高中数学竞赛校本教材[全套]（共30讲,含详细答案）-苏教版.doc

1、欢迎光临 中学数学信息网下载资料 浙江省瓯海中学 徐进光中学数学信息网系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有中学数学信息网高中数学竞赛校本教材全套(共 30讲，含详细答案)-苏教版目录1数学方法选讲（1） 12数学方法选讲（2） 113集 合 224函数的性质 305二次函数(1) 416二次函数(2) 557指、对数函数,幂函数 638函数方程 739三角恒等式与三角不等式 7610向量与向量方法 8511数列 9512递推数列 10213数学归纳法 10514不等式的证明 11115不等式的应用 12216排列，组合 13017二项式定理与多项式 13418直线和圆，圆锥曲线 143

2、欢迎光临 中学数学信息网下载资料 浙江省瓯海中学 徐进光中学数学信息网系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有中学数学信息网19立体图形，空间向量 16120平面几何证明 17321平面几何名定理 18022几何变换 18623抽屉原理 19424容斥原理 20525奇数偶数 21426整除 22227同余 23028高斯函数 23829覆盖 24529涂色问题 25630组合数学选讲 2651 数学方法选讲（1）同学们在阅读课外读物的时候，或在听老师讲课的时候，书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂，但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。看来，要提高解决问题的能力，要能在竞赛中有所作为

3、，首先得提高分析问题的能力，这就需要学习一些重要的数学思想方法。例题讲解一、从简单情况考虑华罗庚先生曾经指出：善于“退”，足够的“退”，退到最原始而又不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。从简单情况考虑，就是一种以退为进的一种解题策略。1. 两人坐在一张长方形桌子旁，相继轮流在桌子上放入同样大小的硬币。条件是硬币一定要平放在桌子上，后放的硬币不能压在先放的硬币上，直到桌子上再也放不下一枚硬币为止。谁放入了最后一枚硬币谁获胜。问：先放的人有没有必定取胜的策略？欢迎光临 中学数学信息网下载资料 浙江省瓯海中学 徐进光中学数学信息网系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有中学数学信息网2线段

4、 AB 上有 1998 个点（包括 A，B 两点），将点 A 染成红色，点 B 染成蓝色，其余各点染成红色或蓝色。这时，图中共有 1997 条互不重叠的线段。问：两个端点颜色相异的小线段的条数是奇数还是偶数？为什么？31000 个学生坐成一圈，依次编号为 1，2，3，1000。现在进行 1，2 报数：1 号学生报 1后立即离开，2 号学生报 2 并留下，3 号学生报 1 后立即离开，4 号学生报 2 并留下学生们依次交替报 1 或 2，凡报 1 的学生立即离开，报 2 的学生留下，如此进行下去，直到最后还剩下一个人。问：这个学生的编号是几号？4在 66 的正方形网格中，把部分小方格涂成红色。然

5、后任意划掉 3 行和 3 列，使得剩下的小方格中至少有 1 个是红色的。那么，总共至少要涂红多少小方格？二、从极端情况考虑从问题的极端情况考虑，对于数值问题来说，就是指取它的最大或最小值；对于一个动点来说，指的是线段的端点，三角形的顶点等等。极端化的假设实际上也为题目增加了一个条件，求解也就会变得容易得多。5新上任的宿舍管理员拿着 20 把钥匙去开 20 个房间的门，他知道每把钥匙只能打开其中的一个门，但不知道哪一把钥匙开哪一个门，现在要打开所有关闭的 20 个门，他最多要开多少次？欢迎光临 中学数学信息网下载资料 浙江省瓯海中学 徐进光中学数学信息网系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所

6、有中学数学信息网6有 n 名（n3）选手参加的一次乒乓球循环赛中，没有一个全胜的。问：是否能够找到三名选手 A，B，C，使得 A 胜 B，B 胜 C，C 胜 A？7n（n3）名乒乓球选手单打比赛若干场后，任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同。试证明，总可以从中去掉一名选手，而使余下的选手中，任意两个选手已赛过的对手仍然都不完全相同。8在一个 88 的方格棋盘的方格中，填入从 1 到 64 这 64 个数。问：是否一定能够找到两个相邻的方格，它们中所填数的差大于 4？三、从整体考虑从整体上来考察研究的对象，不纠缠于问题的各项具体的细节，从而能够拓宽思路，抓住主要矛盾，一举解决问题。9右图是一

7、个 44 的表格，每个方格中填入了数字 0 或 1。按下列规则进行“操作”：每次可以同时改变某一行的数字：1 变成 0，0 变成 1。问：能否通过若干次“操作”使得每一格中的数都变成 1？10有三堆石子，每堆分别有 1998，998，98 粒。现在对这三堆石子进行如下的“操作”：每次允许从每堆中各拿掉一个或相同个数的石子，或从任一堆中取出一些石子放入另一堆中。按上述方式进行“操作”，能否把这三堆石子都取光？如行，请设计一种取石子的方案；如不行，请说明理由。欢迎光临 中学数学信息网下载资料 浙江省瓯海中学 徐进光中学数学信息网系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有中学数学信息网11我们将若

8、干个数 x，y，z，的最大值和最小值分别记为 max（x，y，z，）和min（x，y，z，）。已知 a+b+c+d+e+f+g=1，求minmax（a+b+c，b+c+d，c+d+e，d+e+f，e+f+g）课后练习1.方程 x1+x2+x3+xn-1+xn=x1x2x3xn-1xn一定有一个自然数解吗？为什么？2.连续自然数 1，2，3，8899 排成一列。从 1开始，留 1划掉 2和 3，留 4划掉 5和6这么转圈划下去，最后留下的是哪个数？3.给出一个自然数 n，n 的约数的个数用一个记号 A（n）来表示。例如当 n=6时，因为 6的约数有 1，2，3，6 四个，所以 A（6）=4。已知

9、 a1，a 2，a 10是 10 个互不相同的质数，又 x为 a1，a 2，a 10的积，求 A（x）。4.平面上有 100个点，无三点共线。将某些点用线段连结起来，但线段不能相交，直到不能再连结时为止。问：是否存在一个以这些点中的三个点为顶点的三角形，它的内部没有其余 97个点中的任何一个点？欢迎光临 中学数学信息网下载资料 浙江省瓯海中学 徐进光中学数学信息网系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有中学数学信息网5.在一块平地上站着 5个小朋友，每两个小朋友之间的距离都不相同，每个小朋友手上都拿着一把水枪。当发出射击的命令后，每人用枪射击距离他最近的人。问：射击后有没有一个小朋友身上是

10、干的？为什么？6.把 1600粒花生分给 100只猴子，请你说明不管怎样分，至少有 4只猴子分的花生一样多。7.有两只桶和一只空杯子。甲桶装的是牛奶，乙桶装的是酒精（未满）。现在从甲桶取一满杯奶倒入乙桶，然后从乙桶取一满杯混合液倒入甲桶，这时，是甲桶中的酒精多，还是乙桶中的牛奶多？为什么？8.在黑板上写上 1，2，3，1998。按下列规定进行“操作”：每次擦去其中的任意两个数 a和 b，然后写上它们的差（大减小），直到黑板上剩下一个数为止。问：黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？课后练习答案1.有。解：当 n=2 时，方程 x1+x2=x1x2有一个自然数解：x 1=2，x 2=2；当 n=

11、3 时，方程 x1+x2+x3=x1x2x3有一个自然数解：x 1=1，x2=2 ，x 3=3；当 n=4 时，方程 x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4有一个自然数解：x 1=1，x 2=1，x 3=2，x 4=4。一般地，方程x 1+x2+x3+xn-1+xn=x1x2x3xn-1xn有一个自然数解：x 1=1，x 2=1，x n-2=1，x n-1=2，x n=n。2.3508。欢迎光临 中学数学信息网下载资料 浙江省瓯海中学 徐进光中学数学信息网系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有中学数学信息网解：仿例 3。当有 3n个数时，留下的数是 1 号。小于 8899 的形如 3n

12、的数是 38=6561，故从 1 号开始按规则划数，划了 8899-6561=2338（个）数后，还剩下 6561 个数。下一个要划掉的数是 238823+1=3507，故最后留下的就是 3508。3.1024。解：质数 a1有 2 个约数：1 和 a，从而 A（a 1）=2；2 个质数 a1，a 2的积有 4 个约数：1，a 1，a 2，a 1a2，从而A （a 1a2）=4=22；3 个质数 a1，a 2，a 3的积有 8 个约数：1，a 1，a 2，a 3，a 1a2，a 2a3，a 3a1，a 1a2a3，从而 A（a 1a2a3）=8=23；于是，10 个质数 a1，a 2，a 10

13、的积的约数个数为A （x）=2 10=1024。4.存在。提示：如果一个三角形内还有别的点，那么这个点与三角形的三个顶点还能连结，与已“不能再连结”矛盾。5.有。解：设 A 和 B 两人是距离最近的两个小朋友，显然他们应该互射。此时如果有其他的小朋友射向他们中的一个，即 A， B 中有一人挨了两枪，那么其他三人中必然有一人身上是干的。如果没有其他的小朋友射向 A 或 B，那么我们再考虑剩下的三个人 D，E，F：若 D，E 的距离是三人中最近的，则 D，E 互射，而 F 必然射向他们之间的一个，此时 F 身上是干的。6.假设没有 4 只猴子分的花生一样多，那么至多 3 只猴子分的花生一样多。我们

14、从所需花生最少情况出发考虑：得 1 粒、2 粒、3 粒32 粒的猴子各有 3 只，得 33 粒花生的猴子有 1 只，于是 100 只猴子最少需要分得花生3（0+1+2+32）+33=1617 （粒），欢迎光临 中学数学信息网下载资料 浙江省瓯海中学 徐进光中学数学信息网系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有中学数学信息网现在只有 1600 粒花生，无法使得至多 3 只猴子分的花生一样多，故至少有 4 只猴子分的花生一样多。7.一样多。提示：从整体看，甲、乙两桶所装的液体的体积没有发生变化。甲桶里有多少酒精，就必然倒出了同样体积的牛奶入乙桶。所以，甲桶中的酒精和乙桶中的牛奶一样多。8.奇数

15、。解：黑板上开始时所有数的和为S=1+2+3+1998=1997001 ，是一个奇数，而每一次“操作”，将（a+b）变成了（a-b），实际上减少了 2b，即减少了一个偶数。因为从整体上看，总和减少了一个偶数，其奇偶性不变，所以最后黑板上剩下一个奇数。5ABC 的顶点 B在O 外，BA、BC 均与O 相交，过 BA与圆的交点 K引ABC 平分线的垂线，交O 于 P，交 BC于 M。欢迎光临 中学数学信息网下载资料 浙江省瓯海中学 徐进光中学数学信息网系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有中学数学信息网求证：线段 PM为圆心到ABC 平分线距离的 2倍。6在ABC 中，AP 为A 的平分线，

16、AM 为 BC边上的中线，过 B作 BHAP 于 H，AM 的延长线交 BH于 Q，求证：PQAB。7菱形 ABCD的内切圆 O与各边分别切于 E、F、G、H，在 EF与 GH上分别作O 的切线交 AB于 M，交 BC于 N，交 CD于 P，交 DA于 Q。求证：MQNP。8ABCD 是圆内接四边形，其对角线交于 P，M、N 分别是 AD、BC 的中点，过 M、N 分别作 BD、AC 的垂线交于 K。求证：KPAB。欢迎光临 中学数学信息网下载资料 浙江省瓯海中学 徐进光中学数学信息网系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有中学数学信息网9以ABC 的边 BC为直径作半圆，与 AB、AC

17、分别交于点 D、E。过 D、E 作 BC的垂线，垂足分别是 F、G，线段 DG、EF 交于点 M。求证：AMBC。例题答案：1. 分析 1：构造两个全等。连结 ED、AC、AF。CF=DFACFEDFPAB=AEB=PFB分析 2：利用圆中的等量关系。连结 OF、OP、OB。欢迎光临 中学数学信息网下载资料 浙江省瓯海中学 徐进光中学数学信息网系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有中学数学信息网PFB=POB注：连结 OP、OA、OF，证明 A、O、F、P 四点共圆亦可。2. 分析：只需证 ， PMPN=MSNT。（1=2，3=4）APMPBN PMPN=AMBN（BNT=AMS，BTN

18、=MAS）BNTSMA MSNT=AMBN3. 分析：设 B为两圆的另一交点，连结并延长 BA交 P1P2于 C，交 O1O2于 M，则 C为 P1P2的中点，且 P1M1CMP 2M2，故 CM为 M1M2的中垂线。在 O1M上截取 MO3=MO2，则M 1AO3=M 2AO2。故只需证O 1AM1=O 3AM1，即证 。由P 1O1M1P 2O2M2，M 1O3=M2O2，O 1P1=O1A，O 2P2=O2A可得。4. 分析：方法1、2AE=AB-AC 欢迎光临 中学数学信息网下载资料 浙江省瓯海中学 徐进光中学数学信息网系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有中学数学信息网 在 B

19、E上截取 EF=AE，只需证 BF=AC，连结 DC、DB、DF，从而只需证DBFDCA DF=DA，DBF=DCA，DFB=DAC DFA=DAF=DAG。方法 2、延长 CA至 G，使 AG=AE，则只需证 BE=CG 连结 DG、DC、DB，则只需证DBEDCG DE=DG，DBE=DCG，DEB=DGC=Rt。5.分析：若角平分线过 O，则 P、M 重合，PM=0，结论显然成立。若角平分线不过 O，则延长 DO至 D，使 OD=OD，则只需证 DD=PM。连结 DP、DM，则只需证 DMPD为平行四边形。过 O作 mPK，则 D D,K P，DPK=DKPBL平分ABC，MKBLBL

20、为 MK的中垂线DKB=DMKDPK=DMK，DPDM。而 D DPM，DMPD为平行四边形。6.分析：方法 1、结合中线和角平分线的性质，考虑用比例证明平行。欢迎光临 中学数学信息网下载资料 浙江省瓯海中学 徐进光中学数学信息网系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有中学数学信息网倍长中线：延长 AM至M，使AM=MA，连结 BA，如图 6-1。PQAB ABQ=180-(HBA+BAH+CAP)= 180-90-CAP=90-BAP=ABQ方法 2、结合角平分线和 BHAH 联想对称知识。延长 BH交 AC的延长线于 B，如图 6-2。则 H为 BB的中点，因为 M为 BC的中点，连结

21、 HM，则 HMB /C。延长 HM交 AB于 O，则 O为 AB的中点。延长 MO至 M，使OM=OM，连结 MA、MB，则 AMBM是平行四边形，MPAM，QMBM。于是， ，所以 PQAB。7.分析：由 ABCD 知：要证 MQNP，只需证AMQ=CPN，结合A=C 知，只需证AMQCPN ，AMCN=AQCP。连结 AC、BD，其交点为内切圆心 O。设 MN与O 切于 K，连结 OE、OM、OK、ON、OF。记ABO=，MOK=，KON=，则EOM=，FON=，EOF=2+2=180-2。欢迎光临 中学数学信息网下载资料 浙江省瓯海中学 徐进光中学数学信息网系列资料 WWW.ZXSX.

22、COM 版权所有中学数学信息网BON=90-NOF-COF=90-=CNO=NBO+NOB=+=AOE+MOE=AOM又OCN=MAO，OCNMAO，于是 ，AMCN=AOCO同理，AQCP=AOCO。8. 分析：延长 KP交 AB于 L，则只需证PAL+APL=90，即只需证PDC+KPC=90，只需证PDC=PKF，因为 P、F、K、E 四点共圆，故只需证PDC=PEF，即 EFDC。 DMECNF9. 分析：连结 BE、CD交于 H，则 H为垂心，故 AHBC。（同一法）设 AHBC 于O，DG、AH 交于M1，EF、AH 交于 M2。下面证 M1、M 2重合。OM1DF OM 1= 。

23、OM2EG OM 2= 。只需证 OGDF=EGOF，即RtOEG RtODF DOF=DHB=EHC=EOG。欢迎光临 中学数学信息网下载资料 浙江省瓯海中学 徐进光中学数学信息网系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有中学数学信息网21 平面几何名定理四个重要定理：梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线）ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线上有点 P、Q、R，则 P、Q、R 共线的充要条件是 。塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点）ABC 的三边 BC、CA、AB 上有点 P、Q、R，则 AP、BQ、CR 共点的充要条件是 。托勒密(Ptolemy)定理四边形的两对边乘积之和等于其对

24、角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。西姆松(Simson)定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。例题讲解1设 AD是ABC 的边 BC上的中线，直线 CF交 AD于 F。求证： 。欢迎光临 中学数学信息网下载资料 浙江省瓯海中学 徐进光中学数学信息网系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有中学数学信息网2过ABC 的重心 G的直线分别交 AB、AC 于 E、F，交 CB于 D。求证： 。3D、E、F 分别在ABC 的 BC、CA、AB 边上， ，AD、BE、CF 交成LMN。求 SLMN 。4以ABC 各边为底边向外作相似的等腰BC

25、E、CAF、ABG。求证：AE、BF、CG 相交于一点。欢迎光临 中学数学信息网下载资料 浙江省瓯海中学 徐进光中学数学信息网系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有中学数学信息网5已知ABC 中，B=2C。求证：AC 2=AB2+ABBC。6已知正七边形 A1A2A3A4A5A6A7。求证： 。7ABC 的 BC边上的高 AD的延长线交外接圆于 P，作 PEAB 于 E，延长 ED交 AC延长线于 F。求证：BCEF=BFCE+BECF。8正六边形 ABCDEF的对角线 AC、CE 分别被内分点 M、N 分成的比为AM：AC=CN：CE=k，且 B、M、N 共线。求 k。（23-IMO-

26、5）欢迎光临 中学数学信息网下载资料 浙江省瓯海中学 徐进光中学数学信息网系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有中学数学信息网9O 为ABC 内一点，分别以 da、d b、d c表示 O到 BC、CA、AB 的距离，以 Ra、R b、R c表示 O到A、B、C 的距离。求证：（1）aR abd b+cdc; (2) aRacd b+bdc;(3) Ra+Rb+Rc2(d a+db+dc)。10ABC 中，H、G、O 分别为垂心、重心、外心。求证：H、G、O 三点共线，且 HG=2GO。（欧拉线）11O 1和O 2与 ABC 的三边所在直线都相切，E、F、G、H 为切点，EG、FH 的延长

27、线交于P。求证：PABC。欢迎光临 中学数学信息网下载资料 浙江省瓯海中学 徐进光中学数学信息网系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有中学数学信息网12如图，在四边形 ABCD中，对角线 AC平分BAD。在 CD上取一点 E，BE 与 AC相交于 F，延长 DF交 BC于 G。求证：GAC=EAC。例题答案：1.分析：CEF 截ABD （梅氏定理）评注：也可以添加辅助线证明：过 A、B、D 之一作 CF的平行线。2.分析：连结并延长 AG交 BC于 M，则 M为 BC的中点。DEG截ABM （梅氏定理）DGF截ACM （梅氏定理） = = =1评注：梅氏定理3. 梅氏定理4. 塞瓦定理5

28、. 分析：过 A作 BC的平行线交ABC 的外接圆于 D，连结 BD。则 CD=DA=AB，AC=BD。欢迎光临 中学数学信息网下载资料 浙江省瓯海中学 徐进光中学数学信息网系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有中学数学信息网由托勒密定理，ACBD=ADBC+CDAB。评注：托勒密定理6.评注：托勒密定理7.评注：西姆松定理（西姆松线）8.评注：面积法9.评注：面积法10. 评注：同一法11. 证明：连结 BD交 AC于 H。对BCD用塞瓦定理，可得因为 AH是BAD 的角平分线，由角平分线定理，可得 ，故 。过 C作 AB的平行线交 AG的延长线于 I，过 C作 AD的平行线交 AE的

29、延长线于 J。则 ，所以 ，从而 CI=CJ。又因为 CI/AB，CJ/AD，故ACI=-BAC=-DAC=ACJ。因此，ACIACJ，从而IAC=JAC，即GAC=EAC。欢迎光临 中学数学信息网下载资料 浙江省瓯海中学 徐进光中学数学信息网系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有中学数学信息网22 几何变换一、 平移变换1 定义 设 是一条给定的有向线段，T 是平面上的一个变换，它把平面图形 F上PQ任一点 变到 ，使得 ，则 T叫做沿有向线段 的平移变换。记为X PX PQ，图形 。)(PQT )(FQT2 主要性质 在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形变为三角形，

30、圆变为圆。两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等。二、 轴对称变换1 定义 设 是一条给定的直线， 是平面上的一个变换，它把平面图形 F上任一点l S变到 ，使得 与 关于直线 对称，则 叫做以 为对称轴的轴对称变换。记为XXll，图形 。)(lS )(FlS2 主要性质 在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分。三、 旋转变换1 定义 设 是一个定角， O是一个定点，R 是平面上的一个变换，它把点 O仍变到O（不动点），而把平面图形 F上任一点 变到 ，使得 ，且 ，X XO 欢迎光临 中学数学信息网下载资料 浙江省瓯海中

31、学 徐进光中学数学信息网系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有中学数学信息网则 R叫做绕中心 O，旋转角为 的旋转变换。记为 ，图形 ),(XOR ),(FOR 。其中 时，表示 的始边 到终边 的旋转方向为顺时针方向； 时，0X 0为逆时针方向。2 主要性质 在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角。四、 位似变换1 定义 设 O是一个定点，H 是平面上的一个变换，它把平面图形 F上任一点 变X到 ，使得 ，则 H叫做以 O为位似中心， 为位似比的位似变换。记为XXk k，图形 。),(kH ),(FkO其中 时， 在射线 上，此时的位似变换叫做外位似； 时, 在射线0 0

32、kX的反向延长线上，此时的位似变换叫做内位似。OX2 主要性质 在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心。例题讲解1P 是平行四边形 内一点，且 。ABCDPCBA求证： P2“风平三角形 ”中， ，求证：60,2 BOCACBA3 COBAOSS欢迎光临 中学数学信息网下载资料 浙江省瓯海中学

33、徐进光中学数学信息网系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有中学数学信息网3在两条对角线长度以及夹角一定的所有凸四边形中，试求周长最小的四边形。 的 周 长 最 小 ；， 使 得 、上 各 求 一 点、及 射 线内 一 个 定 圆 ， 试 在 圆是 给 定 锐 角圆 PQR QPCBAoACBo:5。； 求 证于交 ， 连 接于交， 连 接、的 两 弦点 引 圆的 中 点 ， 过的 弦圆 NPMBCF MABDEFCoAoP:.4ADRPQPQRBCABC290.6求 证 ： ，是 它 的 任 一 内 接 三 角 形，于，中 ， ;.7MQPBCMAQPACB，的 中 点 ， 求 证 ：

34、是，、直 角 三 角 形为 斜 边 分 别 向 外 作 等 腰、的 边以 )(;,120.8 为 费 马 点求 证 ： 内 任 意 一 点 ，是内 一 点 ，是已 知 OCBAPBA ABCPCO 欢迎光临 中学数学信息网下载资料 浙江省瓯海中学 徐进光中学数学信息网系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有中学数学信息网例题答案【例 1】P 是平行四边形 内一点，且 。ABCDPCBA求证： PB【例 2】“风平三角形”中， 60,2 BOCACBA三 线 也 相 交 于 一 点 ；、求 证 ： ，三 线 交 于 一 点、， 设、垂 线六 个 点 分 别 作 所 在 边 的 ， 过 上 述

35、、分 别 交 于 点、的 三 边与圆 212 121212121 2.9cba DcbacbaCBAABCABOONMNPO PBCDOABCD， 求 证 ：、于、分 别 交 ， 连 接 并 延 长于的 切 线 交作 圆的 直 径 ， 过的 外 接 圆是.104376 ;85,1;74,82 ,;3,5)( ， 即四 点 共 圆 。 故、 得由 已 知知 都 是 平 行 四 边 形 ，、由则【 分 析 】 作 变 换 CPD PDPABDAT3 COABAOSS三 角 形 为 等 边共 线 ，、共 线 ，、共 线 ，、记 为 重 合 ，和， 则【 分 析 】 作 变 换 OPQBOQRPR R

36、TAT ; , )()(3 COBAOSS欢迎光临 中学数学信息网下载资料 浙江省瓯海中学 徐进光中学数学信息网系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有中学数学信息网求证：【例 3】在两条对角线长度以及夹角一定的所有凸四边形中，试求周长最小的四边形。 形 时 ， 周 长 最 小 ；故 当 四 边 形 为 平 行 四 边同 理 可 得 的 中 点 ；、分 别 为、，的 中 点 且是 ；交 于、平 行 四 边 形 ； 延 长 是 一 个 符 合 条 件 的， 则， 令、的 中 点、【 分 析 】 取 DCBABGCAD CGAFEEFE DBAT 2,/ )(【评注】当已知条件分 散，尤其是相

37、等的条件 分散，而又不容易找出 证明途径，或题目中有平行条件时，将图形的某一部分施行平移变换，常常十分凑效。 PMNPFNPEDMPFEDFABGHAB FPFGHPoFPSGHS GHS 180 /, ,)()( )(四 点 共 圆、 ；，又 ， ，； 又圆显 然的 直 径 ，为 过【 分 析 】 设)(,2|1| ,曲 线 系 知 识解 析 法 证 明 ： 利 用 二 次 则中 点 的 距 离 为到， 已 知、于交、， 连 接、 作 两 条 相 交 弦， 过上 的 一 点内 一 弦的 圆已 知 半 径【 评 注 】 一 般 结 论 为 ：rRaPN aABrOMABCEoR的 周 长 最

38、小 ；， 使 得 、上 各 求 一 点、及 射 线内 一 个 定 圆 ， 试 在 圆是 给 定 锐 角】 圆【 例 Q QPCoo5。； 求 证于交 ， 连 接于交， 连 接、的 两 弦点 引 圆的 中 点 ， 过的 弦圆】【 例 NPMMABEFooP:4欢迎光临 中学数学信息网下载资料 浙江省瓯海中学 徐进光中学数学信息网系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有中学数学信息网顶 点 。为 所 求 的 三 角 形 的 三 个、则 、于、分 别 交， 连 接， 令， 交 圆 周 于连 接 做 法 ：的 周 长 为 最 小 ， 于 是 有为 最 小 ， 从 而取 最 小 值 时 ，当 理 ，

39、是 该 圆 直 径 ， 由 正 弦 定四 点 共 圆 ，、 ， 则于交，于交设 角 形 ；的 情 况 下 周 长 最 小 的 三是 在 取 定， 显 然、 于、分 别 交， 连 接， 令上 任 取 一 点【 分 析 】 在 圆RQP RQCBAPPPOCRQEF EFFCEBARQ CBAPPPoCBSAS CBSCAS 212)(1)( 100 000 2101210 010 212)(01)(, ;sin, 【评注】如果题设中有角平分线、垂线，或图形是等腰三角形、圆等轴对称图形，可以将图形或其部分进行轴对称变换。此外，也可以适当选择对称轴将一些线段的位置变更，以便于比较它们之间的大小。DA

40、B2906求 证 ： ，是 它 的 任 一 内 接 三 角 形，于，中 ，】【 例 ;7MQP BCMAQPACB，的 中 点 ， 求 证 ： 是，、直 角 三 角 形为 斜 边 分 别 向 外 作 等 腰、的 边】 以【 例ADRPQRPQADAPAPAPRPQRQPRQPPPPAAAPPAPPARPQRQPRPQRPQAPAPAPQPPQRPRPPPPP ACSABS222,1802,90, )()( 的内部；上或在凸四边形点在线段又则【分析】设欢迎光临 中学数学信息网下载资料 浙江省瓯海中学 徐进光中学数学信息网系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有中学数学信息网OCBAPBACO

41、PPBB POOCBRBRR 即 ： 四 点 共 线 ，、 ；由 于 ，显 然 ， 都 是 正 三 角 形、则 ；、连 接【 分 析 】 将 1802 , )60,()60,()60,( )(; ,1208为 费 马 点求 证 ： 内 任 意 一 点 ，是内 一 点 ，是】 已 知【 例 OCBAPBA ABCPO 三 线 也 相 交 于 一 点 ；、求 证 ： ，三 线 交 于 一 点、， 设、垂 线六 个 点 分 别 作 所 在 边 的 ， 过 上 述、分 别 交 于 点、的 三 边与】 圆【 例 212 121212121 29cba Dcbacba CBA三 线 也 相 交 于 一 点

42、、即 ： 的 公 共 点、也 是 像下 的 像在 变 换的 公 共 点、 ，同 理 ： 成 中 心 对 称 ，关 于 圆 心、【 分 析 】212 2122)180,(2)180,( 2)180,(cba cbaDRDccaOOR OR ；且而显然：都是等腰三角形，、则，使到，延长，使到【分析】延长MQMPMQMPBFMQECPMBFECBFECFCBECAFBAECQQFFCQBPPEEBPARAR ,21/,21/;, )90,()90,(欢迎光临 中学数学信息网下载资料 浙江省瓯海中学 徐进光中学数学信息网系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有中学数学信息网23 抽屉原理ONMNOBBNBCG ACGBACDOFDPGMPBGBC ONMNONOMBAHAMBHAMBH /, , /,90 ,