1、电磁学静电学1、 静电场的性质静电场是一个保守场，也是一个有源场。高斯定理FdloA静电力环路积分等于零 iosqEdAiv电场强度与电势是描述同一静电场的两种办法，两者有联系 babaqEdrwabU过程 dr一维情况下 xdUE2、 几个对称性的电场（1） 球对称的电场场源 E U点电荷 214oQr14oQEr均匀对电球面Q、 R2oRE0roR14oQrE均匀带点球体Q、 R214oQrREoRr314oQrRE2314oQRrEr3342o1oRrE例:一半径为 的球体均匀带电,体电荷密度为 ,球内有一半径为 的小球1 2R形空腔,空腔中心与与球心相距为 ,如图a(1)求空腔中心处的
2、电场 E(2)求空腔中心处的电势 U解:(1)在空腔中任选一点 ,p可以看成两个均匀带电球体产生的电场强度之pE差,即 121233pooorrE令 12a3poE这个与 在空腔中位置无关,所以空腔中心处 23oEa(2)求空腔中心处的电势电势也满足叠加原理可以看成两个均匀带电球体产生电势之差pU即 222221 13303666o ooRaRRaEE假设上面球面上,有两个无限小面原 ,计算 ,受到除了 上电荷ijsAisAis之处, 球面上其它电荷对 的静电力, 这个静电力包含了 上电荷对 上电isAjiA荷的作用力.同样 受到除了 上电荷以外,球面上其它电荷对 上电荷的作用力,jsAi j
3、s这个力同样包含了 对 的作用力.isAj如果把这里的 所受力相加,则 之间的相互作用力相抵消。ij ,ijsA出于这个想法，现在把上半球面分成无限小的面元，把每个面元上所受的静电力（除去各自小面元）相加，其和就是下半球面上的电荷对上半球面上电荷的作用力。求法:222=f 4oooRQFRE A再观察下,均匀带电球面上的电场强度=?通常谈论的表面上电场强度是指什么?例: 求均匀带电球面 ,单位面积受到的静电力QR?of解: 令 RA过程无限缓慢得出此过程中静电力做功的表达式: 222244ooooQQfCRRA A221188ooREEA2oQ2214oofRE或者算出 2o of表 面 表
4、面而且可以推广到一般的面电荷 在此面上电场强度 12E表 面例:一个半径为 R,带电量为 Q 的均匀带电球面,求上下两半球之间的静电力 ?解: 原则上,这个作用力是上半球面上的电荷受到来自下半球面的电荷产生的电场强度的空间分布, 对上半球面上各电荷作用力之和, 由于下半球面上电荷所产生的电场强度分布, 所以这样计较有困难 .例: 求半径为 R,带电量为 Q 的均匀带电球面,外侧的静电场能量密度 .解: 静电场( 真空)能量密度 21oE本题球面外侧: 24oR212o oQEfE推论:如果在上述带电球体外侧无限空间中充满了相对电常数为 的多向同rE性均匀电合质,221roroEfE下面求张力:
5、它等于右半球表面所收到的静电力之和202sincosTFRdE222003coi2239soERd24o前面求出过本小题: ,03dE本题:导体球放在匀强电场中,产生感应电荷的分布, 令为cos由于要求导体内 0E,o,3odooEcs例: 一个半径为 R,原不带电的导体球放置于匀强电场 中 ,求由于静电感应所产生的感oE应电荷, 所带来的两半球之间新增的张力.解: 预备知识:一个半径为 R 的均匀各向同性介质在匀强电场中受到极化,求极化电荷的分布.解:时,odcosso求极化介质球,由于极化电荷所产生的介质球内的电场强度 ,E例: 带电圈环: (均匀带电),Rq求图中带电圈环与带电半直线之间
6、的相互作用力.解: 这题取下面方法:先求均匀带电半直线产生的电场强度,对均匀带电圈处的电荷的作用力上图中圈环上的点离半直线两端点的距离为 R,环上 P 点处的电场强度,可以用辅助圈弧( )在 P 点产生的场强大小 .142oER圈环受到合力在 均为正值时，方向向左，大小为,oq211cs454ooqFER在达到静电平衡的整个空间中，如果有一个处于静电平衡的带电面，在计算此面上某处受到的静电力，无需用整个空间中的各带电体，面，线，点，计算对其作用之和，只需先求出此面上该处的电场强度，该表面受到的静电力。12E表 面其原因是，这样的计算，已经考虑了全空间电荷的作用，不必重复考虑。例：一个半径为 R
7、，带电量为 Q 的均匀带点表面，求因表面带电所增加的表面张力系数。解：法一：球面上取一个小面元，半径为 ，此面受两个力平衡：r静电力，沿径向向处，大小为220ooff此面元边界上新增表面张力的合力，径向向里，设新增表面张力系数为 大小为122sinrrrRA力平衡方程： 2odf21oof柱对称电场场源 E U无限长均匀带电直线（ ）12orln2or无限长均匀带电圈柱面（ ）( ),RoR20orrloRln2or无限长均匀带电圈柱体（ ） （ ）,R21oRr2oloR 3、带电荷粒子在电场中的运动例 1：一个带点粒子从一开始就在垂直于均匀带电的长直导线平面内运动，它从这导线旁飞过，最后与
8、开始入射方向偏转小角度 ，如图，如果当粒子飞入带电直线电场中时，它的动能为 ，电量为 e，导线单位长度带电kE量为 ，离导线距离 处电场强度设为 ，求 =？rE02解：本题情况，一般入射粒子速度比较大，由于速度快，所以带电直线受到的横向冲量就比较小（时间短） ，这样产生的 角度就会如题中告知是一个小量，利用微元法处理，当带电粒子到达位置 时相距位矢量为 ，此刻带电粒子受力大r小，reEF02cos2cos0reFy此刻 y 方向动力方程为 dtvmreycos20其中 dt 可以利用 x 方向动力学方程表达xvdt其中 dx 与 d 满足关系（如图所示几何关系） coscosxvrdtrd20
9、xydmey化简整理 200yvxyxvme0利用 yxxx veE024104evtgxy例 2：如图所示一很细、很长圆柱形的电子术由速度为 V 的匀速运动的低速电子组成，电子在电子束中均匀分布，沿电子束轴线每单位长度包含 n 个电子，每个电子的电荷量-e （e0 ）,质量为 m，该电子束从远处沿垂直于平行板电容极板方向射向电容器，其前端（右端）于 t=0时刻刚好达到电容器左极板，电容器两极板上多开一个小孔使电子可以不受阻碍地穿过电容器两极板 AB,加有如图所示的变化电压 ，电压的最大最小值分别为 ，周期为ABV0,vT，若以 表示每个周期中电压处于最大的时间间隔，则 是周期中电压处于最小的
10、 )(T时间间隔，已知 的值正好使在 变化的第一个周期内通过电容器达电容器右边的所有电AB子，能够在某一个时刻 形成均匀分布的一段电子束。设两级间距很小， ，电子穿越时间，bt且 ,不计电子间相互作用026eVm（1） 满足题给条件的 ， 的值分别为？0（2 ） 试在下图中画出 t=2T 那一刻，在 02T 时间内通过电容器的电子在电容器的右侧空间形成电流 I,随离开右极板距离 x 的变化曲线，并在图上标出图线特征点的横、纵坐标。取 X 正方向为电流正方向，图中 x=0 处为右极板 B 的小孔位置，横坐标单位mevTS0解：（1）第一个周期内通过的所有电子在通过前是一段速度为 V 的均匀电子束
11、（孔的左侧） 。通过小孔以后，分成两段速度不同的电子束。0 时间内，所加电压为 ，通过小孔后速度由 V 减小，设为 V1，满足关系0V0212eVmVT 时间内，所加电压为 ，通过小孔后速度由 V 增大，设为 V2，满足关系式，00212eVmV再由题中告知： 的值正好在 的变化的第一个周期内通过电容器达右边的所有电ABV子，能够在 时刻形成均匀分布的一段电子束 Vbt此话要求在 t= 时刻，达到小孔右侧的这两束电子束在前端应该在某处相重b达到小孔右侧的两电子束的长度相等由此可写方程21)(VtVTbb得到 21meVV002140021meV026所以 ，01 meV02)(122VtVBT
12、b12（3 ） 由于 ，观察的就是这个时刻右侧空间的电流分布，应该确定两件事情：tb 电流在空间位置的分布 电流强度的大小分布电子束长度smeVTVb 42014、静电势能、电势例 1：如图所示 N 对 e、-e 离子，等间距 a，沿直线排列（1） 设 ,试确定某个 e 的电势能 和-e 的电势能WW（2） N 足够大时， 近似取小题（1）的结论，求系统的电势能 WW（3） N 足够大时，将非边缘的一对离子 e、-e 一起缓慢地移到无限远，其余离子仍在原位，试求外力做的功 A.提示 .32)1ln(xx.32解：（1） .344000aeaeU.)312(0aeln0UW2ln0aeUW（2
13、）足够大的 N, 2)(10NW（4 ） 将一个正离子缓慢移到无限远处，余下系统电势能 W此时该正离子的空位相邻的一个负离子的所具有的电势能为 ae024再将该负离子移到无限远处，余下系统的电势能 1WWsmeVTV)2(2)(01 无限远处负离子移到正离子旁边，这一对正负离子的电势能 aeW0224利用动能关系，求出外力做功 )12ln(02 02021 aeWWA 例 2 如图两个点电荷位于 X 轴上，在他们形成的电场中，若取无限远处的电势为零，则 X 轴上多点的电势如图曲线所示，当 时，电势 ;当 ，电势0xUx，电势为零的坐标为 ;电势极小值为 的点的坐标为 （0）,试根据U00图线提
14、供的信息，确定这两个点电荷所带电的符号，电量的大小以及在 X 轴的位置。解：由图中信息可知，带正电荷的电荷 Q1 在 x=0 处，由于 处电势为 0，所0x以另一个点电荷必须为负（-Q2）.它在 xa.条件为 02bcab1例：在正 N 变形的顶点上依次分布着电荷，所带电量公差为 q 的等差数列，即q，2q，3qNq,从 N 边行中心到任意一个顶点的距离均为 R，求多边形中心电场强度 E 的大小解：（1）先确定 N 边行带电系统在中心 O 点的合场强方向 当 N 为偶数时，图（b）作 N1 边中垂线 (过 O 点)设想以 轴将正 N 边行对XX折，即将右边 1,2,3多点叠加在右边 N,N-1
15、，N-2上，各点电荷量均为（ N+1）q，由对称性，各点在 O 点引起的电场元矢量和的方向垂直于 轴，可知原系统在O 点的和电场方向必与 轴垂直。这是因为对折前后沿 方向电场分量为 0X 当 N 奇数时，同样做中垂线 ，设想以 为轴将正 N 边行对折，即将右边1,2,3多点叠加在右边 N,N-1，N-2上，叠加后，除 轴上的一个顶点的电量为X（下端）除外，其余多点的电量均为（N+1 ）q 。再将与图（c）所示系统q21关于 轴成完全对称的另一个系统（第二次叠加）与之叠加，叠加后的系统如图X（d） ，此新的系统多顶点的电量均为（N+1）q ，因此这个系统的中心 0 点，电场强度为 0，因此图（c）所示系统在 O 点的电场强度没有沿 轴方向的分量。由X此可知，原系统在 O 点合场强方向必与 轴垂直，X综上可知，无论 N 为什么数，原系统在 O 点的合场强方向垂直（2 ）现取 N0 为 轴，将两个 N 边行带电系统关于 轴镜像对称地叠加如图（e） ，YY
