1、3.5 绝对值不等式（二）学习目标：1会利用绝对值的几何意义来证明不等式 2掌握|ax b| c，|ax b| c，|x a|x b| c 和|x a|x b| c 的求解及证明基础知识：1(1)解绝对值不等式的主要依据解含绝对值的不等式的主要依据为_、_及不等式的性质(2)绝对值不等式的解法(同解性)|x|aError!|x |aError!【做一做 1】解下列绝对值不等式：(1)|x|3； (2)|x |42|ax b| c(c0)，|ax b| c(c0)型不等式的解法(1)|ax b| c(c0)型不等式的解法：先化为_，再利用不等式的性质求出原不等式的解集，也可以利用绝对值的几何意义
2、求解(2)|ax b| c(c0)的解法：先化为_，再进一步利用不等式的性质求出原不等式的解集，也可以利用绝对值的几何意义求解【做一做 21】不等式|x4|9 的解集是_3|xa|x b| c 和|x a|x b| c 型不等式的解法解法一：可以利用绝对值的_(简称几何法)解法二：利用分类讨论的思想，以绝对值的“_”为分界点，将数轴分成几个区间，然后确定各个绝对值中的多项式的_，进而去掉_(简称零点区间法)解法三：可以通过_，利用_，得到不等式的解集(简称图像法)由上可以看出：解含有绝对值的不等式，关键在于利用绝对值的意义设法去掉_，把它转化为一个或几个普通_或_(即不含绝对值符号)答案：1(
3、1)绝对值的定义 几何意义 (2)axa 无解 xa 或 xa x0 x R【做一做 1】解：(1)30，3x3(2)40，x4 或 x42(1) cax b c (2)ax b c ax b c【做一做 21】x|x 13 或 x5 由原不等式，得 x49 或 x49，解得 x5 或 x133几何意义 零点 符号 绝对值符号 构造函数 函数图像 绝对值符号 不等式 不等式组典型例题题型一|ax b| c(c0)和|ax b| c(c0)型不等式的解法【例 1】解不等式 2|2x5|7解：解法一：原不等式等价于Error!Error!解得Error!原不等式的解集为 x| 1 x0题型二 |x
4、a|x b| c 型不等式的解法【例 2】解不等式|x1|x2|5解：解法一：(几何法)如图，设数轴上与2,1 对应的点分别是 A， B，那么 A， B 两点的距离是 3，因此区间2,1上的数都不是原不等式的解为了求出不等式的解，关键要在数轴上找出与点 A， B 的距离之和为 5 的点将点 A 向左移动 1 个单位到点 A1，这时有|A 1A|A 1B|5；同理，将点 B 向右移动 1 个单位到点 B1，这时也有| B1A| B1B|5从数轴上可以看到，点 A1与 B1之间的任何点到点 A， B 的距离之和都小于 5；点 A1的左边或点 B1的右边的任何点到点 A， B 的距离之和都大于 5所
5、以，原不等式的解集是(，32，)解法二：(零点分区间法)(1)当 x2 时，原不等式可以化为(x1)(x 2)5 ，解得 x3，即不等式组Error!的解集是(，3(2)当2x1 时，原不等式可以化为(x1)(x 2)5 ，即 35，矛盾所以不等式组Error!的解集为 (3)当 x1 时，原不等式可以化为(x1)(x 2)5，解得 x2，即不等式组Error!的解集是2，)综上所述，原不等式的解集是(，32，)解法三：(图像法)将原不等式转化为|x1|x2|50构造函数 y|x 1|x 2| 5，即 yError!作出函数的图像(如图)，它是分段线性函数，函数的零点是3,2从图像可知，当x(
6、，32，)时，有 y0，即|x 1|x 2|50所以原不等式的解集是(，32，)【做一做 3】解不等式|2x5|x1|2解：令 2x50，得 x 令 x10，得 x152(1)当 x1 时，原不等式等价于(2x5)(x 1)2 ，即x62，即 x4，无解(2)当1x 时，原不等式等价于(2x5)(x 1) 2，即3x42，52即 x x 23 23 52(3)当 x 时，原不等式等价于(2x5)(x 1)2，即 x62，即 x8 x852 52综上，得原不等式的解集为 x|233 的解集是( )A x|x2 Bx| 43，则 x13 或 x12.答案：A2不等式 0 的解集为 ( )|2x 1
7、| 2|x 3|A.Error!B.Error!C.Error!D.Error!解析：原不等式Error!Error!Error!答案：C3不等式|x1| x2|m.(1)若不等式有解；(2) 若不等式解集为 R；(3)若不等式解集为，分别求出 m 的范围解 法一：因|x 2|x 3|的几何意义为数轴上任意一点 P(x)与两定点 A(2)，B( 3)距离的差即|x 2|x3| PA|PB|.由图像知(|PA|PB|) max1，(|PA|PB|) min1.即1|x2| | x3|1.(1)若不等式有解，m 只要比|x2|x 3|的最大值小即可，即 m1，m 的范围为(，1) (2)若不等式的
8、解集为 R，即不等式恒成立， m 只要比|x 2|x3|的最小值还小，即m1，m 的范围为(， 1)(3)若不等式的解集为，m 只要不小于 |x2|x 3|的最大值即可，即 m1，m 的范围为1， )法二：由|x2| x3|( x2)( x3)|1，| x3| x2|(x3)(x2)|1，可得1|x2| x3|1.(1)若不等式有解，则 m(，1) (2)若不等式解集为 R，则 m( ，1)(3)若不等式解集为，则 m 1，) 10已知 f(x)|ax 2| ax a|(a0)(1)当 a1 时，求 f(x)x 的解集；(2)若不存在实数 x，使 f(x)3 成立，求 a 的取值范围解：(1)当 a1 时，f(x)| x2| x1| x，当 x2 时，原不等式可转化为 x2x 1x，解得 x3；当 1x2 时，原不等式可转化为 2xx 1x，解得 x1， x；当 x1 时，原不等式可转化为 2x1x x，解得 x1.综上可得，解集为x| x1 或 x3 (2)依题意，对xR，都有 f(x)3，则 f(x)|ax2| axa| |(ax2)( axa)| a2|3，a 23 或 a23，a 5 或 a1(舍) ，a 的取值范围是5，)
