1、第三讲用空间向量的方法解立体几何问题,【知识回顾】1.线、面的位置关系与向量的关系设直线l，m的方向向量分别为a=(a1，b1，c1)，b=(a2，b2，c2).平面，的法向量分别为 =(a3，b3，c3)， =(a4，b4，c4).,lmaba=kb_；lmabab=_；la a =_；la a=k _；,a1=ka2，b1=kb2，c1=kc2,0,a1a2+b1b2+c1c2=0,0,a1a3+b1b3+c1c3=0,a1=ka3，b1=kb3，c1=kc3, =k _； =_ .,a3=ka4，b3=kb4，,c3=kc4,0,a3a4+b3b4+c3c4=0,2.三种空间角与空间向量
2、的关系(1)设a，b分别为异面直线a，b的方向向量，则两异面直线所成的角满足cos=_.(2)设l是斜线l的方向向量，n是平面的法向量，则斜线l与平面所成的角满足sin=_.,(3)二面角如图()，AB，CD是二面角-l-的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小=_;,如图()()，n1，n2分别是二面角-l-的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足cos= _.,-cos或cos,3.直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一已知_向量即可作为它的方向向量.(2)平面的法向量：可利用方程组求出.设a，b是平面内两不共线已知向量，n为平面的法向量，则求法向量
3、的方程组为_.,非零,【易错提醒】1.忽视判定定理的条件致误：利用空间向量证明空间平行、垂直关系时，需转化为证明其所在方向向量、法向量的平行、垂直，但一定要交待清楚涉及向量所在的直线、平面是否满足判定定理的条件，如证明l，需证明l的方向向量l与平面的法向量n垂直，但一定要交待l这一条件.,2.忽视角的范围致误：应用空间向量求空间角时，忽视异面直线所成角的范围为 ；直线与平面所成角的范围为 ，二面角范围为0，.,3.混淆空间角与向量的夹角致误：异面直线所成的角应是其方向向量的夹角或其补角；二面角应是其法向量的夹角或其补角.,4.不能准确掌握利用空间向量求直线与平面所成角的公式致误：空间向量求直线
4、与平面所成的角公式是sin= ，而非cos= .,【考题回访】1.(2014全国卷)直三棱柱ABC-A1B1C1中，BCA=90，M，N分别为A1B1，A1C1的中点.BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(),【解析】选C.由题意，以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.,令BC=CA=CC1=2，则C(0，0，0)，A(0，2，0)，B(2，0，0)，A1(0，2，2)，B1(2，0，2)，C1(0，0，2).因为M，N分别为A1B1，A1C1的中点，所以M(1，1，2)，N(0，1，2)，这时,所以所以BM与AN所成角的余弦值为,2.(2016北京高考)如图，在四棱锥P-
5、ABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PA=PD，ABAD，AB=1，AD=2，AC=CD= .,(1)求证：PD平面PAB.(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM/平面PCD？若存在，求 的值；若不存在，说明理由.,【解析】(1)因为平面PAD平面ABCD，交线为AD，AB平面ABCD，ABAD，所以AB平面PAD.因为PD平面PAD，所以ABPD.又因为PAPD，PAAB=A，PA，AB平面PAB，所以PD平面PAB.,(2)取AD中点O，连接OP，OC.因为PA=PD，所以OPAD.又因为平面PAD平面ABCD，交线为AD，OP平面PA
6、D，所以OP平面ABCD.又因为AC=CD，所以OCAD.,因为ABAD，所以OCAB且OC=2AB.如图，分别以OC，OA，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.P(0，0，1)，B(1，1，0)，C(2，0，0)，D(0，-1，0). 设平面PCD的法向量为n=(x，y，z)，,则 所以z=2x，y=-2x.令x=1得，n=(1，-2，2). 所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为,(3)方法一：过B作BEAD，交OC于H，交CD于E.因为OCAB且OC=2AB，所以OHAB，OH=AB，BH=AO.所以H为OC的中点.所以EHOD，EH= OD.所以BE= AD且BEAD.
7、,在PD，PA上分别取点F，M，使得PF= PD，PM= PA，则FMAD，FM= AD.所以FMBE，FM=BE.所以四边形BEFM为平行四边形.所以BMEF.又因为BM平面PCD，EF平面PCD，所以BM平面PCD.,因此，在棱PA上存在点M，使得BM平面PCD，且,方法二：假设存在M点使得BM面PCD，设 =，M(0，y，z)，由(2)知A(0，1，0)，P(0，0，1)， =(0，-1，1)，B(1，1，0)， =(0，y-1，z)，有 = M(0，1-，)，,所以 =(-1，-，).因为BM面PCD，n为面PCD的法向量，所以 n=0，即-1+2+2=0.所以= .综上，存在M点，即
8、当 时，M点即为所求.,热点考向一利用空间向量证明空间平行、垂直关系命题解读：主要考查建立空间直角坐标系、利用空间向量与空间平行、垂直的关系，证明空间线、面间的平行、垂直关系，以解答题为主.,【典例1】(2016厦门二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点.证明：(1)BEDC.(2)BE平面PAD.(3)平面PCD平面PAD.,【解题导引】,【规范解答】依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).由E为棱PC的中点，得E(1，1，
9、1).,(1)向量 故所以BEDC.,(2)因为ABAD，又PA平面ABCD，AB平面ABCD，所以ABPA，PAAD=A，所以AB平面PAD，所以向量 =(1，0，0)为平面PAD的法向量，而 =(0，1，1)(1，0，0)=0，所以BEAB，又BE平面PAD，所以BE平面PAD.,(3)由(2)知平面PAD的法向量 =(1，0，0)，向量 设平面PCD的法向量为n=(x，y，z)，则 即 不妨令y=1，可得n=(0，1，1)为平面PCD的一个法向量.,且n =(0，1，1)(1，0，0)=0，所以n .所以平面PAD平面PCD.,【易错警示】解答本题易出现三种错误(1)建系后，将相关点的坐
10、标确定错，造成后面步步错.(2)在(2)中忽略BE平面PAD，而致误.(3)将平面的法向量求错，而致误.,【规律方法】利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤(1)建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用条件中的垂直关系.(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素.,(3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系.(4)根据运算结果解释相关问题.,【题组过关】1.(2016黄石二模)如图所示，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA=AB=1，BC=2.(1)求证：
11、EF平面PAB.(2)求证：平面PAD平面PDC.,【证明】以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)，,所以,(1)因为 所以 即EFAB.又AB平面PAB，EF平面PAB，所以EF平面PAB.,(2)因为 所以 即APDC，ADDC.又因为APAD=A，AP平面PAD，AD平面PAD，,所以DC平面PAD.因为DC平面PDC，所以平面PAD平面PDC.,2.(2016沈阳一模)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABC=90，BC=2，CC1=4，点E在线段
12、BB1上，且EB1=1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点.求证：(1)B1D平面ABD.(2)平面EGF平面ABD.,【证明】(1)以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，,则B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，4)，C1(0，2，4)，设BA=a，则A(a，0，0)，所以,即B1DBA，B1DBD.又BABD=B，BA，BD平面ABD，因此B1D平面ABD.,(2)由(1)知，E(0，0，3)，G F(0，1，4)，则即B1DEG，B1DEF.,又EGEF=E，EG，EF平面EGF，因此B1D平面EGF.
13、结合(1)可知平面EGF平面ABD.,【加固训练】1.如图，在直三棱柱ADE-BCF中，平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点.运用向量方法证明：(1)OM平面BCF.(2)平面MDF平面EFCD.,【证明】由题意，得AB，AD，AE两两垂直，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系.,设正方形边长为1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，F(1，0，1)，,则 所以OMBA.因为棱柱ADE-BCF是直三棱柱，所以AB平面BCF，所以 是平面BCF的一个法向量，且OM平面BCF，所以OM平面BCF.,(2)设平面MDF
14、与平面EFCD的法向量分别为n1=(x1，y1，z1)，n2=(x2，y2，z2).因为由得,令x1=1，则n1= 同理可得n2=(0，1，1).因为n1n2=0，所以平面MDF平面EFCD.,2.如图所示，平面PAC平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC=16，PA=PC=10.(1)设G是OC的中点，证明：FG平面BOE.(2)证明：在ABO内存在一点M，使FM平面BOE.,【证明】(1)如图所示，连接OP，因为PA=PC，所以OPAC，因为平面PAC平面ABC，所以OP平面ABC，OPOB，,又因为ABC是以AC为斜边的等腰直角三角
15、形，所以OBAC.以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0，0，0)，A(0，-8，0)，B(8，0，0)，C(0，8，0)，P(0，0，6)，E(0，-4，3)，F(4，0，3)，,由题意得，G(0，4，0)，因为 因此平面BOE的一个法向量n=(0，3，4)， =(-4，4，-3)，得n =0，又直线FG不在平面BOE内，因此有FG平面BOE.,(2)设点M的坐标为(x0，y0，0)，则 =(x0-4，y0，-3)，因为FM平面BOE，所以有 n，因此有x0=4，y0=即点M的坐标为,AOB的内部区域可表示为不等式组 经检验，
16、点M的坐标满足上述不等式组，所以，在ABO内存在一点M，使FM平面BOE.,热点考向二利用空间向量计算空间角 命题解读：主要考查以具体几何体为载体，建立恰当的空间直角坐标系，计算或应用异面直线所成角、线面角、二面角的大小，三种题型均有可能出现.,命题角度一利用空间向量计算异面直线所成角或线面角【典例2】(1)(2016郑州二模)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=CC1=2，AC=2 ，M是AC的中点，则异面直线CB1与C1M所成角的余弦值为_.,(2)(2016全国卷)如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上
17、一点，AM=2MD，N为PC的中点.证明：MN平面PAB.求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.,【解题导引】(1)以M为原点，MA为x轴，MB为y轴，过M作AC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线CB1与C1M所成角的余弦值.(2)利用线面平行的判定定理证明.以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解直线与平面所成角的正弦值.,【规范解答】(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=CC1=2，AC=2 ，M是AC的中点，所以BMAC，BM= =1.以M为原点，MA为x轴，MB为y轴，过M作AC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则,设异面直线CB1与C1
18、M所成角为，则所以异面直线CB1与C1M所成角的余弦值为 答案：,(2)(1)由已知得AM= AD=2，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TNBC，TN= BC=2.又ADBC，故TNAM，TN=AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.,取BC的中点F，连接AF.由AB=AC得AFBC，从而AFAD且AF=以A为坐标原点， 的方向为x轴的正方向， 的方向为y轴的正方向， 的方向为z轴的正方向，建立空间直角坐标系，由题意可得,所以设n=(x，y，z)为平面PMN的法向量，则 即,可取 所以所以直线AN与平面PMN所成角
19、的正弦值为,命题角度二利用空间向量计算二面角【典例3】(2016宜宾二模)如图1，在矩形ABCD中，AB= ，BC=4，E是边AD上一点，且AE=3，把ABE沿BE翻折，使得点A到A满足平面ABE与平面BCDE垂直(如图2).,(1)若点P在棱AC上，且CP=3PA，求证：DP平面ABE.(2)求二面角B-AE-D的余弦值的大小.,【解题导引】(1)若点P在棱AC上，且CP=3PA，根据线面平行的判定定理即可证明DP平面ABE.(2)充分利用题设中垂直关系，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角B-AE-D的余弦值的大小.,【规范解答】(1)在图2中，过P作PQBC交AB
20、于点Q.因为CP=3PA，所以 因为BC=4，所以PQ=1，因为DEBC，DE=1，所以DE PQ，,所以四边形QEDP为平行四边形，所以DPEQ.因为DP平面ABE，EQ平面ABE，所以DP平面ABE.,(2)在图2中，过A作AFBE于点F，因为平面ABE平面BCDE，所以AF平面BCDE.因为BAE=90，AB= ，AE=3，所以AEB=30，,过F作FGDE交DE的延长线于点G，则如图2，建立空间直角坐标系D-xyz，D(0，0，0)，E(1，0，0)，B(4， ，0)，C(0， ，0)， 则,设平面ABE的法向量n=(x，y，z)，则 即 可取n=(1，- ，0).设平面ADE的法向量
21、m=(x1，y1，z1)，,则 即 可取m=(0，2，- ).所以cos=因为二面角B-AE-D为钝角，所以二面角B-AE-D的余弦值的大小为,【易错警示】解答本题易出现以下四种错误(1)以D以外的点为原点建错系，造成错解.(2)以D为原点建立空间直角坐标系，但将相关点的坐标写错，造成结果错误.(3)求错法向量，导致所求结果错误.(4)不考虑二面角是锐角还是钝角，造成结论错误.,【母题变式】1.在典例3的条件下求二面角B-AE-C的大小.【解析】 设平面AEC的一个法向量为l=(x2，y2，z2)，则有 即,取l=( ，1，-2 )，由典例(2)解析知平面ABE的法向量为n=(1，- ，0)，
22、所以cos=0，所以二面角B-AE-C的大小为90.,2.在典例3的条件下，求点B到平面AEC的距离.【解析】由典例解析知而由母题变式1的解析知，平面AEC的一个法向量l=( ，1，-2 )，,所以点B到平面AEC的距离为,【规律方法】1.利用空间向量求空间角的一般步骤(1)建立恰当的空间直角坐标系.(2)求出相关点的坐标，写出相关向量的坐标.(3)结合公式进行论证、计算.(4)转化为几何结论.,2.利用空间向量求线线角、线面角的思路(1)异面直线所成的角，可以通过两直线的方向向量的夹角求得，即cos=|cos|.(2)直线与平面所成的角主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得，即sin
23、=|cos|.,3.利用空间向量求二面角的思路二面角的大小可以利用分别在两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量的夹角(或其补角)或通过二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角.,4.利用空间向量求点到平面距离的方法如图，设A为平面内的一点，B为平面外的一点，n为平面的法向量，则B到平面的距离,【题组过关】1.(2016晋中一模)如图，在几何体ABCDEF中，ABCD，AD=DC=CB=1，ABC=60，四边形ACFE为矩形，FB= ，M，N分别为EF，AB的中点.,(1)求证：MN平面FCB.(2)若直线AF与平面FCB所成的角为30，求平面MAB与平面FCB所成角的余弦
24、值.,【解析】(1)取BC的中点Q，连接NQ，FQ，则NQ= AC，NQAC，又MF= AC，MFAC，所以MF=NQ，MFNQ，则四边形MNQF为平行四边形，即MNFQ.因为FQ平面FCB，MN平面FCB，所以MN平面FCB.,(2)由ABCD，AD=DC=CB=1，ABC=60，可得，ACB=90，AC= ，BC=1，AB=2，因为四边形ACFE为矩形，所以ACFC，FCBC=C，所以AC平面FCB，则AFC为直线AF与平面FCB所成的角，即AFC=30，所以FC=3.,因为FB= ，所以FC2+BC2=FB2，所以FCBC.则可建立如图所示的空间直角坐标系，所以A( ，0，0)，B(0，
25、1，0)，则,设m=(x，y，z)为平面MAB的法向量，则 即 取x=2 ，则m=(2 ，6，1)为平面MAB的一个法向量.又n=( ，0，0)为平面FCB的一个法向量，则,则平面MAB与平面FCB所成角的余弦值为,2.(2016贵阳一模)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，ADC=60，平面PCD平面ABCD，PC=PD=CD=2，点M为线段PB上异于P，B的点.,(1)当点M为PB的中点时，求证：PD平面ACM.(2)当二面角B-AC-M的余弦值为 时，试确定点M的位置.,【解析】(1)设AC，BD的交点为N，连接MN，因为M，N分别为BP，BD的中点，所以PDMN，又MN平面
26、ACM，PD平面ACM，所以PD平面ACM.,(2)设CD的中点为O，因为PC=PD=CD=2，平面PCD平面ABCD，所以PO平面ABCD，又因为在菱形ABCD中，ADC=60，所以OACD，,建立以O为坐标原点，OA，OC，OP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：,则A( ，0，0)，B( ，2，0)，C(0，1，0)，P(0，0， )，设 (01)，则,设平面ACM的法向量为n=(x，y，z)，由 得 令x=1，则y= ，z=3- ，即n= 又平面ABCD的法向量为m=所以,解得：= 或=1(舍去).所以点M为线段PB的中点.,【加固训练】1.(2016石家庄一模)在平面四边形ACB
27、D(图)中，ABC与ABD均为直角三角形且有公共斜边AB，设AB=2，BAD=30，BAC=45，将ABC沿AB折起，构成如图所示的三棱锥C-ABD，且使CD= .,(1)求证：平面CAB平面DAB.(2)求二面角A-CD-B的余弦值.,【解析】(1)取AB的中点O，连接CO，DO，在RtACB和RtADB中，AB=2，则CO=DO=1，又CD= ，所以CO2+DO2=CD2，即COOD，又COAB，又ABOD=O，AB，OD平面ABD，,所以CO平面ABD，又CO平面ABC，所以平面CAB平面DAB.(2)以O为原点，AB，OC所在的直线分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，,则A
28、(0，-1，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，所以 设平面ACD的法向量为n1=(x1，y1，z1)，则 即,令z1=1，则y1=-1，x1= ，所以n1=( ，-1，1).设平面BCD的法向量为n2=(x2，y2，z2)，则 即,令z2=1，则y2=1，x2= 所以n2=所以所以二面角A-CD-B的余弦值为,2.(2016武汉一模)在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2，BC=1，AC= ，ACBC.(1)求点B到平面PAC的距离.(2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值.,【解析】(1)以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，过C作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，过P作
29、平面ABC的垂线PD，交AB于D，由题意知D是AB中点，则A( ，0，0)，B(0，1，0)，,设平面PAC的法向量n=(x，y，z)，则 取y=2 ，得n=(0，2 ，-1)，所以点B到平面PAC的距离,(2) 设异面直线PA与BC所成角为，所以异面直线PA与BC所成角的余弦值为,3.(2016衡水一模)如图，在四棱锥P-ABCD中，ABPA，ABCD，且PB=BC=BD= ，CD=2AB=2 ，PAD=120，E和F分别是棱CD和PC的中点.(1)求证：平面BEF平面PCD.(2)求直线PD与平面PBC所成的角的正弦值.,【解析】(1)因为BC=BD，E为CD中点，所以BECD.因为ABC
30、D，CD=2AB，所以ABDE，且AB=DE，所以四边形ABED是矩形.所以BEAD，BE=AD，ABAD，因为ABPA，又PAAD=A，所以AB平面PAD，所以CD平面PAD，,所以CDPD，且CDAD，又因为在平面PCD中，EFPD，所以CDEF.因为EFBE=E，EF平面BEF，BE平面BEF，又CDBE，所以CD平面BEF，因为CD平面PCD，所以平面BEF平面PCD.,(2)以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，建立空间直角坐标系，,因为PB=BC=BD= ，CD=2AB=2 ，PAD=120，所以PA= AD=BE=则P(0，-1， )，D(0，2，0)，,设平面PBC的法向量n=(
31、x，y，z)，则 取x= ，得n=设直线PD与平面PBC所成的角为，,所以直线PD与平面PBC所成的角的正弦值为,热点考向三利用空间向量解决探索性问题命题解读：主要考查利用空间向量探索与空间线面垂直、平行或空间三种角大小有关的点所在位置、参数的值的大小问题，一般为解答题的最后一问.,【典例4】(2016衡阳一模)直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1，BC的中点，AEA1B1，D为棱A1B1上的点.(1)证明：DFAE.,(2)是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为 ？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由.,【题目拆解】解答本
32、题第(2)问，可拆解成两个小题：假设存在，求平面DEF和平面ABC的法向量；解由二面角的余弦值为 所构建的方程，确定D点位置.,【规范解答】(1)因为AEA1B1，A1B1AB，所以AEAB，又因为AA1AB，AA1AE=A，所以AB平面A1ACC1，又因为AC平面A1ACC1，所以ABAC，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则有A(0，0，0)，,设D(x0，y0，z0)， 且0，1，即(x0，y0，z0-1)=(1，0，0)，则D(，0，1)，所以因为 所以所以DFAE.,(2)结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为 .理由如下：设平面DEF的法向量为n=
33、(x，y，z)，则 因为,所以 令z=2(1-)，则n=(3，1+2，2(1-).由题可知平面ABC的法向量m=(0，0，1)，因为平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为 ，所以|cos|=,即 解得= 或= (舍)，所以当D为A1B1中点时满足要求.,【规律方法】利用空间向量求解探索性问题的策略(1)假设题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论.,(2)在这个前提下进行逻辑推理，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标(或参数)是否有解，是否有规定范围内的解”等.若由此推导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论.,【题组过关】1.
34、(2016淮北一模)已知某几何体直观图和三视图如图所示，其正(主)视图为矩形，侧(左)视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，(1)求证：BN平面C1B1N.(2)设为直线C1N与平面CNB1所成的角，求sin的值.,(3)设M为AB中点，在BC边上找一点P，使MP平面CNB1，并求 的值.,【解析】(1)因为该几何体的正(主)视图为矩形，侧(左)视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，所以BA，BC，BB1两两垂直.以BA，BB1，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，,则N(2，2，0)，B1(0，4，0)，C1(0，4，2)，C(0，0，2)，因为所以BNNB1，BNB1C1且NB1
35、与B1C1相交于点B1，所以BN平面C1B1N.,(2)设n2=(x，y，z)为平面NCB1的一个法向量，则 取x=1，得n2=(1，1，2)，因为 =(2，-2，-2)，所以sin=,(3)因为M(1，0，0).设P(0，0，a)为BC上一点，则 =(-1，0，a)，因为MP平面CNB1，所以 n2， n2=-1+2a=0，解得a= ，所以当PB= 时，MP平面CNB1，所以,2.(2016石家庄二模)如图所示，已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1= ，点D为AC的中点.点E在线段AA1上.(1)当AEEA1=12时，求证：EDBC1.(2)是否存在点E，使二面角D-BE-A
36、等于60？若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由.,【解析】(1)连接DC1，因为ABC-A1B1C1为正三棱柱，所以ABC为正三角形.又因为D为AC的中点，所以BDAC.又平面ABC平面ACC1A1，所以BD平面ACC1A1，所以BDDE.,因为AEEA1=12，AB=2，AA1= ，所以AE= ，AD=1.所以在RtADE中，ADE=30.在RtDCC1中，C1DC=60.所以EDC1=90，即EDDC1.又BDDC1=D，,所以ED平面BDC1.又因为BC1平面BDC1，所以EDBC1.,(2)假设存在点E满足条件.设AE=h.取A1C1的中点D1，连接DD1，则DD1平面ABC.所以
37、DD1AD，DD1BD.如图，分别以DA，DB，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，,则A(1，0，0)，B(0， ，0)，E(1，0，h)(0h ).,所以 设平面DBE的一个法向量为n1=(x1，y1，z1)，则 即 令z1=1，得n1=(-h，0，1).同理，设平面ABE的一个法向量为n2=(x2，y2，z2)，,则 即 得n2=( ，1，0).所以|cos|=解得h= 故存在点E满足条件.当AE= 时，二面角D-BE-A等于60.,【加固训练】(2016西安二模)如图直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CC1=2，AB=BC，D是BA1上一点，且AD平面A1BC.(1)求
38、证：BC平面ABB1A1.,(2)在棱BB1是否存在一点E，使平面AEC与平面ABB1A1的夹角等于60，若存在，试确定E点的位置，若不存在，请说明理由.,【解析】(1)因为AD平面A1BC，BC平面A1BC，所以ADBC.因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以AA1平面ABC，因为BC平面ABC，所以AA1BC.因为ADAA1=A，AD平面ABB1A1，AA1平面ABB1A1，所以BC平面ABB1A1.,(2)因为BC平面ABB1A1，AB平面ABB1A1，所以BCAB.又BB1AB，BB1BC，于是可建立如图所示的空间直角坐标系.,因为ABC是等腰直角三角形，且斜边AC=2，所以AB=BC= .从而，A( ，0，0)，B(0，0，0)，C(0， ，0)，设存在满足条件的点E坐标为(0，0，a)(0a2)，,由(1)知平面ABB1A1的法向量设平面ACE的法向量n=(x，y，z)，由 可得 令z= 得n=(a，a， ).因为平面AEC与平面ABB1A1的夹角等于60，,所以解得a=1.所以当E为棱BB1中点时，平面AEC与平面ABB1A1的夹角等于60.,
