1、第二讲向量运算与复数运算、算法、合情推理,【知识回顾】1.平面向量(1)两个非零向量平行、垂直的充要条件:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则aba=b(b0,R)_;abab=0_.,x1y2-x2y1=0,x1x2+y1y2=0,(2)重要结论:若a与b不共线,且a+b=0,则=0;已知 (,为常数),则A,B,C三点共线的充要条件是+=1.,(3)三个性质:若a=(x,y),则|a|= =_;若A(x1,y1),B(x2,y2),则 _;设为a与b(a0,b0)的夹角,且a=(x1,y1),b=(x2,y2),则cos= _.,2.复数(1)四则运算法则:(a+bi)(c+di)
2、=_(a,b,c,dR);(a+bi)(c+di)=_(a,b,c,dR);(a+bi)(c+di)= (a,b,c,dR,c+di0).,(ac)+(bd)i,(ac-bd)+(bc+ad)i,(2)常用结论:(1i)2=_; =_; =_;-b+ai=i(a+bi);i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,其中nN*.,2i,i,-i,【易错提醒】1.忽略复数的定义致误:在解决与复数概念有关的问题时,在运用复数的概念时忽略某一条件而致误.2.不能准确把握循环次数致误:解答循环结构的程序框图(流程图)问题,要注意循环次数,防止多一次或少一次的错误.,3.忽略特殊情况致
3、误:两个向量夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价;两个向量夹角为钝角与向量的数量积小于0不等价.,【考题回访】1.(2016全国卷)设(1+i)x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=()A.1 B. C. D.2【解析】选B.因为(1+i)x=1+yi，所以x+xi=1+yi，得x=y=1，所以|x+yi|=|1+i|= .,2.(2016全国卷)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,如图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s=()A.7B.12C.17D.34,【解析】选C.第一次运算:s=02+2=2,k=1;第二次运算
4、:s=22+2=6,k=2;第三次运算:s=62+5=17,k=3,结束循环.,3.(2016全国卷)已知向量a=(1，m)，b=(3，-2)，且(a+b)b，则m=()A.-8 B.-6 C.6 D.8【解析】选D.a+b=(4，m-2)，因为(a+b)b，所以(a+b)b=12-2(m-2)=0，解得m=8.,热点考向一平面向量的运算及应用命题解读:考查向量的加法、减法及其几何意义、向量的坐标运算、向量的数量积及其综合应用,主要求向量的夹角、模、参数值或判断向量的平行、垂直关系,以选择题、填空题为主.,【典例1】(1)(2016郑州一模)已知点P为ABC所在平面内一点,边AB的中点为D,若
5、其中R,则P点一定在()A.AB边所在的直线上B.BC边所在的直线上C.AC边所在的直线上D.ABC的内部,(2)(2016全国卷)设向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m=_.,【解题导引】(1)将 中的 转化为 再利用D为AB的中点求解.(2)先求出a+b的坐标，再求出|a+b|2，|a|2，|b|2，再列方程求解.,【规范解答】(1)选C.因为所以 因为D为AB的中点,所以 所以P一定在AC边所在的直线上.,(2)由已知得：a+b=(m+1，3)，所以|a+b|2=|a|2+|b|2(m+1)2+32=m2+12+12+22，解得m=-2.答案：-2
6、,【规律方法】1.向量模长的两种计算方法(1)转化为向量的数量积.(2)把向量转化为坐标的形式,利用公式运算求解.,2.求解向量数量积最值问题的两种思路(1)直接利用数量积公式得出代数式,依据代数式求最值.(2)建立平面直角坐标系,通过坐标运算得出函数式,转化为求函数的最值.,【题组过关】1.(2016全国卷)已知向量 则ABC=()A.30B.45C.60D.120,【解析】选A.因为 所以cosABC= 即ABC=30.,2.(2016朔州一模)点O为ABC内一点，且满足 =0，设OBC与ABC的面积分别为S1，S2，则 =(),【解析】选B.延长OC到D，使OD=4OC，延长CO交AB于
7、E，因为O为ABC内一点，且满足 所以 所以O为DAB重心，E为AB中点，所以ODOE=21，所以OCOE=12，所以CEOE=32，所以 因为OBC与,ABC的面积分别为S1，S2，所以,3.(2016衡水一模)在等腰三角形ABC中,A=150,AB=AC=1,则 =(),【解析】选A.,4.(2016佛山一模)已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),若为实数,(b+a)c,则的值为_.【解析】b+a=(1+,2),因为(b+a)c,所以(b+a)c=0,即3(1+)+8=0,解得= 答案:,【加固训练】1.(2015全国卷)设向量a，b不平行，向量a+b与a+2b平行，则实
8、数=_.【解析】因为向量a+b与a+2b平行，所以a+b=k(a+2b)，则 答案：,2.(2015全国卷)设D为ABC所在平面内一点, 则(),【解析】选A.由题知,3.(2016福州一模)AD,BE分别是ABC的中线,若AD=BE=1,且 的夹角为120,则 =(),【解析】选C.由解得,4.在平行四边形ABCD中,APBD,垂足为P,且AP=3,则 =_.【解析】设ACBD=O,则 答案:18,5.(2016广州一模)已知向量a,b满足|b|=4,a在b方向上的投影是 ,则ab=_.【解析】设a与b的夹角为,则a在b方向上的投影为|a|cos= ,所以ab=|a|b|cos=4 =2.答
9、案:2,热点考向二复数的概念及运算命题解读:主要考查复数的有关概念,纯虚数、复数相等、共轭复数等,复数的四则运算中主要考查乘除运算,以选择题、填空题为主.,【典例2】(1)(2015全国卷)若a为实数且(2+ai)(a-2i)=-4i，则a=()A.-1B.0C.1D.2 (2)(2016朔州一模) 是复数z的共轭复数,若复数 满足 =1+i,则z=_.,【解题导引】(1)将(2+ai)(a-2i)=-4i转化为m+ni的形式，利用复数相等求解.(2)直接利用复数的代数形式的混合运算，以及共轭复数的概念求解.,【规范解答】(1)选B.由题意得4a+(a2-4)i=-4i，所以4a=0，a2-4
10、=-4，解得a=0.(2)因为 =1+i,所以 所以z= 答案:,【规律方法】1.与复数的相关概念和复数的几何意义有关的问题的解题思路:(1)变形分离出实部和虚部,把复数的非代数形式化为代数形式.(2)根据条件,列方程(组)求解.,2.与复数z的模|z|和共轭复数有关的问题的解题策略(1)设出复数z的代数形式z=a+bi(a,bR),代入条件.(2)待定系数法解决.,【题组过关】1.(2015全国卷)设复数z满足 =i，则|z|=()A.1B.C.D.2【解析】选A.因为 =i，所以z= 故|z|=1.,2.(2016蚌埠一模) =()A.-iB.iC.1+iD.1-i【解析】选B.,3.(2
11、016广州一模)设复数z1=3+2i,z2=1-i,则 ()A.2B.3C.4D.5【解析】选D.,【加固训练】1.若复数 的实部与虚部相等,则实数b等于()【解析】选C. 因为实部与虚部相等,所以2b+1=2-b,即b=,2.(2016郑州一模)复数z满足z(1-i)=-1-i,则|z+1|=()A.0B.1C. D.2【解析】选C.因为z(1-i)=-1-i,所以z(1-i)(1+i)=-(1+i)2,所以2z=-2i,所以z=-i,所以z+1=1-i,则|z+1|= .,3.(2016宝鸡二模)已知复数z1=1+ai,z2=3+2i,aR,i是虚数单位,若z1z2是实数,则a=()【解析
12、】选A.z1z2=(1+ai)(3+2i)=3-2a+(3a+2)i,因为z1z2是实数,所以3a+2=0,所以a=,热点考向三程序框图(流程图) 命题解读:主要考查程序框图的应用及基本算法语句,特别是含有循环结构的程序框图;与分段函数的求值、数列求和或求积,统计等有规律的重复计算问题放在一起、有时与实际问题交汇考查,多为选择题、填空题.,命题角度一求输入或输出值【典例3】(2015全国卷)执行如图所示的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=()A.5B.6C.7D.8,【解题导引】当St时,输出n的值,程序框图结束.【规范解答】选C.执行第一次,t=0.01,S=1,n=0,m= =
13、0.5,S=S-m=0.5,m= =0.25,n=1,S=0.5t=0.01,是,循环;执行第二次,S=S-m=0.25,m= =0.125,n=2,S=0.25t=0.01,是,循环;,执行第三次,S=S-m=0.125,m= =0.0625,n=3,S=0.125t=0.01,是,循环;执行第四次,S=S-m=0.0625,m= =0.03125,n=4,S=0.0625t=0.01,是,循环;执行第五次,S=S-m=0.03125,m= =0.015625,n=5,S=0.03125t=0.01,是,循环;,执行第六次,S=S-m=0.015625,m= =0.0078125,n=6,S
14、=0.015625t=0.01,是,循环;执行第七次,S=S-m=0.0078125,m= =0.00390625,n=7,S=0.0078125t=0.01,否,输出n=7.,【母题变式】1.若把本例题的条件t=0.01变为t=0.02,求输出的n值.【解析】执行第一次,t=0.01,S=1,n=0,m= =0.5,S=S-m=0.5,m= =0.25,n=1,S=0.5t=0.02,是,循环;,执行第二次,S=S-m=0.25,m= =0.125,n=2,S=0.25t=0.02,是,循环;执行第三次,S=S-m=0.125,m= =0.0625,n=3,S=0.125t=0.02,否,输
15、出n=3.,2.若把本例题的条件t=0.01变为t=0.55,循环体中,交换S=S-m与m= ,n=n+1的位置,结果如何?【解析】执行第一次,m= =0.25,n=1,S=0.75t=0.55,是,循环;执行第二次,m= =0.125,n=2,S=0.625t=0.55,是,循环;,执行第三次,m= =0.0625,n=3,S=0.5625t=0.55,是,循环;执行第四次,m= =0.03125,n=4,S=0.53125t=0.55,否,输出n=4.,命题角度二完善程序框图(流程图)【典例4】(2016福州一模)执行如图所示的程序框图,若输出的S=88,则判断框内应填入的条件是()A.k
16、7?B.k6?C.k5?D.k4?,【解题导引】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据程序框图所示的顺序可知:该程序的作用是累加并输出S的值,判断框内的语句决定是否结束循环,模拟执行程序即可得到答案.,【规范解答】选C.程序在运行过程中各变量值变化如下表:kS是否继续循环循环前10第一次22是第二次37是,第三次418是第四次541是第五次688否故退出循环的条件应为k5?或k6?.,【规律方法】解答程序框图(流程图)问题的关注点(1)要读懂程序框图,熟练掌握程序框图的三种基本结构,特别是循环结构(在如累加求和、累乘求积、多次输入等有规律的科学计算中,都有循环结构).,(2)准确把握控制循环的
17、变量,变量的初值和循环条件,弄清在哪一步结束循环;弄清循环体和输入条件、输出结果.(3)对于循环次数比较少的可逐步写出,对于循环次数较多的可先依次列出前几次循环结果,找出规律.,【题组过关】1.(2016全国卷)执行如图所示的程序框图,如果输入的a=4,b=6,那么输出的n=()A.3B.4C.5D.6【解题导引】注意a,b的变化.,【解析】选B.执行第一次循环的情况是:a=2,b=4,a=6,s=6,n=1;执行第二次循环的情况是:a=-2,b=6,a=4, s=10,n=2,执行第三次循环的情况是:a=2,b=4,a=6,s=16,n=3,执行第四次循环的情况是:a=-2,b=6,a=4,
18、s=20,n=4.根据走出循环体的判断条件可知执行完第四次走出循环体,输出n值,n值为4.,2.(2015全国卷)如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a为()A.0B.2 C.4D.14,【解析】选B.程序在执行过程中,a,b的值依次为a=14,b=18;b=4;a=10;a=6;a=2;b=2,此时a=b=2程序结束,输出a的值为2.,3.(2016广州一模)执行如图所示的程序框图,输出的结果为()A.(-2,2)B.(-4,0)C.(-4,-4)D.(0,-8),【解析】选B.模拟程序框图的运行过程,
19、如下;x=1,y=1,k=0时,s=x-y=0,t=x+y=2;x=s=0,y=t=2,k=1时,s=x-y=-2,t=x+y=2;x=s=-2,y=t=2,k=2时,s=x-y=-4,t=x+y=0;x=s=-4,y=t=0,k=3时,循环终止,输出(x,y)是(-4,0).,【加固训练】1.(2016长沙二模)执行如图的程序框图,若程序运行中输出的一组数是(x,-12),则x的值为()A.27B.81C.243D.729,【解析】选B.由程序框图可知:,2.(2016福州一模)阅读如图所示的程序框图,若输入a=0.45,则输出的k值是()A.3B.4C.5D.6,【解析】选D.该程序框图计
20、算的是数列前n项和,其中数列通项为an= 因为Sn0.45,所以n4.5,所以n最小值为5时满足Sn0.45,由程序框图可得输出的k值是6.,3.(2016石家庄一模)执行如图的程序框图,如果输入的N=10,则输出的x=()A.0.5B.0.8C.0.9D.1,【解析】选C.,4.(2016成都一模)执行如图的程序框图,若输出i的值为12,则,处可填入的条件分别为()A.S384?,i=i+1B.S384?,i=i+2C.S3840?,i=i+1 D.S3840?,i=i+2,【解析】选D.从选项中可知处填i+1或i+2.如果处填i+1,则S=1234567不会出现384或3840,如果处填入
21、i=i+2,则S=1246810 =3840.,热点考向四合情推理命题解读:主要以数表、数阵、图形等为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理、类比推理,以填空题为主.,【典例5】(1)观察下列等式:据此规律,第n个等式可为_.,(2)(2016葫芦岛一模)36的所有正约数之和可按如下方法得到:因为36=2232,所以36的所有正约数之和为(1+3+32)+(2+23+232)+(22+223+2232)=(1+2+22) (1+3+32)=91,参照上述方法,可求得200的所有正约数之和为_.,【解题导引】(1)观察已知等式左右两侧分母的变化规律,利用归纳推理解决.(2)可采用类比的方法,
22、先将200分解成质因数的乘积,然后依据质因数写出它所有正约数的和.,【规范解答】(1)等式左边的通项为 前n项和为 等式右边的每个式子的第一项为 共有n项,故为 故第n个等式可为,答案:,(2)类比36的所有正约数之和的方法有:200的所有正约数之和可按如下方法得到:因为200=2352,所以200的所有正约数之和为(1+2+22+23)(1+5+52)=465,所以200的所有正约数之和为465.答案:465,【规律方法】合情推理的解题思路(1)在进行归纳推理时,要根据已知的部分个体,适当变形,找出它们之间的联系,从而归纳出一般结论.(2)在进行类比推理时,要充分考虑已知对象性质的推理过程,
23、然后通过类比,推导出类比对象的性质.(3)归纳推理关键是找规律,类比推理关键是看共性.,【题组过关】1.(2016长沙二模)已知211=2,2213=34,23135=456,以此类推,第5个等式为(),A.241357=5678B.2513579=56789C.2413579=678910D.2513579=678910,【解析】选D.因为211=2,2213=34,23135=456,所以第5个等式为2513579=678910.,2.已知 由不等式归纳得到推广结论:tan+ n+1(nN*),则实数m=_.,【解析】观察所给三个不等式的特点可以发现,分母中tan的指数是k时,分子是kk,不等式右端为k+1,故所以m=nn.答案:nn,
