1、第三讲解答题压轴题突破,压轴热点一圆锥曲线的综合问题【典例1】(2016全国卷)已知椭圆E： 的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA.(1)当t=4，|AM|=|AN|时，求AMN的面积.(2)当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围.,【信息联想】信息：看到t=4，想到E的方程为 信息：看到A为E的左顶点，MANA，且|AM|=|AN|，想到MAN为等腰直角三角形，从而直线AM的倾斜角为 ，即k=1，想到直线NA的斜率为- =-1.,信息：看到2|AM|=|AN|，想到将|AM|，|AN|，分别用k，t表示，构建方程得k，t关系.,【解题
2、流程】第一步：求椭圆方程(1)设M(x1，y1)，则由题意知y10.当t=4时，E的方程为,第二步：求AMN的面积.A(-2，0).由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为 .因此直线AM的方程为y=x+2.将x=y-2代入 =1得，7y2-12y=0.,解得y=0或y= ，所以y1= .因此AMN的面积SAMN= 第三步：联立方程，表示|AM|，|AN|.,(2)由题意得，t3，k0，A(- ，0)，将直线AM的方程y=k(x+ )代入 得(3+tk2)x2+2 tk2x+t2k2-3t=0.由 得 故|AM|=,由题设，直线AN的方程为y=- (x+ ).故同理可得|AN|=,第四步：表
3、示t，根据t列不等式组求k的范围.由2|AM|=|AN|得 即(k3-2)t=3k(2k-1)，当k= 时，上式不成立，因此t= t3等价于,即 由此得 解得 kb0)的右焦点为F(1,0),短轴的一个端点B到F的距离等于焦距.(1)求椭圆C的方程.(2)过点F的直线l与椭圆C交于不同的两点M,N,是否存在直线l,使得BFM与BFN的面积比值为2?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.,【解析】(1)由已知得c=1,a=2c=2,所以b= .所以椭圆C的方程为 =1.,(2)BFM与BFN的面积比值为2等价于FM与FN比值为2.当直线l斜率不存在时,FM与FN比值为1,不符合题意,舍去
4、;当直线l斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1).直线l的方程代入椭圆方程,消x并整理得(3+4k2)y2+6ky-9k2=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2= ,y1y2= 由FM与FN比值为2得y1=-2y2由解得k= ,因此存在直线l :y= (x-1)使得BFM与BFN的面积比值为2.,2.已知A，B为抛物线C：y2=4x上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限，l1，l2分别过点A，B且与抛物线C相切，P为l1，l2的交点.(1)若直线AB过抛物线C的焦点F，求证：动点P在一条定直线上，并求此直线方程.(2)设C，D为直线l1，l2与直线x=4的交点，求
5、PCD面积的最小值.,【解析】(1)设 (y10y2).易知l1斜率存在，设为k1，则l1方程为y-y1= 由 得，k1y2-4y+4y1-k1y12=0由直线l1与抛物线C相切，知=16-4k1(4y1-k1y12)=0.于是， l1方程为,同理，l2方程为 联立l1，l2方程可得点P坐标为 因为 AB方程为y-y1AB过抛物线C的焦点F(1，0)，所以 所以y1y2=-4，所以动点P在一条定直线x=-1上.,(2)由(1)知，C，D的坐标分别为 所以|CD|=所以SPCD= 设y1y2=-t2(t0)，|y1-y2|=m，,由(y1+y2)2=(y1-y2)2+4y1y2=m2-4t20知
6、，m2t，当且仅当y1+y2=0时等号成立.所以SPCD= 设f(t)= 则f(t)=,所以0 时f(t)0.f(t)在区间上 为减函数；在区间上 为增函数.所以当t= 时，f(t)取最小值 .所以当y1+y2=0，y1y2=- ，即y1= ，y2=- 时，PCD面积取最小值 .,压轴热点二函数与导数的综合问题【典例2】(2016全国卷)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2 有两个零点.(1)求a的取值范围.(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1+x22.,【信息联想】信息：看到函数f(x)有两个零点，想到方程f(x)=0必须有两解，亦即函数y=f(x)与x轴必须有两个
7、交点.信息：看到求a的取值范围，a为f(x)中的一个参数，想到求解过程中要分类讨论.信息：看到x1，x2是f(x)的两个零点，想到x1+x22的等价条件，进而构造函数，求证x1+x20，则当x(-，1)时，f(x)0，所以f(x)在(-，1)内单调递减，在(1，+)内单调递增.又f(1)=-e，f(2)=a，取b满足b (b-2)+a(b-1)2= 0，故f(x)存在两个零点；,设a0，因此f(x)在(1，+)内单调递增.又当x1时，f(x)1，故当x(1，ln(-2a)时，f(x)0.因此f(x)在(1，ln(-2a)内单调递减，在(ln(-2a)，+)内单调递增，又当x1时，f(x)0，所
8、以f(x)不存在两个零点，综上，a的取值范围为(0，+).第三步：构造函数证明x1+x22.,(2)不妨设x1f(2-x2)，即f(2-x2)1时，g(x)1时，g(x)0.从而g(x2)=f(2-x2)0，故x1+x22.,【规律方法】求解函数与导数综合问题的策略(1)熟练掌握利用导数的几何意义求解曲线切线方程的方法.(2)掌握利用导数求解含有参数的高次式，含有ex的指数式，含有lnx的对数式及含有sinx，cosx的三角式，函数的单调性、极值、最值的方法.(3)掌握利用导数证明不等式的方法.,(4)掌握利用导数根据不等式的成立情况求参数的取值范围问题的常用方法分离参数法、构建函数法.(5)
9、掌握利用导数确定函数零点，方程根的个数问题的方法.,【押题预测】1.已知函数f(x)=xlnx- x2-x+a(aR)在其定义域内有两个不同的极值点.(1)求a的取值范围.(2)记两个极值点分别为x1,x2,且x10,若不等式e1+0在(0,+)上恒成立,所以g(x)在(0,+)上单调递增,此时g(x)不可能有两个不同零点.,若a0,在00,在x 时,g(x)0,即ln -10,所以0a .综上所述,0a 因为0x1x2,原式恒成立,即 恒成立.令t= ,t(0,1),则不等式lnt0.,所以h(t)在t(0,1)上单调递增,又h(1)=0,h(t)0,t(2,1)时,h(t)0)上的单调性.
10、(3)证明:当a=-1时,对任意的x0,都有 成立.,【解析】(1)由f(x)=x(lnx-a)(x1),得f(x)=lnx-a+1.因为对任意实数b,直线y=-x+b与函数f(x)的图象都不相切,所以f(x)=lnx-a+1-1,即alnx+2.而函数y=lnx+2在1,+)上单调递增,所以lnx+2ln1+2=2,故a2.,(2)当a=-1时,f(x)=x(lnx+1),f(x)=lnx+2,由f(x)=0得x= .当00,因此f(x)在t, )上单调递减,在( ,t+e上单调递增.,当t 时,在t,t+e上,f(x)0恒成立,所以f(x)在t,t+e上单调递增.综上所述,当0t 对任意的x0恒成立.由(2)知当a=-1时,f(x)=xlnx+x在 上单调递减,在 上单调递增,所以f(x)min= 设g(x)= (x0),则g(x)= ,所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减,g(x)max=g(1)=- .从而当a=-1时,对任意的x0,都有f(x)- g(x)(等号不同时取到),所以f(x) 成立,即对任意的x0,都有 成立.,
