1、1常微分方程解法归纳1. 一阶微分方程部分 可分离变量方程(分离变量法)如果一阶微分方程 中的二元函数 可表示为),(yxfd),(yxf的形式,我们称 为可分离变量的方程。)(),(yhxgf)hg对于这类方程的求解我们首先将其分离变量为 的形式,再对此式两边dxgy)(积分得到 从而解出 的解,其中 C 为任意常数。Cdxgyh)()( )(hxd具体例子可参考书本 P10P11 的例题。一阶线性齐次、非齐次方程(常数变易法)如果一阶微分方程 中的二元函数 可表示为),(yxfd),(yxf的形式,我们称由此形成的微分方程 为一阶PxQyf)(),( )()(xQyPd线性微分方程,特别地
2、,当 时我们称其为一阶线性齐次微分方程,否则为一阶线0)(x性非齐次微分方程。对于这类方程的解法,我们首先考虑一阶线性齐次微分方程 ,这是可0)(yxd分离变量的方程,两边积分即可得到 ,其中 C 为任意常数。这也是一阶线性dxPey)(非齐次微分方程的特殊情况,两者的解存在着对应关系,设 来替换 C,于是一阶线性)(x非齐次微分方程存在着形如 的解。将其代入 我们就dxPeCy)( )(xQyPd可得到 这其实也就是)()()()( )()()( exexCxxdxP ,再对其两边积分得 ,于是将其回代入Q)( CQdP)(即得一阶线性微分方程 的通解dxPey)( )(xydx。 CdxP
3、dx)()(具体例子可参照书本 P16P17 的例题。2一阶齐次型微分方程(变量代换)如果一阶微分方程 中的二元函数 满足对于一切非零实数 都有等),(yxfd),(yxf t式 成立,我们称一阶微分方程 为一阶齐次型微分方程。),(),(yxftf d对于此类微分方程的解法,我们一般利用变量代换的方法将其化为一阶可分离变量的方程然后再相应求解。事实上,如果我们令 于是 。于是一阶齐次型微分方程xt1)(,1(),(xyfyf可表示为 然后令 将其化为一阶可分离变量微分方程。具体),(yxfddyxu过程如下:令 ,代入方程 可得du,, 则 )(xyd也就是 ,它的通解是易求得的,求出它的通
4、解之后将)(xx)(回代就可得到一阶齐次型微分方程 的通解。y ),(yxf当然,有时候我们令 于是 。于是一阶齐次型微分方yt1(1,),(ff程 可表示为 也就是 此时令),(yxfd)(xd)yxd(,代入方程 可得 然后再依次求解。yvyv, 则 )yx(1)(1vdv有时候后者的代换方法会更简洁,当然两者的解法本质上是没有区别的,具体求解时可以灵活地运用。具体例子可参看书本 P20P22 的例题。伯努利方程(变量代换)如果一阶微分方程 中的二元函数 满足等式),(yxfd),(yxf,我们就称由此形成的微分方程10)(,( nPyxQfn为伯努利方程。,(,dy对于此类方程的求解,我
5、们可以通过变量替换将其转化为一阶线性微分方程求解。我们可以在方程 两边同除以 ,可以将方程变形为)1,0(,)(nyxxy ny即 。我们令 ,于是)(1QPdynn )(1xQPdn nyz13方程即 利用一阶线性微分方程 的通)(1)(1xQnzxPndxz )()(xQyPdx解 可得 的通解,再将Cdeeyx)()( 1)(1nznz回代就得到了伯努利方程 的通解。nz1 ,0,)(yxPxy具体例子可参照书本 P22P23 的例题。变量代换方法的应用-其他类型的齐次微分方程形如 的方程也是齐次方程。对于这种类型的方程通过简单的代换ybxafdy1就可以化为一阶齐次型微分方程来进行求解
6、。我们讨论更一般的情形,对于形如的齐次方程,我们令 ,其中 为待定常11cyxfy yx,数,可得 ,可以选取适当的 使得111cbafd ,011cba当 时, 有唯一解,可以化上面的方程为齐次方程a,,求解此方程,并将 代回就得到齐次方程1bfd yx,的解。当 时要分两种情况讨论。11cyxafy 01ba情况一:若 ,则 。原方程可以化为 。01bka1 11)(cybxakfdy令 则 得到变量可分离的方程 ,,1yxaz)(1xz 111zfzb然后按照相应的解法即可求解。情况二:若 ,则 中至少有一个为 0.当 时,原方程为01bba与1 0是可变量分离的方程,按照相应的解法即可
7、求解。当 时,可以令1cxafdy 0b,原方程就变为了 这是可变量分adzbyz, adxzb11cxzf4离的方程,按照相应的解法即可求解。具体例子可参看书本 P24P25 的例题。2. 可降阶的高阶微分方程部分(主要讨论二阶微分方程) 形如 的微分方程)()(xfyn对于形如 的微分方程,我们可以连续对等式两边积分 n 次便可以求得其含)(有 n 个任意常数的通解为 。nnn CxCdxfy .)!2()!1()个 积 分 符 号具体例子可参看书本 P28 例题。形如 的微分方程),(yxf一般二阶微分方程可以表示为 ,当因变量 不显含时形成了如),(yxgy y的不显含因变量 的二阶微
8、分方程。我们可以通过变量代换来进行降阶。我),(yxf们令 ,于是方程可化为 ,这是一个以 为未知函数,以dpp ),(pxfdp为自变量的一阶微分方程,我们可以容易求得。设其通解为 ,则x ),(1Cx。两边积分就得到原方程的通解为 。其中 为任),(1Cdy 21),(dy2,意常数。具体可参看书本 P28P30 例题(注意例 4!)形如 的微分方程),(yf与不显含因变量 的二阶微分方程的定义类似,我们把形如 的微分方程),(yf称为不含自变量 的二阶微分方程。我们仍然通过变量代换来求解此类方程。我们令x,于是方程可化为 ,这是一个关于dypydpyp, ),(pfdy的一阶微分方程,我
9、们可以容易求得。设其通解为 ,则由, ,1C可得 ,两边积分就得到原方程的通解为 。dxyp dxC),(1 21),(Cxyd其中 为任意常数。21,C具体例子可参看书本 P32P34 例题。注:在可降阶的微分方程求解问题中,在消去所设的变元如 时我p5们一定要注意是否会丢失 的解。0p3. 线性微分方程在介绍线性微分方程的解法之前有必要先介绍线性微分方程解的结构与性质。我们直接介绍 阶线性微分方程 的解的结构与n )()()(.)(1)1)( xfyaxyxannnn 性质。对于区间 上的 个函数 ,若存在 个不全为,ba.321y、 n0 的常数 使得在 上有 ,我们就称这 个函数在区n
10、kk、 .321 ,ba0)(1niixk间 上是线性相关的,否则就是线性无关的。,ba此外对于 阶线性微分方程 的系数n )()()(.)(1)1)( xfyaxyxannnn 都为常数是我们称该方程为 阶线性常系数方程,否则为)(.)(121 xxn、 阶线性变系数方程。进一步细分,对于自由项 ,若 就称原方程为 阶线)(xf0)(f性齐次方程,否则为 阶线性非齐次方程。若函数 是 阶线性齐次方程的 个线性无关的特解,)(.)()(321 yxyxn、 n则 为 阶线性齐次方程的通解。CCy若函数 是 阶线性非齐次方程的 个线性无关的特)(.)()(321 xyxyxn、解,此外函数 是
11、阶线性非齐次方程的 1 个线性无关的特解,则pn为 阶线性齐次方程的通解。)(.)()()(21 xyCxyCxy np 二阶常系数齐次线性微分方程我们把形如 ypyqy0 的微分方程称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中 p、q 均为常数 我们知道如果 y1、 y2 是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么yC1y1C2y2 就是它的通解 现在先尝试能否适当选取 r 使 yerx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将 yerx 代入方程 ypyqy0 得( r 2prq)erx 0 由此可见 只要 r 满足代数方程 r2prq0 函数 yerx 就是微分方程的解 接下来介绍一般的解
12、法,我们把方程 r2prq0 叫做微分方程 ypyqy0 的特征方程 特征方程的两个根 r1、r 2 可用公式 求出 422,1p6特征方程的根与通解的关系(1)特征方程有两个不相等的实根 r1、r 2 时 函数 、 是方程的两个线性xrey1xr2无关的解 这是因为 函数 、 是方程的解 又 不是常数 xey1x2 rxre)(221因此方程的通解为 xrxrC21(2)特征方程有两个相等的实根 r1r2 时 函数 、 是二阶常系数齐次线xrey1xr12性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 是方程的解 又1xrrxrxrxrxr qepeeqpe 111111 )()()()( 2 02
13、211 p所以 也是方程的解 且 不是常数 因此方程的通解为xrey1 xeyr12 xrxrxr CC111 )(22(3)特征方程有一对共轭复根 r1, 2i 时 函数 ye(i)x、ye (i)x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解 函数 yexcosx、y exsinx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解 函数 y1e(i)x 和 y2e(i)x 都是方程的解 而由欧拉公式 得y1e(i)xex(cosxisinx) y2e(i)xex(cosxisinx)y1y22excosx )(21cosyy1y22iexsinx ini故 excosx、y 2exsinx 也是方程解
14、可以验证 y1excosx、y 2exsinx 是方程的线性无关解 因此方程的通解为 yex(C1cosxC2sinx ) 求二阶常系数齐次线性微分方程 ypyqy0 的通解的步骤为 第一步 写出微分方程的特征方 r2prq0第二步 求出特征方程的两个根 r1、r 2 第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的通解 二阶线性常系数非齐次方程7我们把形如 ypyqyf(x)的微分方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程 其中 p、q 是常数 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解 yY(x)与非齐次方程本身的一个特解 yy*(x)之和 y Y(x) y*(x) 当 f(
15、x)为两种特殊形式时 方程的特解的求法 一、 f(x)Pm(x)ex 型当 f(x)Pm(x)ex 时 可以猜想 方程的特解也应具有这种形式 因此 设特解形式为y*Q(x)ex 将其代入方程 得等式Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x) (1)如果 不是特征方程 r2prq0 的根 则 2pq0 要使上式成立 Q(x)应设为 m 次多项式 Qm(x)b0xmb1xm1 bm1xbm 通过比较等式两边同次项系数 可确定 b0 b1 bm 并得所求特解 y*Qm(x)ex (2)如果 是特征方程 r2prq0 的单根 则 2pq0 但 2p0 要使等式Q(x)(2p)Q(x)(2pq
16、)Q(x)Pm(x) 成立 Q(x) 应设为 m1 次多项式 Q(x)xQm(x) Qm(x)b0xm b1xm1 bm1xbm 通过比较等式两边同次项系数 可确定 b0 b1 bm 并得所求特解 y*xQm(x)ex (3)如果 是特征方程 r2prq0 的二重根 则 2pq0 2p0 要使等式Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x) 成立 Q(x) 应设为 m2 次多项式 Q(x)x2Qm(x) Qm(x)b0xmb1xm1 bm1xbm 通过比较等式两边同次项系数 可确定 b0 b1 bm 并得所求特解y*x2Qm(x)ex 综上所述 我们有如下结论 如果 f(x)Pm(x)
17、ex 则二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqy f(x)有形如y*xk Qm(x)ex的特解 其中 Qm(x)是与 Pm(x)同次的多项式 而 k 按 不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为 0、1 或 2 二、f(x )ex Pl(x)cosxPn(x)sinx型方程 ypyqyexPl (x)cosxPn(x)sinx的特解形式应用欧拉公式可得8exPl(x)cosxPn(x)sinx2)(2) ieexniil inlxinl Pi )(1(21 ixiePe)()其中 而 mmaxl n (nl2inl设方程 ypyqyP(x)e(i)x 的特解为 y1*xkQ
18、m(x)e(i)x 则 必是方程 的特解 (1)*imkQxPqp其中 k 按 i 不是特征方程的根或是特征方程的根依次取 0 或 1 于是方程 ypyqyexPl(x)cosxPn(x)sinx的特解为imkimkeQx)(*)sin(cosco xixk exR(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx 综上所述 我们有如下结论 如果 f(x)ex Pl(x)cosxPn(x)sinx 则二阶常系数非齐次线性微分方程 ypyqyf(x)的特解可设为 y*xk exR(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx其中 R(1)m(x)、R (2)m(x)是 m 次多项式 mmaxl n
19、而 k 按 i (或 i)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取 0 或 1 9高阶线性常系数微分方程对于 阶线性微分方程 的解。我们首先讨论n )(.01)1()( xfyayann 阶线性常系数微分方程 的解。它的特征方程为)(1)(n,与二阶的情况类似,故可按解得的情况按下表写出微分方程所对应的解。01niia特征方程的根 微分方程对应的解单实根 可写出一个解 xeK 重实根 , (k1)可写出 k 个线性无关解:, ,xexxk1一对单重复根 i2,1 可写出 2 个线性无关解:,xcosexin一对 k 重复根, (k1)i可写出 2k 个线性无关解:, ,exxekcos1, ,
20、xesinxi xeksin1根据上表写出函数 个线性无关的特解 ,则n )(.)()(321 yyn、为 阶线性常系数齐次方程的通解。)(.)()(21 xyCxyCyn其次对于 ,我们主要是讨论其特解的形式)(01)1()( xfaann 若 ,其中 是 m 次待定的多项式,我们可设特解为xmePxf,其中 是 m 次待定的多项式,k 为 作为特征方程根的重数。kpQy)()()( 即若 不是特征方程根,则 k=0;若 是 L 重特征方程根,则 k=L若 ,其中 、 是 m 次、h 次待定的sin)(cos)()( xQxexf hm)(xPmQh多项式,我们可设特解为 ,其中 、 是 nsincoTSeykp )(xSnT10次待定的多项式,n=maxm,h,k 为复数根作为特征方程根的重数。