相负载就是对称的，叫做对称三相负载。例如，生产上广泛使用的三相异步电动机就是三相对称负载
46、。三相负载可有星形和三角形两种接法，这两种接法应用都很普遍。1. 三相负载的星形联接图 2.10.4 表示三相负载的星形联接，点 N叫做负载的中点，因有中线 NN，所以是三相四线制电路。图中通过端线的电流叫做线电流；通过每相负载的电流叫做相电流。显然，在星形联接时，某相负载的相电流就是对应的线电流，即相电流等于线电流。因为有中线，对称的电源电压 uA、 uB 和 uC直接加在三相负载 ZA、 ZB 和 ZC上，所以三相负载的相电压也是对称的。各相负载的电流为|ZUI|BZI|CZUI(2.36) 各相负载的相电压与相电流的相位差为ARXarctn BRXarctn CRXarctn式中 RA、 RB 和 RC为各相负载 的等效电阻，X A、 XB 和 XC为各相负载的等效电抗（等效感抗与等效容抗之 图 2.10.4 表示三相负载的星形联接 差） 。中线的电流，按图 2.10.4 所选定的参考方向，可写出CNii (2.37)如果用相量表示，则 BAII前已述及，生产上广泛使用的三相负载大都是对称负载，所以在此主要讨论对称负载的情况。所谓对称负载，是指复阻抗相等，或者RRCBA XXCBA (2.38) 由式（2.37）,（2.38）可见，因为对
