1、 中华资源库 宿迁市 2015 届高三年级摸底考试数学试题 2014.11数 学总体印象：本次考试是市 2015 届第一次市统测，也是摸底考试，试题充分体现了摸底的特点，试卷立足基础，总体平稳，注意知识点的覆盖，注重重点知识测试，突出基本方法，加强思维和计算能力考查，难易适中，区分度、信度较高，题型略有创新。符合江苏省近两年高考试题趋势，顺应潮流。试题评析：一、填空题：第 15、9、11 题难度系数都在 0.8 以上，属简单题，第 6、7、8、10、12 题难度系数在0.60.8 之间，属中档题，第 13、14 题难度系数在 0.4 以下，属难题1已知集合 ， ，则 = 0,13M3,NxaM
2、N2 若复数 为纯虚数， 是虚数单位，则实数 的值是 iai3若采用系统抽样方法从 420 人中抽取 21 人做问卷调查，为此将他们随机编号为 ，1， ，则抽取的 人中，编号在区间 内的人数是 42021241,3604 在如图所示的算法中，输出的 的值是 i5已知 是等差数列，若 ，则 的值是 na7530a9a6若将甲、乙两个球随机放入编号为 ， ， 的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，12则在 ， 号盒子中各有一个球的概率是 127 在平面直角坐标系 中，若双曲线的渐近线方程是 ，xOy 2yx且经过点 ，则该双曲线的方程是 (,)8若 ，则 的值是 1cos3sin(2)9若 ， ，
3、 是实数，则 的最大值是 22ababab10 如图，在正三棱柱 中，若各条棱长均为 2，且1ABCM 为 的中点，则三棱锥 的体积是 1 1MABC1A1BM(第 10 题图 )S2i1While S200ii2SSiEnd WhilePrint i（第 4 题图）中华资源库 11设函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则关于 的不等式()fxR0x 2()fxx的解集是 2f12已知光线通过点 ，被直线 ： 反射，反射光线通过点 ，3,4Ml3y2,6N则反射光线所在直线的方程是 13如图，已知 中， ， ， 是ABCA90BCDB的中点，若向量 ，且 的终点 在14mM的内部（不含边界
4、） ，则 的取值范围是 D14已知函数 ，若关于 x 的不等式 的解22()1fxax()0fx集为空集，则实数 a 的取值范围是 二、解答题: 本大题共 6 小题， 1517 每小题 14 分，1820 每小题 16 分，共计 90 分请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15已知 的内角 的对边分别为 ， ABC, ,abc3B（1 ）若 ， ，求 的值；2a3bc（2 ）若 ，求 的值tntanC16如图，在四棱锥 中，底面 是菱形，且PDAPB（1 ）求证： ；（2 ）若平面 与平面 的交线为 ，求证： l/BCl17如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图已
5、知 为直径，且 km, 为圆心，AB2O为圆周上靠近 的一点， 为圆周上靠近 的一点，且 现在准备从CADCDAB经过 到 建造一条观光路线，其中 到 是圆弧 ， 到 是线段 .设，观光路线总长为 .radOxkmy（）求 关于 的函数解析式，并指出该函数的定义域；y（）求观光路线总长的最大值. (第 17 题图)OADB(第 13 题图 )DCBA(第 16 题图 )PB CA D中华资源库 18已知函数 （其中 是自然对数的底数） ， ， ()exf 2()1gxaR（1 ）记函数 ，且 ，求 的单调增区间；()Ffg0aF（2 ）若对任意 ， ，均有 成立，求实12,0,12x1212(
6、)()ffgx数 的取值范围 a19如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 : ,设 是椭圆 上的xOyC241xy0(,)RxyC任一点，从原点 向圆 ： 作两条切线，分别交椭圆于点 ， .R22008PQ（1 ）若直线 ， 互相垂直，求圆 的方程；PQ（2 ）若直线 ， 的斜率存在，并记为 ， ，求证： ；O1k2120k（3 ）试问 是否为定值？若是，求出该值；若不是，说2明理由20已知数列 是等差数列，其前 n 项和为 Sn，若 ， na41039S（1 ）求 ；S（2 ）若数列M n满足条件： ，当 时， ，其中数列1tM2 ntM1t单调递增，且 ， t1tntN试找出一组 ， ，使
7、得 ；23213证明：对于数列 ，一定存在数列 ，使得数列 中的各数均为一个nantn整数的平方OyPQARx(第 19 题图)中华资源库 数学 附加题部分21 B. 已知二阶矩阵 A 有特征值 及对应的一个特征向量 和特征值 及对应11e2的一个特征向量 ，试求矩阵 A20e21C.在平面直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程是 （ 是参数） ，若xOyCcos,1inxy以 为极点， 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，O求曲线 的极坐标方程C22 （本小题满分 10 分）如图，在直三棱柱 中，已知 ， ， ，点 ，1ABC90BACo1AC3E分别在棱 ， 上，
8、且 ， ， F1 13F1E（1 ）当 时，求异面直线 与 所成角的大小；3E（2 ）当直线 与平面 所成角的正弦值为 时，求 的值1A2923已知数列 的各项均为正整数，对于任意 nN *，都有 na 1122nna成立，且 24（1 ）求 ， 的值；13（2 ）猜想数列 的通项公式，并给出证明naFEB11AACBA1CA（第 22 题图）中华资源库 数学参考答案与评分标准数学 必做题部分一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）1 2 3 4 5 0,316736 7 8 9 102924yx2211 12 1
9、3 14(,)60,6,二、解答题: 本大题共 6 小题， 1517 每小题 14 分，1820 每小题 16 分，共计 90 分请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （ 1）由余弦定理得， ， 3 分22cosbcaB因为 ， ， ，3B3所以 ，即 5 分24280解之得 ， （舍去） c所以 . 7 分（2 ）因为 ， ， ABCtan23Atan3B所以 9 分tan()11 分tt1an235所以 14 分tan5C16 （ 1）连接 AC，交 BD 于点 O，连接 PO因为四边形 ABCD 为菱形，所以 2 分BDAC又因为 ，O 为 BD 的中
10、点， PB所以 4 分D又因为 A所以 ，平 面又因为 PC平 面所以 7 分B（2 ）因为四边形 ABCD 为菱形，所以 9 分/BCAD因为 ,ADP平 面 平 面(第 16 题图 )PB CA DO中华资源库 所以 11 分/BCPAD平 面又因为 ，平面 平面 平 面 BCPADl所以 14 分l17(1)由题意知， ， 2 分1x， 5 分2cos因为 为圆周上靠近 的一点， 为圆周上靠近 的一点，且 ，B/CAB所以 0所以 ， 7 分2cosyx0,2x(2)记 ,则 ， 9 分f ()1sinfx令 ，得 ， 11 分()06列表x (0， )6( ， )2()f 0 f (x
11、) 递增 极大值 递减所以函数 在 处取得极大值，这个极大值就是最大值，13 分f6即 ， ()36答：观光路线总长的最大值为 千米 14 分318 （ 1）因为 ，2()e1xFxfga所以 ， 2 分e1令 ，因为 ，得 或 ， 5 分0xax1a所以 的单调增区间为 和 ； 6 分F,（2 ）因为对任意 且 ，均有 成立，12,x0,12x1212()()fxgx不妨设 ，根据 在 上单调递增，()ef0,所以有 对 恒成立，8 分1212()fxfgx12x所以 对 ， 恒成立，2()()f1,x0,212x即 对 ， 恒成立，122()()fxgfxg1,x0,2所以 和 在 都是单
12、调递增函数，11 分()ff,中华资源库 当 在 上恒成立，()0fxg ,2得 在 恒成立，得 在 恒成立，e2a , e2xa 0,因为 在 上单调减函数，所以 在 上取得最大值 ，x0,2x,1解得 13 分1a当 在 上恒成立，()0fxg ,2得 在 上恒成立，即 在 上恒成立，e2 , e2xa 0,因为 在 上递减，在 上单调递增，x0,lnln,所以 在 上取得最小值 ，e2x,2所以 ， 15 分lna所以实数 的取值范围为 16 分1,ln19 （ 1）由圆 的方程知，圆 的半径的半径 ，R2r因为直线 ， 互相垂直，且和圆 相切，OPQR所以 ，即 ， 1 分24r201
13、6xy又点 在椭圆 上，所以 ，2 分RC联立，解得 3 分02,.xy所以所求圆 的方程为 4 分R228y（2 ）因为直线 ： ， ： ，与圆 相切，OP1ykxQ2kxR所以 ,化简得 6 分102|kx 201010(8)yk同理 ， 7 分20200(8)yk所以 是方程 的两个不相等的实数根，1,k20()8xxyk中华资源库 8 分222012 844ybacback x因为点 在椭圆 C 上，所以 ，即 ，0(,)Rxy2014x22001x所以 ，即 10 分2012418kx12k（3 ） 是定值，定值为 36，11 分2OPQ理由如下：法一：(i)当直线 不落在坐标轴上时
14、,设 ,12(,)()PxyQ联立 解得 12 分12,4ykx21214,.xky所以 ，同理，得 ，13 分2211()kxy224(1)kxy由 ，2k所以 2221OPQxy24()(1)kk2112()()kk2136715 分(ii)当直线 落在坐标轴上时,显然有 ，OPQ236OPQ综上： 16 分236法二：(i)当直线 不落在坐标轴上时,设 ,12(,)()xy因为 ，所以 ,即 ， 12 分120k120yx22114y中华资源库 因为 在椭圆 C 上，所以 ， 12(,)(,)PxyQ2124xy即 ， 13 分221122yx所以 ，整理得 ，2121()()4xx21
15、4x所以 ， 2 211y所以 15 分236OPQ(ii)当直线 落在坐标轴上时,显然有 ，236OPQ综上： 16 分220 （1）设数列 的首项为 ，公差为 ，na1d由 ， ，得 ， 2 分40S1391430291a解得 ，1ad所以 4 分21()nnSd（2 ） 因为 ，M若 ， ，2,t2132S3321ttMS因为 ，所以 ， ，此方程无整数解； 6 分34t34t若 ， ，2,t23165MS3312ttS因为 ，所以 ， ，此方程无整数解；8 分3t32t中华资源库 若 ， ，24,t24109MS334102ttMS因为 ，3所以 ， ，解得 ，38t3182t3t所以
16、 ， 满足题意10 分2431t由知 ， ， ，则 ， ， ，223t12239M一般的取 ， 13 分1nnt此时 ， ，312nntS1 132n ntS则 ，nMt1nt 11213322nnn所以 为一整数平方因此存在数列 ，使得数列 中的各数均为一个整数的平方16 分ntnM数学部分21 【 选做题 】A (选修 41：几何证明选讲)因为 BE 切 O 于点 B，所以 ，CE60BA因为 ， ，由余弦定理得 4 分2E423又因为 ，所以 ，8 分D所以 10 分 234CB （选修 42：矩阵与变换）设矩阵 ，这里 ，abAcdabcdR,因为 是矩阵 A 的属于 的特征向量，则有
17、 ， 4 分111abcd又因为 是矩阵 A 的属于 的特征向量，则有 6 分02 20ACBODE（第 21A 题图）中华资源库 根据，则有 8 分1,20abcd,从而 所以 10 分1abcd,210AC （选修 4-4：坐标系与参数方程）由 得 两式平方后相加得 ， 4 分cos,1inxycos,1inxy22(1)xy因为曲线 是以 为圆心，半径等于 1 的圆得 (0,) sin即曲线 的极坐标方程是 10 分C2sinD （选修 45 ：不等式选讲）因为 5 分11,axa所以原不等式解集为 R 等价于 所以.a 20.a或 所以实数 的取值范围为 10 分a,02,22建立如图
18、所示的空间直角坐标系 Axyz（1 ）因为 AB=AC=1， 3， ，1所以各点的坐标为 , ， ， (0)(,)E1(0,3)(,12)F， 2 分(,0)AE1F因为 , ，21A所以 所以向量 和 所成的角为 ，11,cos 2EAE110o所以异面直线 与 所成角为 4 分F60（2 ）因为 ， ，所以 (,03)(,2)(1,3)(0,2)AEF设平面 的法向量为 ，Axyzn则 ，且 En即 ，且 令 ，则 xzyz,xy所以 是平面 的一个法向量 6 分(3,21)F又 ，则 ，10A 1122, 31cos95An又因为直线 与平面 所成角的正弦值为 ，1Ez yxFEB11AACBA1CA中华资源库 所以 ，解得， 10 分219951223 （ 1）因为 ，11nnaa24当 时，由 ，即有 ，n2121a1124a解得 因为 为正整数，故 2 分12837a当 时，由 ，n33644a解得 ，所以 4 分3809（2 ）由 ， ， ，猜想： 5 分1232na下面用数学归纳法证明1 当 ， ， 时，由（1 ）知 均成立 6 分n2n2 假设 成立，则 ， k k由条件得 ，22112k kaa所以 ， 8 分32 所以 9 分212 1kk k因为 ， ， ，3 00又 ，所以 1kaN21ka即 时， 也成立n2n由 1，2 知，对任意 ， 10 分2n
