1、第 1 页（共 21 页）2017 年 11 月浙江省新高考学业水平考试数学试卷一、选择题：本大题共 18 小题，每小题 3 分，共 54 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1 （3 分） （2017浙江学业考试）已知集合 A=1，2，3，B=1，3，4，则AB=（ ）A1 ，3 B1，2，3 C1，3，4 D1，2，3，42 （3 分） （2017浙江学业考试）已知向量 =（4，3） ，则| |=（ ）A3 B4 C5 D73 （3 分） （2017浙江学业考试）设 为锐角，sin= ，则 cos=（ ）A B C D4 （3 分） （2017浙江学业考试）log 2 =（
2、 ）A 2 B C D25 （3 分） （2017浙江学业考试）下列函数中，最小正周期为 的是（ ）Ay=sinx By=cosx Cy=tanx Dy=sin6 （3 分） （2017浙江学业考试）函数 y= 的定义域是（ ）A （ 1，2 B1，2 C （ 1，2） D 1，2）7 （3 分） （2017浙江学业考试）点（0，0）到直线 x+y1=0 的距离是（ ）A B C1 D8 （3 分） （2017浙江学业考试）设不等式组 所表示的平面区域为M，则点（ 1，0） ， （3 ，2） ， （ 1，1）中在 M 内的个数为（ ）A0 B1 C2 D39 （3 分） （2017浙江学业考试
3、）函数 f（x）=xln|x |的图象可能是（ ）A B C第 2 页（共 21 页）D10 （3 分） （2017浙江学业考试）若直线 l 不平行于平面 ，且 l，则（ ）A 内的所有直线与 l 异面B 内只存在有限条直线与 l 共面C 内存在唯一直线与 l 平行D 内存在无数条直线与 l 相交11 （3 分） （2017浙江学业考试）图（1）是棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1截去三棱锥 A1AB1D1 后的几何体，将其绕着棱 DD1 逆时针旋转 45，得到如图（2）的几何体的正视图为（ ）A B C D12 （3 分） （2017浙江学业考试）过圆 x2+y22x8=0 的圆
4、心，且与直线 x+2y=0垂直的直线方程是（ ）A2xy+2=0 Bx+2y1=0 C2x+y 2=0 D2xy2=0第 3 页（共 21 页）13 （3 分） （2017浙江学业考试）已知 a，b 是实数，则“|a|1 且|b |1”是“a2+b2 1”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件14 （3 分） （2017浙江学业考试）设 A，B 为椭圆 （a b0）的左、右顶点，P 为椭圆上异于 A，B 的点，直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k 2，若k1k2= ，则该椭圆的离心率为（ ）A B C D15 （3 分） （2017浙江学业考试）数列a
5、 n的前 n 项和 Sn 满足Sn= ann，nN *，则下列为等比数列的是（ ）Aa n+1 Ba n1 CS n+1 DS n116 （3 分） （2017浙江学业考试）正实数 x，y 满足 x+y=1，则 的最小值是（ ）A3 + B2+2 C5 D17 （3 分） （2017浙江学业考试）已知 1 是函数 f（x）=ax 2+bx+c（abc）的一个零点，若存在实数 x0使得 f（x 0）0则 f（x）的另一个零点可能是（ ）Ax 03 Bx 0 Cx 0+ Dx 0+218 （3 分） （2017浙江学业考试）等腰直角ABC 斜边 CB 上一点 P 满足 CPCB，将 CAP 沿 A
6、P 翻折至CAP，使二面角 CAPB 为 60，记直线CA，CB，CP 与平面 APB 所成角分别为 ，则（ ）A B C D 二.填空题19 （6 分） （2017浙江学业考试）设数列a n的前 n 项和为 Sn，若第 4 页（共 21 页）an=2n1，nN *，则 a1= ，S 3= 20 （3 分） （2017浙江学业考试）双曲线 =1 的渐近线方程是 21 （3 分） （2017浙江学业考试）若不等式|2xa |+|x+1|1 的解集为 R，则实数 a 的取值范围是 22 （3 分） （2017浙江学业考试）正四面体 ABCD 的棱长为 2，空间动点 P 满足| |=2，则 的取值范
7、围是 三.解答题23 （10 分） （2017浙江学业考试）在ABC 中，内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c ，已知 cosA= （1）求角 A 的大小；（2）若 b=2，c=3，求 a 的值；（3）求 2sinB+cos（ ）的最大值24 （10 分） （2017浙江学业考试）如图，抛物线 x2=y 与直线 y=1 交于 M，N两点，Q 为该抛物线上异于 M，N 的任意一点，直线 MQ 与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B，直线 NQ 与 x 轴，y 轴分别交于点 C，D（1）求 M， N 两点的坐标；（2）证明：B，D 两点关于原点 O 的对称；（3）设QBD，QCA 的面积分
8、别为 S1，S 2，若点 Q 在直线 y=1 的下方，求S2S1 的最小值第 5 页（共 21 页）25 （11 分） （2017浙江学业考试）已知函数 g（x）=t2 x+13x+1，h（x）=t2x3x，其中 x，t R（1）求 g（2）h（2）的值（用 t 表示） ；（2）定义1，+）上的函数 f（x ）如下：f（x）= （kN *） 若 f（x）在1，m）上是减函数，当实数 m 取最大值时，求 t 的取值范围第 6 页（共 21 页）2017 年 11 月浙江省新高考学业水平考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 18 小题，每小题 3 分，共 54 分在每小题给出的四个选
9、项中，只有一个是符合题目要求的1 （3 分） （2017浙江学业考试）已知集合 A=1，2，3，B=1，3，4，则AB=（ ）A1 ，3 B1，2，3 C1，3，4 D1，2，3，4【分析】根据并集的定义写出 AB 【解答】解：集合 A=1，2，3，B=1，3，4，则 AB=1，2，3，4故选：D【点评】本题考查了并集的定义与运算问题，是基础题2 （3 分） （2017浙江学业考试）已知向量 =（4，3） ，则| |=（ ）A3 B4 C5 D7【分析】根据平面向量的模长公式计算可得【解答】解：因为向量 =（4，3） ，则| |= =5；故选 C【点评】本题考查了平面向量的模长计算；属于基础题
10、3 （3 分） （2017浙江学业考试）设 为锐角，sin= ，则 cos=（ ）A B C D【分析】根据同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得 cos 的值【解答】解： 为锐角，sin= ，则 cos= = ，第 7 页（共 21 页）故选：D【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题4 （3 分） （2017浙江学业考试）log 2 =（ ）A 2 B C D2【分析】直接利用对数运算法则化简求解即可【解答】解：log 2 =log21log24=2故选：A【点评】本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力5 （3 分）
11、（2017浙江学业考试）下列函数中，最小正周期为 的是（ ）Ay=sinx By=cosx Cy=tanx Dy=sin【分析】求出函数的周期，即可判断选项【解答】解：y=sinx，y=cosx 的周期是 2，y=sin 的周期是 4，y=tanx 的周期是 ；故选：C【点评】本题考查三角函数的周期的求法，是基础题6 （3 分） （2017浙江学业考试）函数 y= 的定义域是（ ）A （ 1，2 B1，2 C （ 1，2） D 1，2）【分析】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可【解答】解：由题意得： ，解得：1x2，故函数的定义域是（1， 2，故选：A第 8 页（共 21 页）【点评】本题
12、考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题7 （3 分） （2017浙江学业考试）点（0，0）到直线 x+y1=0 的距离是（ ）A B C1 D【分析】利用点到直线的距离公式即可得出【解答】解：点（0，0）到直线 x+y1=0 的距离 d= = 故选：A【点评】本题考查了点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题8 （3 分） （2017浙江学业考试）设不等式组 所表示的平面区域为M，则点（ 1，0） ， （3 ，2） ， （ 1，1）中在 M 内的个数为（ ）A0 B1 C2 D3【分析】验证点的坐标是否满足不等式组，即可得到结果【解答】解：不等式组 所表示的
13、平面区域为 M，点（1，0） ，代入不等式组，不等式组成立，所以（1，0） ，在平面区域 M 内点（3，2） ，代入不等式组，不等式组不成立，所以（3，2） ，不在平面区域 M内点（1，1） ，代入不等式组，不等式组不成立，所以（ 1，1） ，不在平面区域M 内故选：B【点评】本题考查线性规划的应用，点的坐标与可行域的关系，是基础题9 （3 分） （2017浙江学业考试）函数 f（x）=xln|x |的图象可能是（ ）第 9 页（共 21 页）A B CD【分析】判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊点的位置排除选项即可【解答】解：函数 f（x） =xln|x|是奇函数，排除选项 A，C ；当 x
14、= 时，y= ，对应点在 x 轴下方，排除 B；故选：D【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点的位置是判断函数的图象的常用方法10 （3 分） （2017浙江学业考试）若直线 l 不平行于平面 ，且 l，则（ ）A 内的所有直线与 l 异面B 内只存在有限条直线与 l 共面C 内存在唯一直线与 l 平行D 内存在无数条直线与 l 相交【分析】根据线面相交得出结论【解答】解：由题意可知直线 l 与平面 只有 1 个交点，设 l=A，则 内所有过 A 点的直线与 l 都相交，故选 D【点评】本题考查了空间线面位置关系，属于基础题11 （3 分） （2017浙江学业考试）图（1）是
15、棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1截去三棱锥 A1AB1D1 后的几何体，将其绕着棱 DD1 逆时针旋转 45，得到如图（2）的几何体的正视图为（ ）第 10 页（共 21 页）A B C D【分析】正视图是光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图，结合三视图的作法，即可判断出其正视图【解答】解：由题意可知几何体正视图的轮廓是长方形，底面对角线 DB 在正视图的长为 ，棱 CC1 在正视图中的投影为虚线，D1A，B 1A 在正视图中为实线；故该几何体的正视图为 B故选：B【点评】本题考查三视图与几何体的关系，从正视图的定义可以判断出题中的正视图，同时要注意能看见的轮廓线和棱用实线
16、表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示12 （3 分） （2017浙江学业考试）过圆 x2+y22x8=0 的圆心，且与直线 x+2y=0垂直的直线方程是（ ）A2xy+2=0 Bx+2y1=0 C2x+y 2=0 D2xy2=0【分析】求出圆心坐标和直线斜率，利用点斜式方程得出直线方程【解答】解：圆的圆心为（1，0） ，直线 x+2y=0 的斜率为 ，第 11 页（共 21 页）所求直线的方程为 y=2（x 1） ，即 2xy2=0故选 D【点评】本题考查了直线方程，属于基础题13 （3 分） （2017浙江学业考试）已知 a，b 是实数，则“|a|1 且|b |1”是“a2+b2 1”的（
17、）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：“ |a|1 且|b |1” ，不一定能推出“a 2+b21，例如 a=b=0.8，即充分性不成立，若 a2+b21 一定能推出 a|1 且|b |1，即必要性成立，故“|a |1 且|b|1” 是“a 2+b21” 的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础14 （3 分） （2017浙江学业考试）设 A，B 为椭圆 （a b0）的左、右顶点，P 为椭圆上异于 A，B 的点，直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k 2，若k1
18、k2= ，则该椭圆的离心率为（ ）A B C D【分析】由题意可得 A（ a，0） ，B（a，0） ，设 P（ x0，y 0） ，由题意可得 ab 的关系式，结合椭圆系数的关系和离心率的定义可得【解答】解：由题意可得 A（ a，0） ，B（a，0） ，设 P（x 0，y 0） ，则由 P 在椭圆上可得 y02= b2，直线 AP 与 BP 的斜率之积为 ，第 12 页（共 21 页） = ，把代入化简可得 = ， = ，离心率 e= 故选：C【点评】本题考查椭圆的简单性质，涉及椭圆的离心率和直线的斜率公式，属中档题15 （3 分） （2017浙江学业考试）数列a n的前 n 项和 Sn 满足S
19、n= ann，nN *，则下列为等比数列的是（ ）Aa n+1 Ba n1 CS n+1 DS n1【分析】根据题意，将 Sn= ann 作为式，由此可得 Sn1= an1n+1，将两式相减，变形可得 an=3an1+2，进而分析可得 an+1=3（a n1+1） ，结合等比数列的定义分析即可得答案【解答】解：根据题意，数列a n满足 Sn= ann， ，则有 Sn1= an1n+1，可得：S nSn1= （a nan1）1，即 an=3an1+2，对变形可得：a n+1=3（ an1+1） ，即数列a n+1为等比数列，故选：A【点评】本题考查数列的递推公式以及等比数列的判定，关键是求出数列
20、a n的通项公式16 （3 分） （2017浙江学业考试）正实数 x，y 满足 x+y=1，则 的最小值是（ ）A3 + B2+2 C5 D第 13 页（共 21 页）【分析】利用“1”的代换，然后利用基本不等式求解即可【解答】解：正实数 x， y 满足 x+y=1，则 = =2+ 2+2=2 当且仅当 x= =2 时取等号故选：B【点评】本题考查基本不等式在最值中的应用，考查计算能力17 （3 分） （2017浙江学业考试）已知 1 是函数 f（x）=ax 2+bx+c（abc）的一个零点，若存在实数 x0使得 f（x 0）0则 f（x）的另一个零点可能是（ ）Ax 03 Bx 0 Cx 0
21、+ Dx 0+2【分析】由题意可得 abc，则 a0，c0，且|a|b|，得 ，然后分类分析得答案【解答】解：1 是函数 f（x ）=ax 2+bx+c 的一个零点，a +b+c=0，a b c ，a0，c0，且|a |b |，得 ，函数 f（ x）=ax 2+bx+c 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴方程为 x= ，则 ，画出函数大致图象如图：当 0 ，函数的另一零点 x11，0） ，x 0（1，1） ，第 14 页（共 21 页）则 x03（4 ，2） ， （ ， ） ， （ ， ） ，x 0+2（1，3） ；当 0，函数的另一零点 x1（2， 1） ，x 0（2，1） ，则 x03（5
22、 ，2） ， （ ， ） ， （ ， ） ，x 0+2（0，3） 综上，f（x ）的另一个零点可能是 故选：B【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查数形结合的解题思想方法及分类讨论的数学思想方法，是中档题18 （3 分） （2017浙江学业考试）等腰直角ABC 斜边 CB 上一点 P 满足 CPCB，将 CAP 沿 AP 翻折至CAP，使二面角 CAPB 为 60，记直线CA，CB，CP 与平面 APB 所成角分别为 ，则（ ）A B C D 【分析】建立坐标系，找出 C在平面 ABC 上的射影 N，判断 N 到 A，B ，P 三点的距离大小得出结论【解答】解：以 A 为原点建立平面直
23、角坐标系如图所示：过 C 作 CMAP，垂足为 H，使得 CH=MH，设 MH 的中点为 N，二面角 CAPB 为 60，C在平面 ABC 上的射影为 N连接 NP，NA ，NB显然 NPNA设 AC=AB=1，则 CH=sinPAC，CN= CH= sinPAC，N 到直线 AC 的距离 d=CNsinACN sinPAC，CP ， sinPAC d ，即 N 在直线 y= 下方，NANB 设 C到平面 ABC 的距离为 h，则 tan= ，tan= ，tan= ，NPNANB ，第 15 页（共 21 页）tantan tan，即 故选 C【点评】本题考查了空间角的大小比较，属于中档题二.
24、填空题19 （6 分） （2017浙江学业考试）设数列a n的前 n 项和为 Sn，若an=2n1，nN *，则 a1= 1 ，S 3= 9 【分析】由 an=2n1，n N*，依次求出数列的前 3 项，由此能求出结果【解答】解：数列a n的前 n 项和为 Sn，a n=2n1，n N*，a 1=211=1，a2=221=3，a3=231=5，S 3=1+3+5=9故答案为：1，9【点评】本题考查数列的首项和前 3 项和的求法，考查数列的通项公式、前 n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题20 （3 分） （2017浙江学业考试）双曲线 =1 的渐近线方程是 【分
25、析】根据双曲线的渐近线方程即可得到结论第 16 页（共 21 页）【解答】解：双曲线的方程 =1，a 2=9，b 2=16，即 a=3，b=4，则双曲线的渐近线方程为 ，故答案为： 【点评】本题主要考查双曲线渐近线的判断，根据双曲线的方程确定 a，b 是解决本题的关键比较基础21 （3 分） （2017浙江学业考试）若不等式|2xa |+|x+1|1 的解集为 R，则实数 a 的取值范围是 （， 40+） 【分析】令 f（x）=|2xa|+|x+1|，由不等式|2x a|+|x+1|1 的解集为 R 可得：f（ ） 1，且 f（1）1，进而得到答案【解答】解：令 f（x）=|2xa|+|x+1
26、|，不等式|2xa|+|x+1|1 的解集为 R，f（ ）1 ，且 f（1）1，| +1|1，且|2a|1，a 4 或 a 0即实数 a 的取值范围是：（， 40+）故答案为：（，40+）【点评】本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，函数恒成立问题，难度中档22 （3 分） （2017浙江学业考试）正四面体 ABCD 的棱长为 2，空间动点 P 满第 17 页（共 21 页）足| |=2，则 的取值范围是 0，4 【分析】建立空间中坐标系，设 P（x ，y，z ） ，求出 关于 x，y，z 的表达式，根据| |=2 得出 x，y，z 的范围，利用简单线性规划得出答案【解答】解：设 BC 的中点
27、为 M，则| |=|2 |=2，| |=1，即 P 在以 M 为球心，以 1 为半径的球面上以 M 为原点建立如图所示的空间坐标系如图所示：则 A（ ，0， ） ，D（ ，0，0） ，设 P（ x，y，z） ，则 =（x ，y，z ） ， =（ ，0， ） ， = x z+2，P 在以 M 为球心，以 1 为半径的球面上，x 2+y2+z2=1，0y 21，0x 2+z21令 x z+2=m，则直线 x z+2m=0 与单位圆 x2+z2=1 相切时，截距取得最值，令 =1，解得 m=0 或 m=4 的取值范围是0，4【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题第 18 页（共 21 页
28、）三.解答题23 （10 分） （2017浙江学业考试）在ABC 中，内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c ，已知 cosA= （1）求角 A 的大小；（2）若 b=2，c=3，求 a 的值；（3）求 2sinB+cos（ ）的最大值【分析】 （1）根据 cosA= ，求得 A 的值（2）由题意利用余弦定理，求得 a 的值（3）利用两角和差的三角公式化简解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得 2sinB+cos（ ）的最大值【解答】解：（1）ABC 中，cosA= ，A= （2）若 b=2，c=3，则 a= = = （3）2sinB+cos（ ）=2sinB+ cosB sinB
29、= sinB+ cosB= sin（B+ ） ，B （ 0， ） ，B+ （ ， ） ，故当 B+ = 时，2sinB+cos （ ）取得最大值为 【点评】本题主要考查根据三角函数的值求角，余弦定理，两角和差的三角公式，正弦函数的定义域和值域，属于基础题24 （10 分） （2017浙江学业考试）如图，抛物线 x2=y 与直线 y=1 交于 M，N两点，Q 为该抛物线上异于 M，N 的任意一点，直线 MQ 与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B，直线 NQ 与 x 轴，y 轴分别交于点 C，D（1）求 M， N 两点的坐标；（2）证明：B，D 两点关于原点 O 的对称；（3）设QBD，QCA 的
30、面积分别为 S1，S 2，若点 Q 在直线 y=1 的下方，求第 19 页（共 21 页）S2S1 的最小值【分析】 （1）由 得 M，N 两点的坐标为 M（ 1，1） ，N（1，1）（2）设点 Q 的坐标为（ ） ，得点 B 坐标为（0，x 0） ，点 D 坐标为（0，x 0） ，可得 B，D 两点关于原点 O 的对称（3）由（2）得|BD |=2|x0|，S 1= |BD|x0|=x02在直线 MQ 的方程中令 y=0，得点 A 坐标为（ ，0） ，在直线 NQ 的方程中令 y=0，得点 C 坐标为（，0） ， S2 |AC|x02|= ，令 t=1x02，t（0，1，则S2S1=2t+
31、3 2 3 即可【解答】解：（1）由 得 或M， N 两点的坐标为 M（1，1） ，N（1，1）（2）设点 Q 的坐标为（ ） ，直线 MQ 的方程为：y=（x 01） （x+1）+1，令 x=0，得点 B 坐标为（0，x 0） ，直线 NQ 的方程为：y=（x 0+1） （x1）+1，令 x=0，得点 D 坐标为（0，x 0） ，B，D 两点关于原点 O 的对称（3）由（2）得|BD |=2|x0|，S 1= |BD|x0|=x02第 20 页（共 21 页）在直线 MQ 的方程中令 y=0，得点 A 坐标为（ ，0） ，在直线 NQ 的方程中令 y=0，得点 C 坐标为（ ，0） ，|AC
32、|=| |= ，S2 |AC|x02|=令 t=1x02，1 x 01，可得 t（0，1则 S2S1=2t+ 32 3当且仅当 t= 时，即 时取等号综上所述，S 2S1 的最小值为 2 3【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查了计算能力，属于中档题25 （11 分） （2017浙江学业考试）已知函数 g（x）=t2 x+13x+1，h（x）=t2x3x，其中 x，t R（1）求 g（2）h（2）的值（用 t 表示） ；（2）定义1，+）上的函数 f（x ）如下：f（x）= （kN *） 若 f（x）在1，m）上是减函数，当实数 m 取最大值时，求 t 的取值范围【分析】
33、 （1）直接代数计算；（2）根据 g（ 2）h（2 ） ，h（3）g（3）求出 t 的范围，判断 g（4）与h（4 ）的大小关系即可得出 m 的最大值，判断 g（x）和 h（x ）的单调性得出 t第 21 页（共 21 页）的范围【解答】解：（1）g（2 ） h（2）=8t27 （4t 9）=12t18（2）f（x ）是1，m）上的减函数，g （2）h （2 ） ，h（3）g（3） ，g （4）h（ 4） ， ，解得 t ，而 g（ 4）h（4）= 48t162=48（t+4）0，g （4）h （4 ） ，与 g（4）h（4）矛盾，m4当 t 时，显然 h（x）在2，3）上为减函数，故只需令 g（ x）在1，2）和3，4）上为减函数即可设 1x 1x 2，则 g（x 1） g（x 2）=2 t+（ ） 2 t+（ ），（ ） +tt+（ ） +t0，2 2 0，2 t+（ ） 2 t+（ ） ，即 g（ x1）g （x 2） ，当 t 时，g（x）在1，+）上单调递减，符合题意综上，m 的最大值为 4，此时 t 的范围是 ， 【点评】本题考查了分段函数的单调性，属于中档题
