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五年级数学思维能力提升(奥数)讲义下册.doc

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资源描述

1、数学思维能力提升(奥数)(五年级下册)*教育教学研发中心 编目 录第 1 讲 定义新运算(一) 6第 2 讲 定义新运算(二) 9第 3 讲 数的整除性(一) 11第 4 讲 奇偶性(一) 15第 5 讲 质数与合数23第 6 讲 分解质因数25第 7 讲 最大公约数与最小公倍数(一)27第 8 讲 最大公约数与最小公倍数(二)29第 9 讲 余数问题32第 10 讲 孙子问题与逐步约束法34第 11 讲 位置原则39第 12 讲 最大最小42第 13 讲 多边形的面积46第 14 讲 用等量代换求面积50第 15 用割补法求面积53第 16 讲 列方程解应用题56第 17 讲 行程问题(一)

2、59第 18 讲 行程问题(二)62第 19 讲 抽屉原理(一)72第 20 讲 抽屉原理(二)74第 1 讲 定义新运算(一)我们已经学习过加、减、乘、除运算,这些运算,即四则运算是数学中最基本的运算,它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。除此之外,还会有什么别的运算吗?这两讲我们就来研究这个问题。这些新的运算及其符号,在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号,但学习讨论这些新运算,对于开拓思路及今后的学习都大有益处。例 1 对于任意数 a,b,定义运算“*”: a*b=ab-a-b。求 12*4 的值。分析与解:根据题目定义的运算要求,直接代入后用四则运算即可。12*4=124-12-4

3、=48-12-4=32。根据以上的规定,求 106的值。 3,x=2,求 x 的值。分析与解:按照定义的运算,=2,x=6。由上面三例看出,定义新运算通常是用某些特殊符号表示特定的运算意义。新运算使用的符号应避免使用课本上明确定义或已经约定俗成的符号,如+,-,等,以防止发生混淆,而表示新运算的运算意义部分,应使用通常的四则运算符号。如例 1 中,a*b=ab-a-b,新运算符号使用“*”,而等号右边新运算的意义则用四则运算来表示。分析与解:按新运算的定义,符号“”表示求两个数的平均数。四则运算中的意义相同,即先进行小括号中的运算,再进行小括号外面的运算。按通常的规则从左至右进行运算。分析与解

4、:从已知的三式来看,运算“ ”表示几个数相加,每个加数各数位上的数都是符号前面的那个数,而符号后面的数是几,就表示几个数之和,其中第 1 个数是 1 位数,第 2 个数是 2 位数,第3 个数是 3 位数按此规定,得3 5=3+33+333+3333+33333=37035。从例 5 知,有时新运算的规定不是很明显,需要先找规律,然后才能进行运算。例 6 对于任意自然数,定义:n!=12 n。例如 4!=1234。那么 1!+2!+3!+100!的个位数字是几?分析与解:1!=1,2!=12=2,3!=123=6,4!=1234=24,5!=12345=120,6!=123456=720,由此

5、可推知,从 5!开始,以后 6!,7!,8!,100!的末位数字都是 0。所以,要求 1!+2!+3!+100!的个位数字,只要把 1!至 4!的个位数字相加便可求得:1+2+6+4=13。所求的个位数字是 3。例 7 如果 m,n 表示两个数,那么规定:mn=4n-(m+n)2。求 3(46)12 的值。解:3(46)12=346-(4+6)212=31912=419-(3+19)212=6512=412-(65+12)2=9.5。练习 11.对于任意的两个数 a 和 b,规定 a*b=3a-b3。求 8*9 的值。2.已知 a b 表示 a 除以 3 的余数再乘以 b,求 13 4 的值。

6、3.已知 a b 表示(a-b)(a+b),试计算:(5 3) (10 6)。4.规定 ab 表示 a 与 b 的积与 a 除以 b 所得的商的和,求 82 的值。5.假定 mn 表示 m 的 3 倍减去 n 的 2 倍,即 mn=3m-2n。(2)已知 x(41)=7,求 x 的值。7.对于任意的两个数 P, Q,规定 PQ=(PQ)4。例如:28=(28)4。已知 x(85)=10,求 x 的值。8.定义: ab=ab-3b,a b=4a-b/a。计算:(43)(2 b)。9.已知: 2 3=234,4 5=45678,求(4 4)(3 3)的值。第 2 讲 定义新运算(二)例 1 已知

7、ab=(a+b)-(a-b),求 92 的值。分析与解:这是一道很简单的题,把 a=9,b=2 代入新运算式,即可算出结果。但是,根据四则运算的法则,我们可以先把新运算“”化简,再求结果。ab=(a+b)-(a-b)=a+b-a+b=2b。所以,92=22=4。由例 1 可知,如果定义的新运算是用四则混合运算表示,那么在符合四则混合运算的性质、法则的前提下,不妨先化简表示式。这样,可以既减少运算量,又提高运算的准确度。例 2 定义运算:ab=3a+5ab+kb,其中 a,b 为任意两个数,k 为常数。比如:27=32+527+7k。(1)已知 52=73。问:85 与 58 的值相等吗?(2)

8、当 k 取什么值时,对于任何不同的数 a,b,都有 ab=ba,即新运算“”符合交换律?分析与解:(1)首先应当确定新运算中的常数 k。因为 52=35+552+k2=65+2k,所以由已知 52=73,得 65+2k=73,求得 k=(73-65)2=4。定义的新运算是:ab=3a+5ab+4b。85=38+585+45=244,58=35+558+48=247。因为 244247,所以 8558。(2)要使 ab=ba,由新运算的定义,有3a+5ab+kb=3b+5ab+ka,3a+kb-3b-ka=0,3(a-b)-k(a-b)=0,(3-k)(a-b)=0。对于两个任意数 a,b,要使

9、上式成立,必有 3-k=0,即 k=3。当新运算是 ab=3a+5ab+3b 时,具有交换律,即 ab=ba。例 3 对两个自然数 a 和 b,它们的最小公倍数与最大公约数的差,定义为 ab,即 ab=a,b-(a,b)。比如,10 和 14 的最小公倍数是 70,最大公约数是 2,那么 1014=70-2=68。(1)求 1221 的值;(2)已知 6x=27,求 x 的值。分析与解:(1)1221=12,21-(12,21)=84-3=81;(2)因为定义的新运算“”没有四则运算表达式,所以不能直接把数代入表达式求 x,只能用推理的方法。因为 6x=6,x-(6,x)=27,而 6 与 x

10、 的最大公约数(6,x)只能是 1,2,3,6。所以 6 与 x的最小公倍数6,x只能是 28, 29, 30, 33。这四个数中只有 30 是 6 的倍数,所以 6 与 x 的最小公倍数和最大公约数分别是 30 和 3。因为 ab=a,b(a,b),所以 6x=303,由此求得 x=15。例 4 a 表示顺时针旋转 90,b 表示顺时针旋转 180,c 表示逆时针旋转 90,d 表示不转。定义运算“”表示“接着做”。求:ab;bc;ca。分析与解: ab 表示先顺时针转 90,再顺时针转 180,等于顺时针转 270,也等于逆时针转90,所以 ab=c。bc 表示先顺时针转 180,再逆时针

11、转 90,等于顺时针转 90,所以 bc=a。ca 表示先逆时针转 90,再顺时针转 90,等于没转动,所以 ca=d。对于 a,b,c,d 四种运动,可以做一个关于“”的运算表(见下表)。比如 cb,由 c 所在的行和 b 所在的列,交叉处 a 就是 cb 的结果。因为运算符合交换律,所以由 c 所在的列和 b 所在的行也可得到相同的结果。例 5 对任意的数 a,b,定义:f(a)=2a+1, g(b)=bb。(1)求 f(5)-g(3)的值;(2)求 f(g(2)+g(f(2)的值;(3)已知 f(x+1)=21,求 x 的值。解:(1) f(5)-g(3)=(25+1)-(33)=2;(

12、2)f(g(2)+g(f(2)=f(22)+g(22+1)=f(4)+g(5)=(24+1)+(55)=34;(3)f(x+1)=2(x+1)+1=2x+3,由 f(x+1)=21,知 2x+3=21,解得 x=9。练习 2 2.定义两种运算“”和“”如下:ab 表示 a,b 两数中较小的数的 3 倍,ab 表示 a,b 两数中较大的数的 2.5 倍。比如:45=43=12,45=52.5=12.5。计算:(0.60.5)+(0.30.8)(1.20.7)-(0.640.2)。4.设 m,n 是任意的自然数,A 是常数,定义运算 mn=(Am-n)4,并且 23=0.75。试确定常数 A,并计

13、算:(57)(22)(32)。5.用 a,b,c 表示一个等边三角形围绕它的中心在同一平面内所作的旋转运动:a 表示顺时针旋转 240,b 表示顺时针旋转 120,c 表示不旋转。运算“”表示“接着做”。试以 a,b,c 为运算对象做运算表。6.对任意两个不同的自然数 a 和 b,较大的数除以较小的数,余数记为 a b。比如7 3=1,5 29=4,4 20=0。(1)计算:1998 2000,(5 19) 19,5 (1 95);(2)已知 11 x=4,x 小于 20,求 x 的值。7.对于任意的自然数 a,b,定义:f(a)=aa-1,g(b)=b2+1。(1)求 f(g(6)-g(f(

14、3)的值;(2)已知 f(g(x)=8,求 x 的值。第 3 讲 数的整除性(一)三、四年级已经学习了能被 2,3,5 和 4,8,9,6 以及 11 整除的数的特征,也学习了一些整除的性质。这两讲我们系统地复习一下数的整除性质,并利用这些性质解答一些问题。数的整除性质主要有:(1)如果甲数能被乙数整除,乙数能被丙数整除,那么甲数能被丙数整除。(2)如果两个数都能被一个自然数整除,那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。(3)如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除,那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。(4)如果一个质数能整除两个自然数的乘积,那么这个质数至少能整除这两个自然数

15、中的一个。(5)几个数相乘,如果其中一个因数能被某数整除,那么乘积也能被这个数整除。灵活运用以上整除性质,能解决许多有关整除的问题。例 1 在里填上适当的数字,使得七位数7358能分别被 9,25 和 8 整除。分析与解:分别由能被 9,25 和 8 整除的数的特征,很难推断出这个七位数。因为 9,25,8 两两互质,由整除的性质(3)知,七位数能被 9258=1800 整除,所以七位数的个位,十位都是 0;再由能被 9 整除的数的特征,推知首位数应填 4。这个七位数是 4735800。例 2 由 2000 个 1 组成的数 11111 能否被 41 和 271 这两个质数整除?分析与解:因为

16、 41271=11111,所以由每 5 个 1 组成的数 11111 能被 41 和 271 整除。按“11111”把 2000 个 1 每五位分成一节, 20005=400,就有 400 节,因为 2000 个 1 组成的数 1111 能被 11111 整除,而 11111 能被 41 和 271 整除,所以根据整除的性质(1)可知,由 2000 个 1 组成的数 11111 能被 41 和 271 整除。例 3 现有四个数:76550,76551,76552,76554。能不能从中找出两个数,使它们的乘积能被 12 整除?分析与解:根据有关整除的性质,先把 12 分成两数之积:12=121

17、=62=34。要从已知的四个数中找出两个,使其积能被 12 整除,有以下三种情况:(1)找出一个数能被 12 整除,这个数与其它三个数中的任何一个的乘积都能被 12 整除;(2)找出一个数能被 6 整除,另一个数能被 2 整除,那么它们的积就能被 12 整除;(3)找出一个数能被 4 整除,另一个数能被 3 整除,那么它们的积能被 12 整除。容易判断,这四个数都不能被 12 整除,所以第(1)种情况不存在。对于第(2)种情况,四个数中能被 6 整除的只有 76554,而 76550,76552 是偶数,所以可以选76554 和 76550,76554 和 76552。对于第(3)种情况,四个

18、数中只有 76552 能被 4 整除,76551 和 76554 都能被 3 整除,所以可以选76552 和 76551,76552 和 76554。综合以上分析,去掉相同的,可知两个数的乘积能被 12 整除的有以下三组数:76550 和 76554, 76552 和 76554, 76551 和 76552。例 4 在所有五位数中,各位数字之和等于 43 且能够被 11 整除的数有哪些?分析与解:从题设的条件分析,对所求五位数有两个要求:各数位上的数字之和等于 43;能被 11 整除。因为能被 11 整除的五位数很多,而各数位上的数字之和等于 43 的五位数较少,所以应选择为突破口。有两种情

19、况:(1)五位数由一个 7 和四个 9 组成;(2)五位数由两个 8 和三个 9 组成。上面两种情况中的五位数能不能被 11 整除?9,8,7 如何摆放呢?根据被 11 整除的数的特征,如果奇数位数字之和是 27,偶数位数字之和是 16,那么差是 11,就能被 11 整除。满足这些要求的五位数是:97999,99979, 98989。例 5 能不能将从 1 到 10 的各数排成一行,使得任意相邻的两个数之和都能被 3 整除?分析与解:10 个数排成一行的方法很多,逐一试验显然行不通。我们采用反证法。假设题目的要求能实现。那么由题意,从前到后每两个数一组共有 5 组,每组的两数之和都能被 3整除

20、,推知 110 的和也应能被 3 整除。实际上,110 的和等于 55,不能被 3 整除。这个矛盾说明假设不成立,所以题目的要求不能实现。练习 31.已知 4205 和 2813 都是 29 的倍数,1392 和 7018 是不是 29 的倍数?2.如果两个数的和是 64,这两个数的积可以整除 4875,那么这两个数的差是多少?3.173是个四位数。数学老师说:“我在这个中先后填入 3 个数字,所得到的 3 个四位数,依次可以被 9,11,6 整除。”问:数学老师先后填入的 3 个数字之和是多少?班有多少名学生?6.能不能将从 1 到 9 的各数排成一行,使得任意相邻的两个数之和都能被 3 整

21、除?第 4 讲 奇偶性(一)整数按照能不能被 2 整除,可以分为两类:(1)能被 2 整除的自然数叫偶数,例如0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,(2)不能被 2 整除的自然数叫奇数,例如1,3,5,7,9,11,13,15,17,整数由小到大排列,奇、偶数是交替出现的。相邻两个整数大小相差 1,所以肯定是一奇一偶。因为偶数能被 2 整除,所以偶数可以表示为 2n 的形式,其中 n 为整数;因为奇数不能被 2 整除,所以奇数可以表示为 2n+1 的形式,其中 n 为整数。每一个整数不是奇数就是偶数,这个属性叫做这个数的奇偶性。奇偶数有如下一些重要性质:(1)两个奇偶性相

22、同的数的和(或差)一定是偶数;两个奇偶性不同的数的和(或差)一定是奇数。反过来,两个数的和(或差)是偶数,这两个数奇偶性相同;两个数的和(或差)是奇数,这两个数肯定是一奇一偶。(2)奇数个奇数的和(或差)是奇数;偶数个奇数的和(或差)是偶数。任意多个偶数的和(或差)是偶数。(3)两个奇数的乘积是奇数,一个奇数与一个偶数的乘积一定是偶数。(4)若干个数相乘,如果其中有一个因数是偶数,那么积必是偶数;如果所有因数都是奇数,那么积就是奇数。反过来,如果若干个数的积是偶数,那么因数中至少有一个是偶数;如果若干个数的积是奇数,那么所有的因数都是奇数。(5)在能整除的情况下,偶数除以奇数得偶数;偶数除以偶

23、数可能得偶数,也可能得奇数。奇数肯定不能被偶数整除。(6)偶数的平方能被 4 整除;奇数的平方除以 4 的余数是 1。因为(2n) 2=4n2=4n2,所以(2n) 2能被 4 整除;因为(2n+1) 2=4n2+4n+1=4(n 2+n)+1,所以(2n+1) 2除以 4 余 1。(7)相邻两个自然数的乘积必是偶数,其和必是奇数。(8)如果一个整数有奇数个约数(包括 1 和这个数本身),那么这个数一定是平方数;如果一个整数有偶数个约数,那么这个数一定不是平方数。整数的奇偶性能解决许多与奇偶性有关的问题。有些问题表面看来似乎与奇偶性一点关系也没有,例如染色问题、覆盖问题、棋类问题等,但只要想办

24、法编上号码,成为整数问题,便可利用整数的奇偶性加以解决。例 1 下式的和是奇数还是偶数?1+2+3+4+1997+1998。分析与解:本题当然可以先求出算式的和,再来判断这个和的奇偶性。但如果能不计算,直接分析判断出和的奇偶性,那么解法将更加简洁。根据奇偶数的性质(2),和的奇偶性只与加数中奇数的个数有关,与加数中的偶数无关。11998 中共有 999 个奇数,999 是奇数,奇数个奇数之和是奇数。所以,本题要求的和是奇数。例 2 能否在下式的中填上“+”或“-”,使得等式成立?123456789=66。分析与解:等号左端共有 9 个数参加加、减运算,其中有 5 个奇数,4 个偶数。5 个奇数

25、的和或差仍是奇数,4 个偶数的和或差仍是偶数,因为“奇数+偶数=奇数”,所以题目的要求做不到。例 3 任意给出一个五位数,将组成这个五位数的 5 个数码的顺序任意改变,得到一个新的五位数。那么,这两个五位数的和能不能等于 99999?分析与解:假设这两个五位数的和等于 99999,则有下式:其中组成两个加数的 5 个数码完全相同。因为两个个位数相加,和不会大于 9+9=18,竖式中和的个位数是 9,所以个位相加没有向上进位,即两个个位数之和等于 9。同理,十位、百位、千位、万位数字的和也都等于 9。所以组成两个加数的 10 个数码之和等于 9+9+9+9+9=45,是奇数。另一方面,因为组成两

26、个加数的 5 个数码完全相同,所以组成两个加数的 10 个数码之和,等于组成第一个加数的 5 个数码之和的 2 倍,是偶数。奇数偶数,矛盾的产生在于假设这两个五位数的和等于 99999,所以假设不成立,即这两个数的和不能等于 99999。例 4 在一次校友聚会上,久别重逢的老同学互相频频握手。请问:握过奇数次手的人数是奇数还是偶数?请说明理由。分析与解:通常握手是两人的事。甲、乙两人握手,对于甲是握手 1 次,对于乙也是握手 1 次,两人握手次数的和是 2。所以一群人握手,不论人数是奇数还是偶数,握手的总次数一定是偶数。把聚会的人分成两类:A 类是握手次数是偶数的人,B 类是握手次数是奇数的人

27、。A 类中每人握手的次数都是偶数,所以 A 类人握手的总次数也是偶数。又因为所有人握手的总次数也是偶数,偶数-偶数=偶数,所以 B 类人握手的总次数也是偶数。握奇数次手的那部分人即 B 类人的人数是奇数还是偶数呢?如果是奇数,那么因为“奇数个奇数之和是奇数”,所以得到 B 类人握手的总次数是奇数,与前面得到的结论矛盾,所以 B 类人即握过奇数次手的人数是偶数。例 5 五(2)班部分学生参加镇里举办的数学竞赛,每张试卷有 50 道试题。评分标准是:答对一道给 3 分,不答的题,每道给 1 分,答错一道扣 1 分。试问:这部分学生得分的总和能不能确定是奇数还是偶数?分析与解:本题要求出这部分学生的

28、总成绩是不可能的,所以应从每个人得分的情况入手分析。因为每道题无论答对、不答或答错,得分或扣分都是奇数,共有 50 道题,50 个奇数相加减,结果是偶数,所以每个人的得分都是偶数。因为任意个偶数之和是偶数,所以这部分学生的总分必是偶数。练习 41.能否从四个 3、三个 5、两个 7 中选出 5 个数,使这 5 个数的和等于 22?2.任意交换一个三位数的数字,得一个新的三位数,一位同学将原三位数与新的三位数相加,和是999。这位同学的计算有没有错?3.甲、乙两人做游戏。任意指定七个整数(允许有相同数),甲将这七个整数以任意的顺序填在下图第一行的方格内,乙将这七个整数以任意的顺序填在图中的第二行

29、方格里,然后计算出所有同一列的两个数的差(大数减小数),再将这七个差相乘。游戏规则是:若积是偶数,则甲胜;若积是奇数,则乙胜。请说明谁将获胜。4.某班学生毕业后相约彼此通信,每两人间的通信量相等,即甲给乙写几封信,乙也要给甲写几封信。问:写了奇数封信的毕业生人数是奇数还是偶数?5.A 市举办五年级小学生“春晖杯”数学竞赛,竞赛题 30 道,记分方法是:底分 15 分,每答对一道加 5 分,不答的题,每道加 1 分,答错一道扣 1 分。如果有 333 名学生参赛,那么他们的总得分是奇数还是偶数?6.把下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。是否有可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数?试讲出理由。7.红

30、星影院有 1999 个座位,上、下午各放映一场电影。有两所学校各有 1999 名学生包场看这两场电影,那么一定有这样的座位,上、下午在这个座位上坐的是两所不同学校的学生,为什么? 第 5 讲 质数与合数自然数按照能被多少个不同的自然数整除可以分为三类:第一类:只能被一个自然数整除的自然数,这类数只有一个,就是 1。第二类:只能被两个不同的自然数整除的自然数。因为任何自然数都能被 1 和它本身整除,所以这类自然数的特征是大于 1,且只能被 1 和它本身整除。这类自然数叫质数(或素数)。例如,2,3,5,7,第三类:能被两个以上的自然数整除的自然数。这类自然数的特征是大于 1,除了能被 1 和它本

31、身整除外,还能被其它一些自然数整除。这类自然数叫合数。例如,4,6,8,9,15,上面的分类方法将自然数分为质数、合数和 1,1 既不是质数也不是合数。例 1 1100 这 100 个自然数中有哪些是质数?分析与解:先把前 100 个自然数写出来,得下表:1 既不是质数也不是合数。2 是质数,留下来,后面凡能被 2 整除的数都是合数,都划去;3 是质数,留下来,后面凡能被 3 整除的数都是合数,都划去;类似地,把 5 留下来,后面凡是 5 的倍数的数都划去;把 7 留下来,后面凡是 7 的倍数的数都划去。经过以上的筛选,划去的都是合数,余下 26 个数,除 1 外,剩下的 25 个都是质数。这

32、样,我们便得到了 100 以内的质数表:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97。这些质数同学们应当熟记!细心的同学可能会注意到,以上只划到 7 的倍数,为什么不继续划去 11,13,的倍数呢?事实上,这些倍数已包含在已划去的倍数中。例如,100 以内 11 的倍数应该是11A100(其中 A 为整数),显然,A 只能取 2,3,4,5,6,7,8,9。因为 4=22,6=23,8=23,9=3 2,所以 A 必是2,3,5,7 之一的倍数。由此推知,11 的倍数已全部包含在 2,3,5,7 的

33、倍数中,已在前面划去了。要判断一个数 N 是质数还是合数,根据合数的定义,只要用从小到大的自然数2,3,4,5,6,7,8,N-1 去除 N,其中只要有一个自然数能整除 N,N 就是合数,否则就是质数。但这样太麻烦,因为除数太多。能不能使试除的数少一点呢?由例 1 知,只要用从小到大的质数去除 N就可以了。例 2 给出的判别方法,可以使试除的数进一步减少。例 2 判断 269,437 两个数是合数还是质数。分析与解:对于一个不太大的数 N,要判断它是质数还是合数,可以先找出一个大于 N 且最接近 N 的平方数 K2,再写出 K 以内的所有质数。如果这些质数都不能整除 N,那么 N 是质数;如果

34、这些质数中有一个能整除 N,那么 N 是合数。因为 26917 2=289。17 以内质数有 2,3,5,7,11,13。根据能被某些数整除的数的特征,个位数是 9,所以 269 不能被 2,5 整除;2+6+9=17,所以 269 不能被 3 整除。经逐一判断或试除知,这 6 个质数都不能整除 269,所以 269 是质数。因为 43721 2=441。21 以内的质数有 2,3,5,7,11,13,17,19。容易判断 437 不能被2,3,5,7,11 整除,用 13,17,19 试除 437,得到 43719=23,所以 437 是合数。对比一下几种判别质数与合数的方法,可以看出例 2

35、 的方法的优越性。判别 269,用 2268 中所有的数试除,要除 267 个数;用 2268 中的质数试除,要除 41 个数;而用例 2 的方法,只要除 6 个数。例 3 判断数 1111112111111 是质数还是合数?分析与解:按照例 2 的方法判别这个 13 位数是质数还是合数,当然是很麻烦的事,能不能想出别的办法呢?根据合数的意义,如果一个数能够写成两个大于 1 的整数的乘积,那么这个数是合数。根据整数的意义,这个 13 位数可以写成:1111112111111=1111111000000+1111111=1111111(1000000+1)=11111111000001。由上式知

36、,111111 和 1000001 都能整除 1111112111111,所以 1111112111111 是合数。这道例题又给我们提供了一种判别一个数是质数还是合数的方法。例 4 判定 298+1 和 298+3 是质数还是合数?分析与解:这道题要判别的数很大,不能直接用例 1、例 2 的方法。我们在四年级学过 an的个位数的变化规律,以及 an除以某自然数的余数的变化规律。2 n的个位数随着 n 的从小到大,按照 2,4,8,6每 4 个一组循环出现,984=242,所以 298的个位数是 4,(2 98+1)的个位数是 5,能被 5 整除,说明(2 98+1)是合数。(2 98+3)是奇

37、数,不能被 2 整除; 2 98不能被 3 整除,所以(2 98+3)也不能被 3 整除;(2 98+1)能被 5 整除,(2 98+3)比(2 98+1)大 2,所以(2 98+3)不能被 5 整除。再判断(2 98+3)能否被 7 整除。首先看看 2n7 的余数的变化规律:因为 983 的余数是 2,从上表可知 298除以 7 的余数是 4,(2 98+3)除以 7 的余数是 4+3=7,7 能被7 整除,即(2 98+3)能被 7 整除,所以(2 98+3)是合数。例 5 已知 A 是质数,(A+10)和(A+14)也是质数,求质数 A。分析与解:从最小的质数开始试算。A=2 时,A+1

38、0=12,12 是合数不是质数,所以 A2。A=3 时,A+10=13,是质数;A+14=17 也是质数,所以 A 等于 3 是所求的质数。A 除了等于 3 外,还可以是别的质数吗?因为质数有无穷多个,所以不可能一一去试,必须采用其它方法。A,(A+1),(A+2)除以 3 的余数各不相同,而(A+1)与(A+10)除以 3 的余数相同,(A+2)与(A+14)除以 3 的余数相同,所以 A,(A+10),(A+14)除以 3 的余数各不相同。因为任何自然数除以3 只有整除、余 1、余 2 三种情况,所以在 A,(A+10),(A+14)中必有一个能被 3 整除。能被 3 整除的质数只有 3,

39、因为(A+10),(A+14)都大于 3,所以 A=3。也就是说,本题唯一的解是 A=3。练习 51.现有 1,3,5,7 四个数字。(1)用它们可以组成哪些两位数的质数(数字可以重复使用)?(2)用它们可以组成哪些各位数字不相同的三位质数?2.a,b,c 都是质数,abc,且 ab+c=88,求 a,b,c。3.A 是一个质数,而且 A+6,A+8,A+12,A+14 都是质数。试求出所有满足要求的质数 A。5.试说明:两个以上的连续自然数之和必是合数。6.判断 266+388是不是质数。7.把一个一位数的质数 a 写在另一个两位数的质数 b 后边,得到一个三位数,这个三位数是 a 的 87

40、倍,求 a 和 b。第 6 讲 分解质因数自然数中任何一个合数都可以表示成若干个质因数乘积的形式,如果不考虑因数的顺序,那么这个表示形式是唯一的。把合数表示为质因数乘积的形式叫做分解质因数。例如,60=2 235, 1998=23 337。例 1 一个正方体的体积是 13824 厘米 3,它的表面积是多少?分析与解:正方体的体积是“棱长棱长棱长”,现在已知正方体的体积是 13824 厘米 3,若能把13824 写成三个相同的数相乘,则可求出棱长。为此,我们先将 13824 分解质因数:把这些因数分成三组,使每组因数之积相等,得 13824=(2 33)(2 33)(2 33),于是,得到棱长是

41、 233=24(厘米)。所求表面积是 24246=3456(厘米 2)。例 2 学区举行团体操表演,有 1430 名学生参加,分成人数相等的若干队,要求每队人数在 100 至200 之间,共有几种分法?分析与解:按题意,每队人数队数=1430,每队人数在 100 至 200 之间,所以问题相当于求 1430有多少个在 100 至 200 之间的约数。为此,先把 1430 分解质因数,得 1430251113。从这四个质数中选若干个,使其乘积在 100 到 200 之间,这是每队人数,其余的质因数之积便是队数。2511=110,13;2513=130,11;1113=143,25=10。所以共有

42、三种分法,即分成 13 队,每队 110 人;分成 11 队,每队 130 人;分成 10 队,每队 143 人。例 3 12340 能否被 90909 整除?分析与解:首先将 90909 分解质因数,得 90909=3 371337。 因为 33(=27),7,13,37 都在 140 中,所以 12340 能被 90909 整除。例 4 求 72 有多少个不同的约数。分析与解:将 72 分解质因数得到 72=2332。根据 72 的约数含有 2 和 3 的个数,可将 72 的约数列表如下:上表中,第三、四行的数字分别是第二行对应数字乘以 3 和 32,第三、四、五列的数字分别是第二列对应数

43、字乘以 2,2 2和 23。对比 72=2332,72 的任何一个约数至多有两个不同质因数:2 和 3。因为72 有 3 个质因数 2,所以在某一个约数的质因数中,2 可能不出现或出现 1 次、出现 2 次、出现 3 次,这就有 4 种情况;同理,因为 72 有两个质因数 3,所以 3 可能不出现或出现 1 次、出现 2 次,共有 3 种情况。根据乘法原理,72 的不同约数共有 43=12(个)。从例 4 可以归纳出求自然数 N 的所有不同约数的个数的方法:一个大于 1 的自然数 N 的约数个数,等于它的质因数分解式中每个质因数的个数加 1 的连乘积。例如,2352=2 4372,因为 235

44、2 的质因数分解式中有 4 个 2,1 个 3,2 个 7,所以 2352 的不同约数有(4+1)(1+1)(2+1)=30(个);又如,9450=23 3527,所以 9450 的不同的约数有(1+1)(3+1)(2+1)(1+1)=48(个)。例 5 试求不大于 50 的所有约数个数为 6 的自然数。分析与解:这是求一个数的约数个数的逆问题,因此解题方法正好与例 4 相反。因为这个数有六个约数,6=5+1=(2+1)(1+1),所以,当这个数只有一个质因数 a 时,这个数是 a5;当这个数有两个质因数 a 和 b 时,这个数是 a2b。因为这个数不大于 50,所以对于 a5,只有a=2,即

45、 25=32;对于 a2b,经试算得到,223=12,2 25=20,2 27=28,2 211=44,3 22=18,3 25=45,5 22=50。所以满足题意的数有八个:32,12,20,28,44,18,45,50。练习 61.一个长方体,它的正面和上面的面积之和是 209 分米 2,如果它的长、宽、高都是质数,那么这个长方体的体积是多少立方分米?2.爷孙两人今年的年龄的乘积是 693,4 年前他们的年龄都是质数。爷孙两人今年的年龄各是多少岁?3.某车间有 216 个零件,如果平均分成若干份,分的份数在 5 至 20 之间,那么有多少种分法?4.小英参加小学数学竞赛,她说:“我得的成绩

46、和我的岁数以及我得的名次乘起来是 3916,满分是100 分。”能否知道小英的年龄、考试成绩及名次?5.举例回答下面各问题:(1)两个质数的和仍是质数吗?(2)两个质数的积能是质数吗?(3)两个合数的和仍是合数吗?(4)两个合数的差(大数减小数)仍是合数吗?(5)一个质数与一个合数的和是质数还是合数?6.求不大于 100 的约数最多的自然数。7.同学们去射箭,规定每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶)或者是不超过 10 的自然数。甲、乙两同学各射 5 箭,每人得到的总环数之积刚好都是 1764,但是甲的总环数比乙少 4 环。求甲、乙各自的总环数。第 7 讲 最大公约数与最小公倍数(一)如果一个自然数 a 能被自然数 b 整除,那么称 a 为 b 的倍数,b 为 a 的约数。如果一个自然数同时是若干个自然数的约数,那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数,称为这若干个自然数的最大公约数。自然数 a1,a 2,a n的最大公约数通常用符号(a 1,a 2,a n)表示,例如,(8,12)=4,(6,9,15)=3。如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数,那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数,称为这若干个自然数的最小公倍数。自然数 a1,a 2,a n的最小公倍数通常用符号a 1,a 2,a n表示,例如8,12

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