1、 点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料2017 考研已经拉开序幕，很多考生不知道如何选择适合自己的考研复习资料。中公考研辅导老师为考生准备了【线性代数-特征值与特征向量知识点讲解和习题】 ，希望可以助考生一臂之力。同时中公考研特为广大学子推出考研集训营、专业课辅导、精品网课、vip1 对 1 等课程，针对每一个科目要点进行深入的指导分析，欢迎各位考生了解咨询。模块八 特征值与特征向量经典习题一数值型矩阵特征值与特征向量1、 23T是矩阵321Aab的特征向量，则（ ）（A） .6ab （B） .6 （C） 2.6ab （D） 2.6ab2、矩阵 的非零特征
2、值为 023、设矩阵 02abA的一个特征值为 13,A且 的三个特征值之积 12，则a； ； A的其它特征值为_ .4、设矩阵10a有一特征值 0,a则 _ ， A的另一特征值为 .点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料5、已知 (,1)Ta是矩阵12Aa的逆矩阵的特征向量，那么 a .6、已知3|201Ab，则矩阵5310Bb有一个特征值 .7、若矩阵 34a只有一个线性无关的特征向量，那么这个线性无关的特征向量是 8、 n阶矩阵1.1bA，求 A的特征值和特征向量.二抽象型矩阵特征值与特征向量9、 已知 123(,4),(,15),(,210)TTTa
3、a是四阶方阵 A的三个不同特征值的特征向量，则 的取值为( )（A） 5 （B） 4 （C） 3a （D） 3a且4a10、 设 2是非奇异矩阵 A的一个特征值，则矩阵12A有一特征值为（A） /3 （B ） 3/4 （C） 1/ （D） /4 11、设 为 n阶矩阵， P为 n阶可逆矩阵， 为矩阵 属于特征值 的特征向量，则下列矩阵中 2 1A TA 2EA肯定是其特征向量的有（ ）个.（A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 412、设 为 n阶矩阵，下列命题中正确的是（ ）（A）若 为 T的特征向量，那么 为 的特征向量 （B）若 为 *的特征向量，那么 为 A的特征向量（C）若 为
4、2的特征向量，那么 为 的特征向量点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料（D）若 为 2A的特征向量，那么 为 A的特征向量13、 已知 1,31,2TT， TE，则 A的最大特征值为 .14、设 为 阶可逆矩阵， 的各行元素之和为 k， *的各行元素之和为 m，则 A .三综合应用15、 设方阵 A满足条件 TE,其中 TA是 的转置矩阵 , E为单位阵.试证明 的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于 1.16、设向量Tnnba),(,),(2121 都是非零向量,且满足条件 0T.记 n阶矩阵T.求:（1） 2;（2）矩阵 的特征值和特征向量.点这里，看
5、更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料参考答案一数值型矩阵特征值与特征向量1、 【答案】A【解析】因为 是特征向量23T314102,63aaabbb2、 【答案】：【解析】：2220012EA201(4)2所以非零特征值为 43、 【答案】： 23;或【解析】：由题设得， |1A，即2024aba所以， 26b，又 A的特征多项式0| 2abEA22()()()ab6点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料由此得 2，且 13必是方程 2()60a的根，故得 1a和另一特征值 3.将 a代入 6b，又可得 2b或 .4、 【答案】：
6、 ,【解析】： 因 1|niA（其中 i是 A的特征值） ，而 A有一特征值为 0，故10|2Aa，解得 .则 012101|2()0EA解得 A的另一特征值为 2.5、 【答案】： 【解析】：设 是矩阵 1属于特征值 0的特征向量，由定义 10A，于是0，即0121aa即0(2)1a解得 0,5a.【评注】：若已知 A的特征向量，常用定义法由 A建方程组来求参数，本题不要求 1.6、 【答案】：2【分析】：注意到 B与 有关系： 2EB.【解析】：矩阵 和 除主对角元素之外，其余元素均差一负号，故 AB和 有关系30531210aabb，点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看
7、更多考研数学辅导资料其中 2,|0,|2|0AEB且 从 而 ，故 B有特征值 .【评注】：本题不应由 |，先求出 ,ab，再求 的特征值，而是根据|2|0E由定义直接得 有特征值 2.应注意将已知条件改写为特征值的两个等价定义形式之一： ,0|0BxEB或 .7、 【答案】： (1,)Tk【解析】：因 A只有一个线性无关特征向量，所以特征值必是三重根，由iia得 234,知 .且 (3)0Ex只有一个线性无关解，因此 (3)2rEA.110Aaa，知 1，此时解向量为 (1,0)T.【评注】：由于“不同特征值的特征向量线性无关” ，因此当矩阵只有一个线性无关的特征向量时，其特征值必是 n重根
8、.牢记 ii， 12|nA8、 【分析】：这是具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题, 通常可由求解特征方程0|AE和齐次线性方程组 0)(xAE来解决.【解析】： () 1当 0b时， 1| bAE 1)()1( nbn ,得 的特征值为 n)(1， bn2 对 n)(1，bnbnAE)1()1(1 )1(1)(n 点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料110.nnn 1101.10010.1解得 T)1,(1，所以 A的属于 的全部特征向量为k, ( k为任意不为零的常数 )对 b2，bbAE 2 01 得基础解系为 T)0,1,(2， T)0,1,(3，
9、 Tn)1,(, 故 A的属于 的全部特征向量为nkk32 ( nk,32 是不全为零的常数)当 0b时， nAE )1(01| ,特征值为 11n ，任意 维非零列向量均为特征向量二抽象型矩阵特征值与特征向量点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料9、 【 答案】：（A ）【分析】：本题相当于已知 123,线性无关，确定 a的值.将 123,作为 A的行向量组，化其为阶梯形即可确定 a的值.【解析】： 123,是三个不同特征值的特征向量，必线性无关，由 2414505810aa0(4)51a 知 5a.故应选（A ）.10、 【 答案 】：（B ）【解析】：
10、 11223,A因 是的特征值，则 22A是 的特征值，12A有一特征值 12,34有一特征值 234.故选（B）.11、 【答案】 （B）【解析】：由于 为矩阵 A属于特征值 的特征向量，可知 A.则 2 2A； 21E.故 肯定是 2A与E的特征向量.对于 1P与 T， 1P与 T根据已知的条件无法计算，故 不一定是它们的特征向量，故选（B）.12、 【答案】 （D）【解析】：（）矩阵 TA与 的特征值相同，但特征向量不一定相同，故（A）错误.（）假设 为 的特征向量， 为其特征值，当 0时 也为 *A的特征向量.这是由于 *1A.但反之， 为 的特征向量，那么 不一定为 A的特征向量.例
11、如，当 1rn时，*O，此时，任意 n维非零列向量都是 *的特征向量，故 *的特征向量不一定是点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料A的特征向量.可知（B）错误.（）假设 为 的特征向量， 为其特征值，则 为 2A的特征向量.这是由于2 2A.但反之，若 为 的特征向量， 不一定为 的特征向量.例如，假设12,A其中 12,0.此时有 2211212AA，可知 为 的特征向量.但 ,是矩阵 两个不同特征值的特征向量，它们的和12不是 的特征向量.故（C）错误.（）若 为 A的特征向量，则存在实数 使得 2A，此时有 12A，因此 为 的特征向量.可知（D）是
12、正确的.故选（D）.13、 【 答案 】： 7【解析】：由于矩阵 T的秩为 1，故 T的特征值为 0,Ttr，其中6Ttr.故 AE的特征值为 17，故 A的最大特征值为 7.14、 【答案】： km【解析】： 的各行元素之和为 k，可知 11k.在上式两边同时左乘 *A可得 *kA，也即 *kA.由于 *的各行元素之和为 m，可知 *11m.因此有1km，可见 k.21100nrbA 点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料则 A的特征向量:21110,0nnbbkkk 为不全为零的常数.三综合应用15、 【 证明 】：设 A的实特征向量 0x所对应的特征值为 ,则 Ax.则有()()TTxx，由于 TAE，可知 ()TTTx，也即2. 又由于 ，可知 ，故有 21，也即 .16、 【 解析 】：（1 ） 2TTO.（2 ）设 为 A的特征值, 则 2为 A的特征值.由(1)知 2A,则 2的特征值全为零,即0,故 ,即 的特征值全为零.方程组 0x的非零解即为 的特征向量.不妨设1ab, 0x的非零解为，其中 不3212 11,.,.0.,0.,1naakkk121,.nk全为 0在紧张的复习中，中公考研提醒您一定要充分利用备考资料和真题，并且持之以恒，最后一定可以赢得胜利。更多考研数学复习资料欢迎关注中公考研网。
