1、1高考重难点专题突破之不等式一、 综述（内容、地位、作用）：在苏教版高中数学教科书必修系列中，直接涉及“不等式”内容的部分为必修5第三章不等式 。另外，在实际教学过程中，在学到必修 5不等式之前的某些章节（如集合、函数的值域等） ，无论文理科班，基于教学内容的关联性和完整性，老师们基本上都要对选修 4-5中的部分基础性内容进行选讲。所以“不等式”的内容主要来自必修 5第三章不等式以及选修系列 4-5不等式选讲 。综合来看，不等式的内容主要可分为不等式的求解、证明和应用三部分，它们又分别以一元二次不等式的求解、均值不等式相关的证明、不等式在应用题以及线性规划中的应用为主。不等式是中学数学的主干内
2、容之一， 它不仅是中学数学的基础知识，而且在中学数学中起着广泛的工具性作用，对学生们步入大学之后的数学学习也具有基础性的铺垫作用。在历年的高考中，不等式虽很少单独命题（理科附加卷除外） ，但无论从它所涉及到的知识点或是题量来看，有关不等式的试题分布范围极广（甚至有些题目很难界定其中对不等式的考查所占到的比重，所以我们也很难准确给出高考中不等式所占分值） ，试题不仅考查了不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法，还考查了运算能力、逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的应用能力等数学素养。在高考命题趋势上，不等式的考查极其突出工具性，淡化独立性、突出解，是不等式命题的总体取向。高考中不等式试题的落脚
3、点主要有：一，不等式的性质，常与指数函数、对数函数、三角函数等结合起来，考查不等式的性质、函数的单调性、最值等；二，不等式的证明，多以函数、数列、解析几何等知识为背景，在知识网络的交汇处命题，综合性强，能力要求高；三，解不等式，往往与公式、根式和参数的讨论联系在一起，考查学生的等价转化能力和分类讨论能力；四，不等式的应用，以当前经济、社会生产、生活为背景与不等式综合的应用题是高考的热点，主要考查学生阅读理解能力以及分析问题、解决问题的能力。二、 考试要求与教学建议：2（一） 必修 5 部分新课标在对“必修 5”不等式一章的说明中指出：“不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的
4、重要内容掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简单的二元线性规划问题；认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的联系。 ”由此，我们大致可以看出教材对于本部分的基本要求以及高考的考查要点。本部分的课标建议课时为大约 16 课时。相应的说明与建议主要有：1、 一元二次不等式教学中，应注重使学生了解一元二次不等式的实际背景。求解一元二次不等式，首先可求出相应方程的根，然后根据相应函数的图象求出不等式的解；也可以运用代数的方法求解。鼓励学生设计求解一元二次不等式的程序框图。2、 不等式有丰富的实际背景，是刻画区域的重要工
5、具。刻画区域是解决线性规划问题的一个基本步骤，教学中可以从实际背景引入二元一次不等式组。3、 线性规划是优化的具体模型之一。在本模块的教学中，教师应引导学生体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题，不必引入很多名词。（二） 不等式选讲部分此部分文理科考生的对待方式见的异同我们已在“综述”部分有所讲解，次不赘述。本专题主要介绍几个数学中重要的不等式以及数学归纳法。本专题特别强调不等式及其证明的几何意义与背景，以加深学生对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力。从文理科学习之间的异同的角度，我们可以将本专题内容分为两部分：前半部分，文理科同等要
6、求，且均在必修过程中已基本讲解到位；后半部分，只对理科生做简单要求，即高考时所考题目难度不大，基本上可直接套用公式，或只需经简单并行即可套用公式，同时，也不是必做题。下面，我们把新课标中的内容与要求重点性的摘录于此，以供诸位师生探讨，同时也作为本部分内容的一个基本总结，后文将不再详细展开。1、 理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明三角不等式等。32、 认识柯西不等式的几种不同形式。3、 了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题。4、 会用上述不等式证明一些简单问题。能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值。5、 通过一些简单问题了解证明不
7、等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。 三、 考点归纳与题型讲解之“不等式的求解”（一） 、不等式的性质1、不等式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强。2、两个实数的大小：； ；ba0ba0ba03、不等式的基本性质： (1)不等式的两边都加上(或减去 )同一个数或同一个整式不等号的方向不变如果 ，那么 .abcb(2)不等式的两边都乘以(或除以 )同一个正数，不等号的方向不变如果 ，那么 （或 ）.,0cacb（3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变如果 , ,那么
8、 （或 ）bacc由上面三条可以衍生出如下的性质： （1） （对称性）a（2） （传递性） cba,（3） （加法单调性）（4） （同向不等式相加）dbdc,（5） （异向不等式相减）ab（6） c0,4（7） （乘法单调性）bcac0,（8） （同向不等式相乘）dd（异向不等式相除）(9),bc（倒数关系）110aab（11） （平方法则）)1,(nZn且（12） （开方法则）,b且4例题：（1）已知 1xy， 3xy，则 xy的取值范围是_（答： 37） ；（2）已知 cba，且 ,0cba则 a的取值范围是_（答：1,2）（二）解一元一次不等式（组）1一元一次不等式1.1 定义： 只含有
9、一个未知数，且未知数的次数是 1系数不等于 0 的不等式叫做一元一次不等式注：一元一次不等式的一般形式是 ax+bO 或 ax+bb）不等式组 图示 解集xabb a xa（同大取大）xabb a xb（同小取小）xabb abxa（大小交叉取中间）xabb a 无解（大小分离解为空）24.解一元一次不等式组的步骤(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集；(2)利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集3例题讲解【例 1】 解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出来.2(1)35x解:解不等式得 ，解不等式得 ，不等式和的解集在数轴上x5x表示如下：原不等式组的解集是 .15-1 0
10、 1 2 3 46（三）解一元二次不等式（组）1：一元二次不等式的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式。比如： .任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式：或 .2：一般的一元二次不等式的解法：一元二次不等式的解集可以联系二次函数 的图象，图象在 轴上方部分对应的横坐标 值的集合为不等式的解集，图象在 轴下方部分对应的横坐标 值的集合为不等式 的解集.设一元二次方程 的两根为 且 ，则相应的不等式的解集的各种情况如下表：(a0)的图象有两相异实根 有两相等实根无实根|21xx或注：表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，可先利用不等式
11、的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； 3：规律方法指导73.1解一元二次不等式首先要看二次项系数 a 是否为正；若为负，则将其变为正数；3.2若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；3.3写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；3.4根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；3.5若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数（四） 解分式不等式1. 形如 f(x)/g(x)0 或 f(x)/g(x)0”,则找“线”在 x 轴上方的区间；若不等式是“0”,则找“线”在 x
12、 轴下方的区间.说明：注意不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；3.例题讲解：例 1.解不等式： .032x解：32x00)32)(2xx，用穿根法（零点分段法）画图如下：0)1(3)(xx原不等式的解集为x| -1x 1 或 2 x3.例 2 解不等式： .0)(3)(2xx解：检查各因式中 x 的符号均正；求得相应方程的根为：-1， 2，3（注意：2 是二重根，3 是三重根） ；在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始） ，如下图：原不等式的解集为：x|-1x2 或 2x3.说明：3 是三重根，在 C 处穿三次，2 是二重根，在 B 处穿两21 3-1+-+- x1
13、 x2 x3 xn-1 xn10次，结果相当于没穿.由此看出，当左侧 f(x)有相同因式(x-x1)n 时，n 为奇数时，曲线在 x1 点处穿过数轴；n 为偶数时，曲线在 x1 点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇穿偶不穿”.（六）解无理不等式1.基本概念：根号下含有未知数的不等式。2、无理不等式的类型（高考对这方面的要求不太高） 0)()4(3)()(1xgff3.根式不等式的解法3.1 类型一： )(f)(0xgf)(0xgf例：解不等式 34解：原不等式可化为 x，根据根式的意义及不等式的性质，得： 340x解得|所以，原不等式的解集 为3.2 类型二： )(xgf0)()(02fxfg或注：
14、第一个花括号内的 f(x)大于等于 0 可以省略。例 2 解不等式 373|119|x解：原不等式可化为 327x根据根式的意义及不等式的性质，得 )2.(03)1.(3(2702xx或解这个不等式组（1） ，得92|2| xxxx解这个不等式组（2） ，得 37|3|7| xxx所以，原不等式的解集为92|3.3 类型三： )(xgf2)(0xgf例 3 解不等式 037x解：原不等式可化为 2根据根式的意义及不等式的性质，得2)3(270x解这个不等式组，得3.4 类型四： 0)()1(gf0)(xgf2f120)(xfgf或例 4 解不等式 032x解：由原不等式可得： 0322xx或解
15、得 1|或解法小结：解无理不等式的主要思路是去根号。但去根号的时候要注意下根号里的数和根号外的数的正负！（七）解绝对值不等式的常用方法解含有绝对值的不等式的关键是想法把它转化为不含绝对值的不等式，常见的解法有以下几种：1、利用绝对值的定义例 1：解不等式 .512x解：原不等式于：（） 或（）5120x5)12(0x由（）得： 或（）得31x原不等式的解集为： .3或例 2 解不等式 .x2解：原不等式即： ，由绝对值的意义可知 ，亦即1021x，所以 ，即原不等式的解集为 .0)2(1x2x),(评注：利用绝对值的意义求解有些不等式时可另辟蹊径，化繁为简.例 3解不等式分析：不等式左边可化掉
16、无理式。解：原不等式等价于或13或原不等式的解集为2、利用绝对值的性质例 1：解不等式 .312x解：原不等式等价于 即: 42x02312由得 由得41x1x或原不等式的解集为： .或3、利用平方法例 1：解不等式 .323x解：将原不等式两边平方为： 191241292xx即原不等式的解集为： .x或例 2、解不等式解：原不等式变为：等价于 ，即原不等式的解集为4、利用分段讨论法（即零点分段法）例 1：解不等式 .42x解：当 时，不等式化为： x 4)2(x3当 时，不等式化为： 0当 时， 42x1综上所述，不等式的解集为： .3,x或例 2. 解不等式分析：如何去掉两个绝对值的符号？
17、首先找出零点，第一个绝对值的式14子的零点为 5，第二个式子的零点为 ，两个零点把数轴分成三段，故可分为三段讨论。解：原不等式变为：即原不等式的解集为注：利用此法解题时要注意 x 的系数为正。5、利用绝对值的几何意义例 1：解不等式 .523x解：不等式 表示数轴距 A（3） 、B（-2 ）两点的距离之和大于 5 的点，方程 表示在数轴上距 A、B 两点的距x离之和等于 5 的点。原不等式的解集为： .3,2或6、利用不等式组法（即等价转化法）例 1：已知关于 x 的不等式 有解，求 a 的取值范围。x1解：令 则 ， 可将原不等式变为不等式组2y3y，因原不等式有解，如图，易得 a3 3a。
18、例 2：已知关于 x 的不等式 的解集为 R，求 a 的取值x4范围。解：令 ，由上知 ，34y 1y故可将原不等式等价变为不等式组 a15，如图 ，易得 .1a7、利用数形结合法例 1 解不等式 32x解 画出 和 的图像，如图所示，求出他们的交点1yy的横坐标分别是 和 因为 ，所以原不等式的解3x4321x是 的交点的横坐标，由图像知：原不等式的解是 或 .21y24x例 2 若不等式 对一切 恒成立，求实数 的取值范围.kx| Rk解析：在同一坐标系中分别画出函数 与 的图象|1|xyxy（如下图） ，显然，要使不等式 对一切 恒成立，k| R须 ，即 的取值范围是 .10k,0例 3
19、 若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.|63|2|xmm解析：在同一坐标系中分别画出函数 及|2|xy（如下图） ，由于不等式 恒成|6|xy |63|立，所以函数 的图象应总在函数 图|2|xy|xy象的下方，因此，函数 的图象也必须经过点|m，所以 .)0,2(4评注：运用数形结合的方法求解绝对值不等式问题，既直观形象，又简单易行.8 利用利用定比分点法例 1 解不等式 .ax210解：在数轴上取 ，其中 ，使 P 为axpp2,1,21R21,pxyO1kxyO2|m|63x16的内分点即可，这就顺利地去掉了绝对值符号， 由 12p0即： 即：解不等式： .210xax21xa等价于整
20、式不等式： 2211.xaxa222110.xaxa又 0x2211.aa故不等式的解集为： 2| 1.xxa9、利用绝对值不等式注：主要指绝对值的三角不等式 | bba例 1 解不等式： .|log|2|log2| 2xx解析：首先应有 ，所以原不等式等价于0，由于在不等式 中，|l|log2| 22x |ba成立的条件是 ，所以原不等式等价于 ，而“ab0log2x，所以 ，因此得 ，故原不等式的解集为 .0x0l2x1x1|评注：要特别注意不等式 中各部分等号及不| ba等号成立的条件，利用这些条件可以解决一些绝对值不等式或方程问题.例 2 若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.mx|1
21、3|2|解析：令 ，则只须求出函数 的最小值即|)(f )(xf可.由于 （当3|1()2(| xx时等号取到） ，即 的最小值等31,0)3(2x即 )xf于 3，所以不等式 恒成立时， 的取值范围是mx|2|.m17评注：此处用绝对值不等式 求最值，避免了| baba对函数 的分段讨论，显得非常简单.|13|2|)(xxf（八） 用数学思想方法解不等式注：再解不等式时，有时充分借用常见数学思想，如整体思想、等价变形思想、补集思想、方程与函数思想等等，进行求解，会起到事半功倍的效果。读者可自行对照相关题型研究、学习，此不详细列举。例 1 解不等式：（1） ；（2） 01523x 0)2(5)
22、4(3xx分析：如果多项式 可分解为 个一次式的积，则一元高次不等式 （或)(xfnf）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况0)(xf解：（1）原不等式可化为 0)3(52x把方程 的三个根 顺次标上数轴然后从右3,25,01xx上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分原不等式解集为 3025xx或（2）原不等式等价于 2450)2(45)(32xx或原不等式解集为 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：各一次项中 的系数必为正；对于偶次x或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法” ，但注意“奇穿偶不穿” ，其法如下图典型例题二例 2 解下列分式不等式：18（
23、1） ； （2）123x127342x分析：当分式不等式化为 时，要注意它的等价变形)0()或gf ()0)(xfxgf 0)(0)()(0)()( xgfxfxgfgff 或或（1）解：原不等式等价于 0)2()(160)2(165)()(30232xxxxx用“穿根法”原不等式解集为 。,),(（2）解法一：原不等式等价于 027312x212307307)(13(22xxxx或或 或原不等式解集为 。),(),3,(解法二：原不等式等价于 0)2(13x)(1)2(xx19用“穿根法”原不等式解集为 ),2()1,3,(典型例题三例 3 解不等式 242x分析：解此题的关键是去绝对值符号
24、，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义 )0(a二是根据绝对值的性质： 或 ，因此本题有axaxax.,如下两种解法解法一：原不等式 240202 xx或即 12x或或或 或321故原不等式的解集为 3x解法二：原不等式等价于 24)(2x即 )2(42x31x故或典型例题四例 4 解不等式 0412562x分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于 二次式的商，由商的符号法则，它x等价于下列两个不等式组：或0412562x0415622x所以，原不等式的解集是上面两个不等式级的解集的并集也可用数轴标根法求解解法一：原不等式等价下面两个不等式级的并集：20或0412,562x 041
25、,5622x或;)6(, ;)6(,或；2,51x,251x或或或 或 ,6原不等式解集是 651x， 或， 或解法二：原不等式化为 0)6(2x画数轴，找因式根，分区间，定符号符号)6(251x原不等式解集是 6512xx， 或， 或说明：解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集，再求两组的解的并集，否则会产生误解解法二中， “定符号”是关键当每个因式 的系数为正值时，最右边区间一定是正值，其x他各区间正负相间；也可以先决定含的区间符号，其他各区间正负相间在解题时要正确运用典型例题五例 5 解不等式 xx223分析：不等式左右两边都是含有 的代数式，必须先把它们移到一边，
26、使另一边为 0再解解：移项整理，将原不等式化为 0)1(32(x由 恒成立，知原不等式等价于 012x )(2解之，得原不等式的解集为 31xx或21说明：此题易出现去分母得 的错误解法避免误解的方法)23(2xx是移项使一边为再解另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理典型例题六例 6 设 ，解关于 的不等式 Rmx032mx分析：进行分类讨论求解解：当 时，因 一定成立，故原不等式的解集为 003R当 时，原不等式化为 ；0)1(x当 时，解得 ；mmx当 时，解得 031当 时，原不等式的解集为 ； mx1当 时，原不等式的解集
27、为 0mx3说明：解不等式时，由于 ，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解因为Rm当 时，原不等式化为 ，此时不等式的解集为 ，所以解题时应分 与03R0m两种情况来讨论0在解出 的两根为 ， 后，认为 ，这也是易出现2xmx31m1213的错误之处这时也应分情况来讨论：当 时， ；当 时， 0013典型例题七例 7 解关于 的不等式 x)0(12axax分析：先按无理不等式的解法化为两个不等式组，然后分类讨论求解解：原不等式 或;)1(2,0)1(22xax.01,(2x22由 ，得： 0a;01)(2,1)(2axx.1,2)(xa由判别式 ，故不等式 的解是84)(a 0)(22axa
28、2121当 时， ， ，不等式组(1)的解是01a12a，不等式组(2)的解是 121xax当 时，不等式组(1)无解，(2)的解是 2综上可知，当 时，原不等式的解集是 ；当 时，原不等20a,1a2式的解集是 ,说明：本题分类讨论标准“ ， ”是依据“已知 及(1) 中 ，20a0a2ax， (2)中 ， ”确定的解含有参数的不等式是不等式问题中的难点，也1x2ax1是近几年高考的热点一般地，分类讨论标准（解不等式）大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定本题易误把原不等式等价于不等式 纠正错误的办法是熟练掌握无理不等)1(2xax式基本类型的解法典型例题八例 8
29、 解不等式 31042x分析：先去掉绝对值号，再找它的等价组并求各不等式的解，然后取它们的交集即可解答：去掉绝对值号得 ，310432x原不等式等价于不等式组 06143104322 xx23.321,50)2(305xx或原不等式的解集为 3250x或说明：解含绝对值的不等式，关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等价转化为不等式组，变成求不等式组的解典型例题九例 9 解关于 的不等式 x0)(322ax分析：不等式中含有字母 ，故需分类讨论但解题思路与一般的一元二次不等式的a解法完全一样：求出方程 的根，然后写出不等式的解，但由于方程)(322的根含有字母 ，故需比较两根的大小，
30、从而引出讨论a解：原不等式可化为 0)(2ax(1)当 （即 或 ）时，不等式的解集为：21；2ax或(2)当 （即 ）时，不等式的解集为：2a10；axx或2(3)当 （即 或 1）时，不等式的解集为：2a0axR且说明：对参数进行的讨论，是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类、讨论比如本题，为求不等式的解，需先求出方程的根 ， ，因此不ax12等式的解就是 小于小根或 大于大根但 与 两根的大小不能确定，因此需要讨论xxa2， ， 三种情况2a22a典型例题十例 10 已知不等式 的解集是 求不等式02cbxa)0(x24的解集02abxc分析：按照一元二次不等式的一般解
31、法，先确定系数 的正负，然后求出方程c的两根即可解之2解：(解法 1)由题可判断出 ， 是方程 的两根，02cbxa ， abc又 的解集是 ，说明 02xx0a而 ， ，0ca 022xcbabxc),1(1,ac ，即 ，02cxb 0(2 xx即 )1(又 ， ，0 的解集为 0)1(x 1x(解法 2)由题意可判断出 ， 是方程 的两根，02cba ac又 的解集是 ，说明 02bxx0a而 ， 0ca对方程 两边同除以 得2bxc2x0)1()(a令 ，该方程即为xt，它的两根为 ， ，02cba1t2t25 ， ， ，1x21x2方程 的两根为 ， 0abc ， 01不等式 的解集
32、是 02abxc 1x说明：(1)万变不离其宗，解不等式的核心即是确定首项系数的正负，求出相应的方程的根；(2)结合使用韦达定理，本题中只有 ， 是已知量，故所求不等式解集也用 ， 表示，不等式系数 ， ， 的关系也用 ， 表示出来；(3)注意解法 2 中用“变换”的方法求abc方程的根典型例题十二例 12 若不等式 的解为 ，求 、 的值122xbxa)1()3(， ab分析：不等式本身比较复杂，要先对不等式进行同解变形，再根据解集列出关于 、a式子b解： ，043)21(2xx，1原不等式化为 0)()(2baxba依题意 ，342102ba 25说明：解有关一元二次方程的不等式，要注意判
33、断二次项系数的符号，结合韦达定理来解典型例题十三26例 13 不等式 的解集为 ，求 与 的值02bxa21xab分析：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为 ，不等式21x需满足条件 ， ， 的两根为 ， 02bxa0a02bxa解法一：设 的两根为 ， ，由韦达定理得：2bx1由题意：ax21 2ab ， ，此时满足 ， b00)(4ab解法二：构造解集为 的一元二次不等式：21x，即 ，此不等式与原不等式 应为同解不0)2(1x02 02bxa等式，故需满足： ， ba1ab说明：本题考查一元二次方程、一元二次不等式解集的关系，同时还考查逆向思维的能力对有关字母抽象问题，同学往往掌握
34、得不好典型例题十四例 14 解关于 的不等式 x01)(2xa分析：本题考查一元一次不等式与一元二次不等式的解法，因为含有字母系数，所以还考查分类思想解：分以下情况讨论(1)当 时，原不等式变为： ，0a01x1x(2)当 时，原不等式变为： )(a当 时，式变为 ，不等式的解为 或 )(x1xa当 时，式变为 0a01a ，当 时， ，此时的解为 当 时，10ax11，此时的解为 1a1xa说明：解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有27三级分类： 10aaR分类应做到使所给参数 的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏另外，解a本题还要注意在讨论 时，解
35、一元二次不等式 应首选做到将二次项0 0)(2x系数变为正数再求解典型例题十五例 15 解不等式 xx81032分析：无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下， 可转化为 或 ，而 等价于：)(gxf)(gf )(xgf)(xgf或 0)(xf2)(0xgf解：原不等式等价于下面两个不等式组： 01382x22)8(1038xx由得 ，5x或 8由得 ，.137428x或 81374x所以原不等式的解集为 ，即为 81374xx或 1374x说明：本题也可以转化为 型的不等式求解，注意：)(gf，2)(0)(xgffxf28这里，设全集 ，520132 xxU
36、或，xA81032则所求不等式的解集为 的补集 ，A由 或 2)8(1038103222 xxxx 13745x即 ，原不等式的解集是 17452xxA或 xA四考点归纳与题型讲解之“不等式的证明” 或)1(212 nn )12(1422 nn 3)(.3(.)( Cn nnn21)12( nn 22 )1(21)(2nnn )!(!)1( 12)12()2()2( 1 nnnnn（一）比较法证明不等式例 1 若 ，证明 （ 且 ） 0x)(log)(logxxaa0a分析 1 用作差法来证明需分为 和 两种情况，去掉绝对1值符号，然后比较法证明解法 1 （1）当 时，因为 ，,0x所以 )1
37、(log)(lxxaa )1(log)(lxaa290)1(log2xa（2）当 时，因为 ，1,1x所以 )(log)(lxaa )1(log)(lxxaa0)1(log2xa综合（1） （2）知 )1(l)1(logxxaa分析 2 直接作差，然后用对数的性质来去绝对值符号解法 2 作差比较法因为 )1(log)1(logxxaa axlg)1(l)()l()1lg(xa，)l()l( 0)1lg(2xa所以 1log1logxxaa说明：解法一用分类相当于增设了已知条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法二用对数性质（换底公式）也能达到同样的目的，且不必分而治之，其解法自然简捷、明快例 2
38、 设 ，求证：0ba.aba分析：发现作差后变形、判断符号较为困难考虑到两边都是正数，可以作商，判断比值与 1的大小关系，从而证明不等式证明：， ， bababa)(0.0,1ba. 又 ， .1)(aab.1ababa说明：本题考查不等式的证明方法比较法(作商比较法). 作商比较法证明不等式的步骤是：判断符号、作商、变形、判断与 1 的大小.（二）综合法证明不等式例 1 对于任意实数 a、 b，求证44()2ba（当且仅当 ab时取等号）30分析 这个题若使用比较法来证明，将会很麻烦，因为，所要证明的不等式中有 4()2ab，展开后很复杂。若使用综合法，从重要不等式：2出发，再恰当地利用不等
39、式的有关性质及 “配方”的技巧可得到证明。证明： 2ab（当且仅当 2ab时取等号）两边同加 44():()()，即：2（1）又： 2ab（当且仅当 ab时取等号）两边同加 22():()() 22 24()()ab（2）由（1）和（2）可得44()2ab（当且仅当 ab时取等号） 说明：此题参考用综合法证明不等式综合法证明不等式主要是应用均值不等式来证明，要注意均值不等式的变形应用，一般式子中出现有平方和乘积形式后可以考虑用综合法来解例 2 若 a、b 、c 是不全相等的正数，求证：cabcalgl2lgllg【分析】根据本题的条件和要证明的结论，既可用分析法由可用综合法。【证法一】 （综合法）： ， ，Rcba,02ab，02cb02又a、b、c 是不全相等的正数，有 。abccb2
