1、一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）一选择题（共 22 小题）1 （2014宜宾）若关于 x 的一元二次方程的两个根为 x1=1，x 2=2，则这个方程是（ ）A x2+3x2=0 B x23x+2=0 C x22x+3=0 Dx2+3x+2=02 （2014昆明）已知 x1，x 2 是一元二次方程 x24x+1=0 的两个实数根，则 x1x2 等于（ ）A 4B 1 C 1 D43 （2014玉林） x1，x 2 是关于 x 的一元二次方程 x2mx+m2=0 的两个实数根，是否存在实数 m 使 + =0 成立？则正确的结论是（ ）Am=0 时成立 B m=2 时成立 C m=0 或
2、 2 时成立 D不存在4 （2014南昌）若 ， 是方程 x22x3=0 的两个实数根，则 2+2 的值为（ ）A10 B 9 C 7 D55 （2014贵港）若关于 x 的一元二次方程 x2+bx+c=0 的两个实数根分别为 x1=2，x 2=4，则 b+c 的值是（ ）A 10B 10 C 6 D 16 （2014烟台）关于 x 的方程 x2ax+2a=0 的两根的平方和是 5，则 a 的值是（ ）A 1 或 5B 1 C 5 D 17 （2014攀枝花）若方程 x2+x1=0 的两实根为 、，那么下列说法不正确的是（ ）A +=1B =1 C 2+2=3 D+ =18 （2014威海）方
3、程 x2（m+6）x+m 2=0 有两个相等的实数根，且满足 x1+x2=x1x2，则 m 的值是（ ）A 2 或 3B 3 C 2 D 3 或 29 （2014长沙模拟）若关于 x 的一元二次方程 x2+（k+3）x+2=0 的一个根是 2，则另一个根是（ ）A2 B 1 C 1 D010 （2014黄冈样卷）设 a，b 是方程 x2+x2015=0 的两个实数根，则 a2+2a+b 的值为（ ）A2012 B 2013 C 2014 D201511 （2014江西模拟）一元二次方程 x22x3=0 与 3x211x+6=0 的所有根的乘积等于（ ）A 6B 6 C 3 D 312 （201
4、4峨眉山市二模）已知 x1、x 2 是方程 x2（k2） x+k2+3k+5=0 的两个实数根，则 的最大值是（ ）A19 B 18 C 15 D1313 （2014陵县模拟）已知：x 1、x 2 是一元二次方程 x2+2ax+b=0 的两根，且 x1+x2=3，x 1x2=1，则 a、b 的值分别是（ ）A a=3，b=1B a=3，b=1 C a= ，b=1 Da= ，b=114 （2013湖北）已知 ， 是一元二次方程 x25x2=0 的两个实数根，则 2+2 的值为（ ）A 1B 9 C 23 D2715 （2013桂林）已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+a1=0 有两根为 x
5、1 和 x2，且 x12x1x2=0，则 a 的值是（ ）Aa=1 B a=1 或 a=2 C a=2 Da=1 或 a=216 （2013天河区二模）已知一元二次方程 x24x+3=0 两根为 x1、x 2，则 x1+x2=（ ）A4 B 3 C 4 D 317 （2013青神县一模）已知 m 和 n 是方程 2x25x3=0 的两根，则 的值等于（ ）AB C D18 （2012莱芜）已知 m、n 是方程 x2+2 x+1=0 的两根，则代数式 的值为（ ）A9 B 3 C 3 D519 （2012天门）如果关于 x 的一元二次方程 x2+4x+a=0 的两个不相等实数根 x1，x 2 满
6、足 x1x22x12x25=0，那么a 的值为（ ）A3 B 3 C 13 D 1320 （2011锦江区模拟）若方程 x23x2=0 的两实根为 x1、x 2，则（x 1+2） （x 2+2）的值为（ ）A 4B 6 C 8 D1221 （2011鄂州模拟）已知 p2p1=0，1qq 2=0，且 pq1，则 的值为（ ）A1 B 2 C D22 （2010滨湖区一模）若 ABC 的一边 a 为 4，另两边 b、c 分别满足 b25b+6=0，c 25c+6=0，则ABC 的周长为（ ）A9 B 10 C 9 或 10 D8 或 9 或 10二填空题（共 4 小题）23 （2014莱芜）若关于
7、 x 的方程 x2+（k2）x+k 2=0 的两根互为倒数，则 k= _ 24 （2014呼和浩特）已知 m，n 是方程 x2+2x5=0 的两个实数根，则 m2mn+3m+n= _ 25 （2014广州）若关于 x 的方程 x2+2mx+m2+3m2=0 有两个实数根 x1、x 2，则 x1（x 2+x1）+x 22 的最小值为 _ 26 （2014桂林）已知关于 x 的一元二次方程 x2+（2k+1）x+k 22=0 的两根为 x1 和 x2，且（x 12） （x 1x2）=0，则k 的值是 _ 三解答题（共 4 小题）27 （2014泸州）已知 x1，x 2 是关于 x 的一元二次方程
8、x22（m+1 ）x+m 2+5=0 的两实数根（1）若（x 11） （x 21）=28 ，求 m 的值；（2）已知等腰ABC 的一边长为 7，若 x1，x 2 恰好是 ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长28 （2014日照二模）已知 x1，x 2 是关于 x 的一元二次方程 x2+（3a1）x+2a 21=0 的两个实数根，其满足（3x 1x2） （x 13x2）=80求实数 a 的所有可能值29 （2013孝感）已知关于 x 的一元二次方程 x2（2k+1）x+k 2+2k=0 有两个实数根 x1，x 2（1）求实数 k 的取值范围；（2）是否存在实数 k 使得 x1x2x12x2
9、20 成立？若存在，请求出 k 的值；若不存在，请说明理由30 （2001苏州）已知关于 x 的一元二次方程 ，（1）求证：不论 k 取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设 x1、x 2 是方程的两个根，且 x122kx1+2x1x2=5，求 k 的值一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）参考答案与试题解析一选择题（共 22 小题）1 （2014宜宾）若关于 x 的一元二次方程的两个根为 x1=1，x 2=2，则这个方程是（ ）A x2+3x2=0 B x23x+2=0 C x22x+3=0 Dx2+3x+2=0考点： 根与系数的关系菁优网版权所有分析： 解决此题可用验算法，因为两
10、实数根的和是 1+2=3，两实数根的积是 12=2解题时检验两根之和 是否为 3 及两根之积 是否为 2 即可解答： 解：两个根为 x1=1，x 2=2 则两根的和是 3，积是 2A、两根之和等于3，两根之积等于2，所以此选项不正确；B、两根之和等于 3，两根之积等于 2，所以此选项正确；C、两根之和等于 2，两根之积等于 3，所以此选项不正确；D、两根之和等于3，两根之积等于 2，所以此选项不正确，故选：B点评： 验算时要注意方程中各项系数的正负2 （2014昆明）已知 x1，x 2 是一元二次方程 x24x+1=0 的两个实数根，则 x1x2 等于（ ）A 4B 1 C 1 D4考点： 根
11、与系数的关系菁优网版权所有专题： 计算题分析： 直接根据根与系数的关系求解解答： 解：根据韦达定理得 x1x2=1故选：C点评： 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根与系数的关系：若方程两个为 x1，x 2，则x1+x2= ，x 1x2= 3 （2014玉林） x1，x 2 是关于 x 的一元二次方程 x2mx+m2=0 的两个实数根，是否存在实数 m 使 + =0 成立？则正确的结论是（ ）Am=0 时成立 B m=2 时成立 C m=0 或 2 时成立 D不存在考点： 根与系数的关系菁优网版权所有分析： 先由一元二次方程根与系数的关系得出，x 1+x2=m，x 1x2
12、=m2假设存在实数 m 使 + =0 成立，则=0，求出 m=0，再用判别式进行检验即可解答： 解： x1，x 2 是关于 x 的一元二次方程 x2mx+m2=0 的两个实数根，x1+x2=m，x 1x2=m2假设存在实数 m 使 + =0 成立，则 =0， =0，m=0当 m=0 时，方程 x2mx+m2=0 即为 x22=0，此时=80，m=0 符合题意故选：A点评： 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：如果 x1，x 2 是方程 x2+px+q=0 的两根时，那么x1+x2=p，x 1x2=q4 （2014南昌）若 ， 是方程 x22x3=0 的两个实数根，则 2+2 的值为（ ）
13、A10 B 9 C 7 D5考点： 根与系数的关系菁优网版权所有分析： 根据根与系数的关系求得 +=2，=3，则将所求的代数式变形为（+） 22，将其整体代入即可求值解答： 解： ， 是方程 x22x3=0 的两个实数根，+=2， =3，2+2=（+） 22=222（3）=10故选：A点评： 此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法5 （2014贵港）若关于 x 的一元二次方程 x2+bx+c=0 的两个实数根分别为 x1=2，x 2=4，则 b+c 的值是（ ）A 10B 10 C 6 D 1考点： 根与系数的关系菁优网版权所有分析： 根据
14、根与系数的关系得到2+4= b，24=c，然后可分别计算出 b、c 的值，进一步求得答案即可解答： 解： 关于 x 的一元二次方程 x2+bx+c=0 的两个实数根分别为 x1=2，x 2=4，根据根与系数的关系，可得2+4= b，24=c，解得 b=2，c=8b+c=10故选：A点评： 此题考查根与系数的关系，解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x1+x2= ，x 1x2= 6 （2014烟台）关于 x 的方程 x2ax+2a=0 的两根的平方和是 5，则 a 的值是（ ）A 1 或 5B 1 C 5 D 1考点： 根与系数的关系；根的判别式菁优网版权所有专题： 计算题分析： 设
15、方程的两根为 x1，x 2，根据根与系数的关系得到 x1+x2=a，x 1x2=2a，由于 x12+x22=5，变形得到（x 1+x2） 22x1x2=5，则 a24a5=0，然后解方程，满足0 的 a 的值为所求解答： 解：设方程的两根为 x1，x 2，则 x1+x2=a，x 1x2=2a，x12+x22=5，（ x1+x2） 22x1x2=5，a24a5=0，a1=5， a2=1，=a28a0，a=1故选：D点评： 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根与系数的关系：若方程的两根为 x1，x 2，则x1+x2= ，x 1x2= 也考查了一元二次方程的根的判别式7 （20
16、14攀枝花）若方程 x2+x1=0 的两实根为 、，那么下列说法不正确的是（ ）A +=1B =1 C 2+2=3 D+ =1考点： 根与系数的关系菁优网版权所有专题： 计算题分析： 先根据根与系数的关系得到 +=1， =1，再利用完全平方公式变形 2+2 得到（+） 22，利用通分变形 + 得到 ，然后利用整体代入的方法分别计算两个代数式的值，这样可对各选项进行判断解答： 解：根据题意得 +=1，=1所以 2+2=（ +） 22=（ 1） 22（1）=3；+ = = =1故选：D点评： 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根与系数的关系：若方程两个为 x1，x 2，则x1
17、+x2= ，x 1x2= 8 （2014威海）方程 x2（m+6）x+m 2=0 有两个相等的实数根，且满足 x1+x2=x1x2，则 m 的值是（ ）A 2 或 3B 3 C 2 D 3 或 2考点： 根与系数的关系；根的判别式菁优网版权所有专题： 判别式法分析： 根据根与系数的关系有：x 1+x2=m+6，x 1x2=m2，再根据 x1+x2=x1x2 得到 m 的方程，解方程即可，进一步由方程 x2（m+6）+m 2=0 有两个相等的实数根得出 b24ac=0，求得 m 的值，由相同的解解决问题解答： 解： x1+x2=m+6，x 1x2=m2， x1+x2=x1x2，m+6=m2，解得
18、 m=3 或 m=2，方程 x2（m+6）x+m 2=0 有两个相等的实数根，=b24ac=（m+6） 24m2=3m2+12m+36=0解得 m=6 或 m=2m=2故选：C点评： 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0，a，b，c 为常数）根的判别式=b 24ac当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根同时考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根与系数的关系：若方程的两根为 x1，x 2，则 x1+x2= ，x 1x2= 9 （2014长沙模拟）若关于 x 的一元二次方程 x2+（k+3）x+2=0 的一个根是 2，
19、则另一个根是（ ）A2 B 1 C 1 D0考点： 根与系数的关系菁优网版权所有分析： 根据一元二次方程的根与系数的关系 x1x2= 来求方程的另一个根解答： 解：设 x1、x 2 是关于 x 的一元二次方程 x2+（k+3）x+2=0 的两个根，由韦达定理，得 x1x2=2，即2x 2=2，解得，x 2=1即方程的另一个根是1故选 C点评： 此题主要考查了根与系数的关系在利用根与系数的关系 x1+x2= 、x 1x2= 时，要注意等式中的a、b、c 所表示的含义10 （2014黄冈样卷）设 a，b 是方程 x2+x2015=0 的两个实数根，则 a2+2a+b 的值为（ ）A2012 B 2
20、013 C 2014 D2015考点： 根与系数的关系；一元二次方程的解菁优网版权所有专题： 计算题分析： 先根据一元二次方程的解的定义得到 a2+a2015=0，即 a2+a=2015，则 a2+2a+b 变形为 a+b+2015，再根据根与系数的关系得到 a+b=1，然后利用整体代入的方法计算解答： 解： a 是方程 x2+x2015=0 的根，a2+a2015=0，即 a2+a=2015，a2+2a+b=a+b+2015，a，b 是方程 x2+x2015=0 的两个实数根a+b=1，a2+2a+b=a+b+2015=1+2015=2014故选 C点评： 本题考查了根与系数的关系：若 x1
21、，x 2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的两根时，x 1+x2= ，x 1x2=也考查了一元二次方程的解11 （2014江西模拟）一元二次方程 x22x3=0 与 3x211x+6=0 的所有根的乘积等于（ ）A 6B 6 C 3 D 3考点： 根与系数的关系菁优网版权所有分析： 由一元二次方程 x22x3=0 和 3x211x+6=0 先用判别式判断方程是否有解，再根据根与系数的关系 ，即可直接得出答案解答： 解：由一元二次方程 x22x3=0， =4+16=200，x1x2=3，由一元二次方程 3x211x+6=0， =121436=490，x1x2=232=6故选 A点评：
22、 本题考查了一元二次方程根与系数的关系解此类题目要把代数式变形为两根之积的形式12 （2014峨眉山市二模）已知 x1、x 2 是方程 x2（k2） x+k2+3k+5=0 的两个实数根，则 的最大值是（ ）A19 B 18 C 15 D13考点： 根与系数的关系；二次函数的最值菁优网版权所有分析： 根据 x1、x 2 是方程 x2（k 2） x+（k 2+3k+5）=0 的两个实根，由 0 即可求出 k 的取值范围，然后根据根与系数的关系求解即可解答： 解：由方程有实根，得 0，即（k2） 24（k 2+3k+5）0所以 3k2+16k+160，所以 （3k+4） （k+4 ）0解得4k 又
23、由 x1+x2=k2，x 1x2=k2+3k+5，得x12+x22=（x 1+x2） 22x1x2=（ k2） 22（k 2+3k+5）= k210k6=19（k+5） 2，当 k=4 时，x 12+x22 取最大值 18故选：B点评： 本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是根据0 先求出 k 的取值范围再根据根与系数的关系进行求解13 （2014陵县模拟）已知：x 1、x 2 是一元二次方程 x2+2ax+b=0 的两根，且 x1+x2=3，x 1x2=1，则 a、b 的值分别是（ ）A a=3，b=1B a=3，b=1 C a= ，b=1 Da= ，b=1考点： 根与系数的关系菁优网
24、版权所有专题： 计算题分析： 根据根与系数的关系得到得 x1+x2=2a，x 1x2=b，即2a=3，b=1，然后解一次方程即可解答： 解：根据题意得 x1+x2=2a，x 1x2=b，所以2a=3，b=1，解得 a= ，b=1故选 D点评： 本题考查了根与系数的关系：若 x1，x 2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的两根时，x 1+x2= ，x 1x2=14 （2013湖北）已知 ， 是一元二次方程 x25x2=0 的两个实数根，则 2+2 的值为（ ）A 1B 9 C 23 D27考点： 根与系数的关系菁优网版权所有分析： 根据根与系数的关系 += ， = ，求出 + 和 的
25、值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案解答： 解： ， 是方程 x25x2=0 的两个实数根，+=5， =2，又 2+2=（+） 2，2+2=52+2=27；故选 D点评： 此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法，若方程两个为 x1，x 2，则 x1+x2= ，x 1x2= 15 （2013桂林）已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+a1=0 有两根为 x1 和 x2，且 x12x1x2=0，则 a 的值是（ ）Aa=1 B a=1 或 a=2 C a=2 Da=1 或 a=2考点： 根与系数的关系；一元二次方程的解菁优网版权所有专题：
26、压轴题分析： 根据 x12x1x2=0 可以求得 x1=0 或者 x1=x2，所以 把 x1=0 代入原方程可以求得 a=1；利用根的判别式等于 0 来求 a 的值解答： 解：解 x12x1x2=0，得x1=0，或 x1=x2，把 x1=0 代入已知方程，得a1=0，解得：a=1；当 x1=x2 时， =44（a1）=0，即 84a=0，解得：a=2综上所述，a=1 或 a=2故选：D点评： 本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解的定义解答该题的技巧性在于巧妙地利用了根的判别式等于 0 来求 a 的另一值16 （2013天河区二模）已知一元二次方程 x24x+3=0 两根为 x1、x 2，
27、则 x1+x2=（ ）A4 B 3 C 4 D 3考点： 根与系数的关系菁优网版权所有分析： 根据一元二次方程 x24x+3=0 两根为 x1、x 2，直接利用 x1+x2= 求出即可解答： 解： 一元二次方程 x24x+3=0 两根为 x1、x 2，x1+x2= =4故选 A点评： 此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数关系公式是解决问题的关键17 （2013青神县一模）已知 m 和 n 是方程 2x25x3=0 的两根，则 的值等于（ ）AB C D考点： 根与系数的关系菁优网版权所有专题： 计算题分析： 根据根与系数的关系得到 m+n= ，mn= ，再变形 + 得到
28、，然后利用整体思想计算解答： 解：根据题意得 m+n= ，mn= ，所以 + = = = 故选 D点评： 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根与系数的关系：若方程两个为 x1，x 2，则x1+x2= ，x 1x2= 18 （2012莱芜）已知 m、n 是方程 x2+2 x+1=0 的两根，则代数式 的值为（ ）A 9 B 3 C 3 D 5 考点： 根与系数的关系；二次根式的化简求值菁优网版权所有专题： 整体思想分析： 根据一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根与系数的关系得到 m+n=2 ，mn=1，再变形 得，然后把 m+n=2 ，mn=1 整体代入计算即可
29、解答： 解： m、n 是方程 x2+2 x+1=0 的两根，m+n=2 ，mn=1， = = = =3故选 C点评： 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根与系数的关系：若方程两根分别为 x1，x 2，则x1+x2= ，x 1x2= 也考查了二次根式的化简求值19 （2012天门）如果关于 x 的一元二次方程 x2+4x+a=0 的两个不相等实数根 x1，x 2 满足 x1x22x12x25=0，那么a 的值为（ ）A3 B 3 C 13 D 13考点： 根与系数的关系；根的判别式菁优网版权所有分析： 利用根与系数的关系求得 x1x2=a，x 1+x2=4，然后将其代入 x
30、1x22x12x25=x1x22（x 1+x2）5=0 列出关于 a的方程，通过解方程即可求得 a 的值解答： 解： x1，x 2 是关于 x 的一元二次方程 x2+4x+a=0 的两个不相等实数根，x1x2=a，x 1+x2=4，x1x22x12x25=x1x22（x 1+x2）5=a2 （4）5=0，即 a+3=0，解得，a= 3；故选 B点评： 本题考查了根与系数的关系将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法20 （2011锦江区模拟）若方程 x23x2=0 的两实根为 x1、x 2，则（x 1+2） （x 2+2）的值为（ ）A 4B 6 C 8 D12考点： 根
31、与系数的关系菁优网版权所有分析： 根据（x 1+2） （x 2+2）=x 1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x 1+x2）+4，根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的和与积，代入数值计算即可解答： 解： x1、x 2 是方程 x23x2=0 的两个实数根x1+x2=3，x 1x2=2又 （x 1+2） （x 2+2）=x 1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x 1+x2）+4将 x1+x2=3、x 1x2=2 代入，得（x 1+2） （x 2+2）=x 1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x 1+x2）+4=（2）+23+4=8故选 C点评： 将根与系数的关系与代数式变形
32、相结合解题是一种经常使用的解题方法21 （2011鄂州模拟）已知 p2p1=0，1qq 2=0，且 pq1，则 的值为（ ）A1 B 2 C D考点： 根与系数的关系菁优网版权所有专题： 计算题分析：首先把 1qq2=0 变形为 ，然后结合 p2p1=0，根据一元二次方程根与系数的关系可以得到 p 与 是方程 x2x1=0 的两个不相等的实数根，那么利用根与系数的关系即可求出所求代数式的值解答： 解：由 p2p1=0 和 1qq2=0，可知 p0，q0，又 pq1， ，由方程 1qq2=0 的两边都除以 q2 得： ，p 与 是方程 x2x1=0 的两个不相等的实数根，则由韦达定理，得p+ =
33、1， =p+ =1故选 A点评：本题考查了根与系数的关系首先把 1qq2=0 变形为 是解题的关键，然后利用根与系数的关系就可以求出所求代数式的值22 （2010滨湖区一模）若 ABC 的一边 a 为 4，另两边 b、c 分别满足 b25b+6=0，c 25c+6=0，则ABC 的周长为（ ）A9 B 10 C 9 或 10 D8 或 9 或 10考点： 根与系数的关系；三角形三边关系菁优网版权所有专题： 压轴题分析： 由于两边 b、c 分别满足 b25b+6=0，c 25c+6=0，那么 b、c 可以看作方程 x25x+6=0 的两根，根据根与系数的关系可以得到 b+c=5，bc=6，而AB
34、C 的一边 a 为 4，由此即可求出 ABC 的一边 a 为 4 周长解答： 解： 两边 b、c 分别满足 b25b+6=0，c 25c+6=0，b、 c 可以看作方程 x25x+6=0 的两根，b+c=5，bc=6 ，而ABC 的一边 a 为 4，若 b=c，则 b=c=3 或 b=c=2，但 2+2=4，所以三角形不成立，故 b=c=3ABC 的周长为 4+3+3=10 或 4+2+2若 bc，ABC 的周长为 4+5=9故选 C点评： 此题把一元二次方程的根与系数的关系与三角形的周长结合起来，利用根与系数的关系来三角形的周长此题要注意分类讨论二填空题（共 4 小题）23 （2014莱芜）
35、若关于 x 的方程 x2+（k2）x+k 2=0 的两根互为倒数，则 k= 1 考点： 根与系数的关系菁优网版权所有专题： 判别式法分析： 根据已知和根与系数的关系 x1x2= 得出 k2=1，求出 k 的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的 k 的值解答： 解： x1x2=k2，两根互为倒数，k2=1，解得 k=1 或 1；方程有两个实数根，0，当 k=1 时，0，舍去，故 k 的值为1故答案为：1点评： 本题考查了根与系数的关系，根据 x1，x 2 是关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0，a，b，c 为常数）的两个实数根，则 x1+x2= ，x 1x2= 进行求解2
36、4 （2014呼和浩特）已知 m，n 是方程 x2+2x5=0 的两个实数根，则 m2mn+3m+n= 8 考点： 根与系数的关系；一元二次方程的解菁优网版权所有专题： 常规题型分析： 根据 m+n= =2，mn= 5，直接求出 m、n 即可解题解答： 解： m、n 是方程 x2+2x5=0 的两个实数根，mn=5，m+n=2，m2+2m5=0m2=52mm2mn+3m+n=（5 2m）（ 5）+3m+n=10+m+n=102=8故答案为：8点评： 此题主要考查了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出 m 和 n 的值是解决问题的关键25 （2014广州）若关于 x 的方程 x2+2mx+m
37、2+3m2=0 有两个实数根 x1、x 2，则 x1（x 2+x1）+x 22 的最小值为 考点： 根与系数的关系；二次函数的最值菁优网版权所有专题： 判别式法分析： 由题意可得=b 24ac0，然后根据不等式的最小值计算即可得到结论解答： 解：由题意知，方程 x2+2mx+m2+3m2=0 有两个实数根，则=b 24ac=4m24（m 2+3m2）=812m 0，m ，x1（ x2+x1）+x 22=（x 2+x1） 2x1x2=（2m） 2（m 2+3m2）=3m23m+2=3（m 2m+ ）+2=3（m ） 2 + ；当 m= 时，有最小值 ； ，m= 成立；最小值为 ；故答案为： 点评
38、： 本题考查了一元二次方程根与系数关系，考查了一元二次不等式的最值问题总结一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根26 （2014桂林）已知关于 x 的一元二次方程 x2+（2k+1）x+k 22=0 的两根为 x1 和 x2，且（x 12） （x 1x2）=0，则k 的值是 2 或 考点： 根与系数的关系；根的判别式菁优网版权所有分析： 先由（x12） （x 1x2）=0，得出 x12=0 或 x1x2=0，再分两种情况进行讨论： 如果 x12=0，将 x=2 代入x2+（2k+1）x+k 22=0，得 4
39、+2（2k+1）+k 22=0，解方程求出 k=2；如果 x1x2=0，那么将x1+x2=（2k+1） ，x 1x2=k22 代入可求出 k 的值，再根据判别式进行检验解答： 解： （ x12） （x 1x2）=0，x12=0 或 x1x2=0如果 x12=0，那么 x1=2，将 x=2 代入 x2+（2k+1 ）x+k 22=0，得 4+2（2k+1）+k 22=0，整理，得 k2+4k+4=0，解得 k=2；如果 x1x2=0，那么（x 1x2） 2=（x 1+x2） 24x1x2=（2k+1 ） 24（k 22）=4k+9=0，解得 k= 又= （2k+1 ） 24（k 22）0解得：k
40、 所以 k 的值为2 或 故答案为：2 或 点评： 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意在利用根与系数的关系时，需用判别式进行检验三解答题（共 4 小题）27 （2014泸州）已知 x1，x 2 是关于 x 的一元二次方程 x22（m+1 ）x+m 2+5=0 的两实数根（1）若（x 11） （x 21）=28 ，求 m 的值；（2）已知等腰ABC 的一边长为 7，若 x1，x 2 恰好是 ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长考点： 根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质菁优网版权所有专题： 代数几何综合题分析： （1）利用（x11） （x 21）=x 1x
41、2（x 1+x2）+1=m 2+52（m+1 ）+1=28，求得 m 的值即可；（2）分 7 为底边和 7 为腰两种情况分类讨论即可确定等腰三角形的周长解答： 解：（1）x1，x 2 是关于 x 的一元二次方程 x22（m+1） x+m2+5=0 的两实数根，x1+x2=2（m+1 ） ，x 1x2=m2+5，（ x11） （x 21）=x 1x2（x 1+x2）+1=m 2+52（m+1 ）+1=28 ，解得：m=4 或 m=6；当 m=4 时原方程无解，m=6；（2）当 7 为底边时，此时方程 x22（m+1）x+m 2+5=0 有两个相等的实数根，=4（m+1 ） 24（m 2+5）=0
42、，解得：m=2，方程变为 x26x+9=0，解得：x 1=x2=3，3+37，不能构成三角形；当 7 为腰时，设 x1=7，代入方程得：4914（m+1 ）+m 2+5=0，解得：m=10 或 4，当 m=10 时方程变为 x222x+105=0，解得：x=7 或 157+715，不能组成三角形；当 m=4 时方程变为 x210x+21=0，解得：x=3 或 7，此时三角形的周长为 7+7+3=17点评： 本题考查了根与系数的关系及三角形的三边关系，解题的关键是熟知两根之和和两根之积分别与系数的关系28 （2014日照二模）已知 x1，x 2 是关于 x 的一元二次方程 x2+（3a1）x+2
43、a 21=0 的两个实数根，其满足（3x 1x2） （x 13x2）=80求实数 a 的所有可能值考点： 根与系数的关系；根的判别式菁优网版权所有专题： 计算题分析： 根据的意义由一元二次方程 x2+（3a 1）x+2a 21=0 的两个实数根得到0，即（3a1） 24（2a 21）=a26a+50，根据根与系数的关系得到 x1+x2=（3a1） ，x 1x2=2a21，由（3x 1x2） （x 13x2）=80 变形得到3（x 1+x2） 216x1x2=80，于是有 3（3a 1） 216（2a 21）=80，解方程得到 a=3 或 a= ，然后代入 验算即可得到实数 a 的值解答： 解：
44、 x1，x 2 是关于 x 的一元二次方程 x2+（3a1）x+2a 21=0 的两个实数根，0，即（3a 1） 24（2a 21）=a 26a+50所以 a5 或 a1（3 分）x1+x2=（3a1 ） ，x 1x2=2a21，（ 3x1x2） （x 13x2）= 80，即 3（x 12+x22） 10x1x2=80，3（ x1+x2） 216x1x2=80，3（ 3a1） 216（2a 21）= 80，整理得，5a 2+18a99=0，（ 5a+33） （a3）=0 ，解得 a=3 或 a= ，当 a=3 时，=9 63+5=40 ，故舍去，当 a= 时，= （ ） 26（ ）+6=（ ）
45、 2+6 +60，实数 a 的值为点评： 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根与系数的关系：如果方程的两根为 x1，x 2，则x1+x2= ，x 1x2= 也考查了一元二次方程根的判别式以及代数式的变形能力29 （2013孝感）已知关于 x 的一元二次方程 x2（2k+1）x+k 2+2k=0 有两个实数根 x1，x 2（1）求实数 k 的取值范围；（2）是否存在实数 k 使得 x1x2x12x220 成立？若存在，请求出 k 的值；若不存在，请说明理由考点： 根与系数的关系；根的判别式菁优网版权所有专题： 压轴题分析： （1）根据已知一元二次方程的根的情况，得到根的判别式0，据此列出关于 k 的不等式（2k+1）24（ k2+2k）0，通过解该不等式即可求得 k 的取值范围；（2）假设存在实数 k 使得 0 成立利用根与系数的关系可以求得，然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式 0，通
