1、1轨迹方程的求法一、知识复习轨迹方程的求法常见的有（1）直接法；（2）定义法；（3）待定系数法（4）参数法（5）交轨法；（6）相关点法注意：求轨迹方程时注意去杂点，找漏点.一、知识复习例 1：点 P（3，0）是圆 x2+y26x55=0 内的定点，动圆 M 与已知圆相切，且过点P，求圆心 M 的轨迹方程。2例 2、如图所示，已知 P(4，0)是圆 x2+y2=36 内的一点，A、B 是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程.解：设 AB 的中点为 R，坐标为( x,y)，则在 RtABP 中，|AR|=| PR|.又因为 R 是弦 AB 的中点，依垂径定理：在
2、 RtOAR 中，|AR|2=|AO|2|OR| 2=36(x 2+y2)又|AR |=|PR|= )4(所以有(x4) 2+y2=36(x 2+y2),即 x2+y24x10=0因此点 R 在一个圆上，而当 R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动.设 Q(x,y)， R(x1,y1)，因为 R 是 PQ 的中点，所以 x1= ,20,41y代入方程 x2+y24x10=0,得10=0)(4(x整理得：x 2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.3例 3、如图, 直线 L1 和 L2 相交于点 M, L1L2, 点 N L1. 以 A, B 为端点的曲线段 C上的任一点到 L2 的距离与
3、到点 N 的距离相等. 若AMN 为锐角三角形, |AM|= , |AN| 17= 3, 且|BN|=6. 建立适当的坐标系,求曲线段 C 的方程. 解法一：如图建立坐标系，以l 1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O 为坐标原点。依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段，其中 A，B 分别为C的端点。设曲线段C 的方程为 ，)0,(),02yxpyBA其中x A,xB分别为A，B的横坐标， P=|MN|。)2(92)(173|,1| )0(2(AApxxNMp得由所 以由，两式联立解得 。再将其代入式并由p0解得pA4214AAxp或因为AMN是锐角三角形，所以 ，故舍
4、去Ax22Axpp=4,x A=1由点B在曲线段C上，得 。42|pBNx4综上得曲线段C的方程为 )0,41(82yxy解法二：如图建立坐标系，分别以l 1、l 2为轴，M 为坐标原点。作AE l1,ADl 2，BFl 2垂足分别为E、D、F设A(x A, yA)、 B(xB, yB)、N(x N, 0)依题意有)0,63)(28 0,|,()6| 4| | 2| 32 22222yxyCyxx PyPNBEAMxDDyANEx BABNA的 方 程故 曲 线 段 属 于 集 合上 任 一 点 则 由 题 意 知是 曲 线 段设 点 为 锐 角 三 角 形 故 有由 于5例 4、已知两点 以
5、及一条直线 ：y=x，设长为 的线段 AB 在直线 上移动，)2,0(,(QP2求直线 PA 和 QB 交点 M 的轨迹方程解：PA 和 QB 的交点 M（x，y）随 A、B 的移动而变化，故可设 ，)1,(),tBtA则 PA： QB：),2(2tty ).1(2txy消去 t，得 .08yx当 t=2，或 t=1 时，PA 与 QB 的交点坐标也满足上式，所以点 M 的轨迹方程是.yxyx6例 5、设点 A 和 B 为抛物线 y2=4px(p0) 上原点以外的两个动点，已知OA OB， OMAB ，求点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线 .解法一：设 M(x,y)，直线 AB 的方程为
6、 y=kx+b由 OMAB，得 k=由 y2=4px 及 y=kx+b，消去 y,得 k2x2+(2kb4p)x+b 2=0所以 x1x2= , y1y2= ，kp4由 OAOB，得 y1y2=x 1x2所以 = , b=4kp kp42故 y=kx+b=k(x4p), 得 x2+y24px=0(x0)故动点 M 的轨迹方程为 x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0) 为圆心，以 2p 为半径的圆，去掉坐标原点.7解法二：设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)依题意，有 121212214xyxyxyp得(y 1y 2)(y1+y2)=4p(x1x 2)若 x1x 2,
7、则有 ,得 y12y22=16p2x1x2 代入上式21214x有 y1y2=16p 2 代入，得 代入，得 所以yxyp214 pyxyp442112121214)(ypxy即 4pxy 12=y(y1+y2)y 12y 1y2 、代入上式，得 x2+y24px=0(x0)当 x1=x2 时，ABx 轴，易得 M(4p,0)仍满足方程.故点 M 的轨迹方程为 x2+y24px=0(x0)它表示以 (2p,0)为圆心，以 2p 为半径的圆，去掉坐标原点.|8轨 迹 方 程(练习 1)1(08 、山东文 22)已知曲线 ： 所围成的封闭图形的面积为1C|10)xyab，曲线 的内切圆半径为 ，记
8、 为以曲线 与坐451C25321C标轴的交点为顶点的椭圆(1)求椭圆 的标准方程；2(2)设 是过椭圆 中心的任意弦， 是线段 的AB2LAB垂直平分线， 是 上异于椭圆中心的点ML若 ( 为坐标原点)，当点 在椭圆 上|O| 2C运动时，求点 的轨迹方程； 若 是 与椭圆 的交点，求 的面积的最小值L2CAMB9解：(1) 由题意得 2453ab4522ba，椭圆方程： 154xy(2)若 AB 所在的斜率存在且不为零，设AB 所在直线方程为 ykx(k0)，A( )Ayx，由2154,xyk 222004545AAkxyk，222()|AOy设 M(x，y)，由|MO|OA|(0) |M
9、O|2 2|OA|2 220(1)45kxy因为 L 是 AB 的垂直平分线，所以直线 L 的方程为 y k ，代入上式有：1，由 ，222220(1)0()4545xxyyxy02yx22540xy当 k0 或不存时，上式仍然成立.，综上所述，M 的轨迹方程为 ， （ 0） 2245xy当 k 存在且 k 0 时， |OA|2 222004545AAkxyk， 220(1)Ak由 2154xyk22 25MMxykk， 22(1)|kO 2222110()()454kkOA010 22219| 0OABOM|OBA940 ，|SM |当且仅当 45k 254k 2 时，即 k 1 时等号成立
10、当 ；140059AMBk，当 k 不存在时， 2ABS综上所述， 的面积的最小值为 409112 （07、江西理 21）设动点 P到点 (10)A， 和 ()B， 的距离分别为 1d和 2， 2APB，且存在常数 (01)，使得 21sind(1)证明：动点 的轨迹 C为双曲线，并求出 C的方程；(2)过点 B作直线与双曲线 的右支于 MN， 两点，试确定 的范围，使 0，OMN其中点 O为坐标原点12解：(1)在 PAB 中， 2，即 22112cosd，22114(4sindd，即 124sind（常数） ，点 的轨迹 C是以 ， 为焦点，实轴长 1a的双曲线，方程为：21xy（2）设
11、1()Mxy， ， 2()Nxy，当 垂直于 轴时， 的方程为 1x， ()M， ， (1)N， 在双曲线上即 2 5102，因为 0，所以 51当 MN不垂直于 x轴时，设 MN的方程为 (1)ykx由21()xyk得：222()(1)0xkxk，由题意知： 2(1)0k1221()， 122()21122()kykx由 0，且 MN， 在双曲线右支上，O13所以212 2(1)0(1)51230xyk由知 32153 （09、海南）已知椭圆 的中心为直角坐标系 的原点，焦点在 轴上，它的一个CxOyx顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1 （1）求椭圆 的方程；（2）若 为椭圆 上的动CP
12、C点， 为过 且垂直于 轴的直线上的点， （e 为椭圆 C 的离心率） ，求点 的MPxPMM轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线14解：（）设椭圆长半轴长及分别为 a，c 由已知得 a4，c3 椭圆 C 的71方程为 2167xy（2）设 M（x，y） ，P（ ， ） 0xy其中 4，4， x有 0020167由 得： Oe240ye19故 22016()9()xyx【下面是寻找关系式 f（x，y） ，0 g（x， y）的过程】0y又 16720x式代入： 并整理得： ，所以点 M 的轨迹是两条平行于201y47(4)3yxx 轴的线段15轨 迹 方 程(练习 2)4 （09、重庆理）已知以原点
13、O为中心的椭圆的一条准线方程为 43y，离心率 32e，M 是椭圆上的动点(1)若 C、D 的坐标分别是(0，3)、(0，3) ，求 的最大值； 21 世纪教育网 |MC|D(2)如图，点 A 的坐标为(1，0) ，点 B 是圆 21xy上的点，点 N 是点 M(椭圆上的点)在 x轴上的射影，点 Q 满足条件： ， 0求线段 QB 的中点 P 的轨迹方程OQMNA16解：(1)设椭圆方程为：21xyab（ab0） 准线方程 43y ， 32e ，ca2ac23c椭圆方程为：24所以：C、D 是椭圆21x的两个焦点 4 1b |MC|D|C ，当且仅当 ，即点 M 的坐标为 (,0)时上式取等号
14、 |MD)2|(2C| |的最大值为 4|(2)设 (,)(,)mBxy， (,)Qxy，N( )0，mx， 212由 OQMN，mx2Qy4)(2mQy由 0AB( )( )( )( ) 0Qyx，1Byx，1Qx1BQyB记 P 点的坐标为( ， )，因为 P 是 的中点Pxy，BQx2BQ22)()(Pyxy )2(4122 BQBQByxyx 12541BQ54PxPP432动点 P 的方程为： 1)2(yx175（09、安徽）已知椭圆 1（ab0）的离心率为 以原点为圆心，以椭圆短半轴长为半径的圆2xy3与直线 yx2 相切（1）求 a 与 b 的值； （2）设该椭圆的左，右焦点分别
15、为 和 ，直线 过 且与 x 轴垂直，动直线 与 y 轴垂直， 交 于点 p.1F21L2F2L2L1求线段 的垂直平分线与直线 的交点 M 的轨迹方程，并指明曲线类型1PF2L18解：（1）e 又圆心（0，0）到直线 yx2 的距离 d半径 b ，32ab 21 2， 3b1yx（2） （1，0） 、 （1，0） ，由题意可设 P（1，t） （ t0）.那么线段 的中点为 N（0， ） F2 1PF2t的方程为：yt，设 M( )是所求轨迹上的任意点.Lyx,【下面求直线 MN 的方程，然后与直线 的方程联立，求交点 M 的轨迹方程】2L直线 的斜率 k ，线段 的中垂线 MN 的斜率 1P
16、F2t1PFt2所以：直线 MN 的方程为：y x由 ，2t2txyttyM42消去参数 t 得： ，即：M42，其轨迹为抛物线（除原点） xy42又解：由于 （x， y） ， （x， y） 0，N2t1PF2tMN1PF ，消参数 t 得： （x0） ，其轨迹为抛物线（除原点） tyt0)()2,， 426(07 湖南理 20）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的动直线与双曲线相交于2xy1F22两点 【 直接法求轨迹 】AB，（1）若动点 满足 （其中 为坐标原点） ，求点 的轨迹方程；M11FABFO M(2)在 轴上是否存在定点 ，使 为常数？若存在，求出点 的坐标；若不存在
17、，请说明理由xCC19解：(1)由条件知 ， ，设 ， 设 ，则1(20)F， 2()， 1()Axy， 2()Bxy， ()Mxy， ， ，1()FMxy， 1Axy， 210FFO， ， ，由 1BO126的中点坐标为 214xy 4xy，当 不与 轴垂直时， ，ABx12048yx即 1212()8y又因为 两点在双曲线上，所以 ， ，两， 21xy2xy式相减得，即 1212122()()xxy212()4()y将 代入上式，化简得 8y6当 与 轴垂直时， ，求得 ，也满足上述方程AB12x(80)M，所以点 的轨迹方程是 M(6)4y（2）假设在 轴上存在定点 ，使 为常数Cm， ACB当 不与 轴垂直时，设直线 的方程是 xB(2)1kx代入 有 2y222(1)()0kx则 是上述方程的两个实根，所以 ， ，1， 14x214k于是 CAB2221()()(km2 2()4kkmk22214()1m因为 是与 无关的常数，所以 ，即 ，此时 1CABk01CAB当 与 轴垂直时，点 的坐标可分别设为 ， ，xA， (2)， ()，此时 (1 ，2)(1，2) 1故在 轴上存在定点 ，使 为常数x(0，
