1、第 1 页（共 54 页）庞圣洁（二次函数难题）一选择题（共 22 小题）1 （2015陕西模拟）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）经过点 M（1，2）和点N（1，2） ，交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于 C则：b=2；该二次函数图象与 y 轴交于负半轴；存在这样一个 a，使得 M、 A、C 三点在同一条直线上；若 a=1，则 OAOB=OC2以上说法正确的有（ ）A B C D2 （2013泰安模拟）如图，抛物线 y=x2 x 与直线 y=x2 交于 A、B 两点（点 A 在点 B的左侧） ，动点 P 从 A 点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点 E，再到达 x 轴上的某点F
2、，最后运动到点 B若使点 P 运动的总路径最短，则点 P 运动的总路径的长为（ ）A B C D3 （2015潍坊模拟）若函数 y= 的自变量 x 的取值范围是全体实数，则 c 的取值范围是（ ）Ac1 Bc=1 Cc 1 Dc14 （2015天桥区一模）如图，直线 y=kx+b（k 0）与抛物线 y=ax2（a0）交于 A，B 两点，且点 A 的横坐标是2，点 B 的横坐标是 3，则以下结论：抛物线 y=ax2（a0）的图象的顶点一定是原点；x0 时，直线 y=kx+b（k0）与抛物线 y=ax2（a0）的函数值都随着 x 的增大而增大；第 2 页（共 54 页）AB 的长度可以等于 5；O
3、AB 有可能成为等边三角形；当 3x2 时，ax 2+kxb，其中正确的结论是（ ）A B C D5 （2013遵义）二次函数 y=ax2+bx+c（a 0）的图象如图所示，若M=a+bc，N=4a 2b+c，P=2ab则 M，N ，P 中，值小于 0 的数有（ ）A3 个 B2 个 C1 个 D0 个6 （2015杭州模拟）关于 x 的方程 2x2+ax+b=0 有两个不相等的实数根，且较小的根为2，则下列结论：2a+b0；ab0；关于 x 的方程 2x2+ax+b+2=0 有两个不相等的实数根； 抛物线 y=2x2+ax+b2 的顶点在第四象限其中正确的结论有（ ）A1 个 B2 个 C3
4、 个 D4 个7 （2015无锡校级三模）已知抛物线 y=x2+1 的顶点为 P，点 A 是第一象限内该二次函数图象上一点，过点 A 作 x 轴的平行线交二次函数图象于点 B，分别过点 B、A 作 x 轴的垂线，垂足分别为 C、D，连结 PA、PD，PD 交 AB 于点 E， PAD 与 PEA 相似吗？（ ）A始终不相似 B始终相似C只有 AB=AD 时相似 D无法确定第 3 页（共 54 页）8 （2015杭州模拟）下列关于函数 y=（m 21）x 2（3m1 ）x+2 的图象与坐标轴的公共点情况：当 m3 时，有三个公共点； m=3 时，只有两个公共点；若只有两个公共点，则m=3；若有三
5、个公共点，则 m3其中描述正确的有（ ）个A一个 B两个 C三个 D四个9 （2011黄石）设一元二次方程（x 1） （x2）=m（m0）的两实根分别为 ，且，则 ， 满足（ ）A12 B12 C12 D 1 且 210 （2013盐城模拟）如图，分别过点 Pi（i ，0） （i=1、2、n）作 x 轴的垂线，交的图象于点 Ai，交直线 于点 Bi则 的值为（ ）A B2 C D11 （2008西湖区校级模拟）已知二次函数 y=ax22ax+1（a0）图象上三点 A（1，y 1） ，B（2，y 2）C （4，y 3） ，则 y1、y 2、y 3 的大小关系为（ ）Ay 1y 2y 3 By 2
6、y 1y 3 Cy 1y 3y 2 Dy 3y 1y 212 （2008乐山）已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，令M=|4a2b+c|+|a+b+c|2a+b|+|2ab|，则（ ）第 4 页（共 54 页）AM0 BM0CM=0 DM 的符号不能确定13 （2007包头）已知二次函数 y=ax2+2x+c（a 0）有最大值，且 ac=4，则二次函数的顶点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限14 （2012蚌埠自主招生）二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，Q（n，2）是图象上的一点，且 AQBQ，则 a 的值为（ ）A B C 1 D215 （2
7、010秀洲区一模）已知点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）均在抛物线y=ax2+2ax+4（0a3）上，若 x1x 2，x 1+x2=1a，则（ ）Ay 1y 2 By 1y 2Cy 1=y2Dy 1 与 y2 大小不能确定16 （2013天河区一模）如图，二次函数 y1=ax2+bx+c 与一次函数 y2=kx+b 的交点 A，B的坐标分别为（1，3） ， （6， 1） ，当 y1y 2 时，x 的取值范围是（ ）第 5 页（共 54 页）A1x6 Bx1 或 x 6 C 3x1 Dx3 或 x117已知关于 x 的二次函数 y=ax2+2ax+7a3 在 2x5 上的函数值始终
8、是正的，则 a 的取值范围（ ）Aa Ba 0 或 a C D18 （2012荣县校级二模）已知直线经过点 A（0，2） ，B（2，0） ，点 C 在抛物线 y=x2 的图象上，则使得 SABC=2 的点有（ ）个A4 B3 C2 D119 （2012下城区校级模拟）关于二次函数 y=2x2mx+m2，以下结论：抛物线交 x 轴有交点；不论 m 取何值，抛物线总经过点（1，0） ；若 m6，抛物线交 x 轴于 A、B 两点，则 AB1；抛物线的顶点在 y=2（x1） 2 图象上其中正确的序号是（ ）A B C D20 （2002湖州）已知抛物线 y=x2+bx+c（c0）经过点（c，0） ，以
9、该抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 S，则 S 可表示为（ ）A |2+b|b+1| B c（1c） C （b+1） 2 D21 （2005茂名）下列四个函数：y=kx（k 为常数， k0）y=kx+b（k， b 为常数，k0）y= （k 为常数， k0，x0）y=ax2（a 为常数，a0）其中，函数 y 的值随着 x 值得增大而减少的是（ ）A B C D第 6 页（共 54 页）22 （2013碑林区校级一模）已知函数 y=（x m） （x n）+3，并且 a，b 是方程（x m）（xn） =3 的两个根，则实数 m，n，a，b 的大小关系可能是（ ）Amabn Bmanb C
10、a m bn Damnb二解答题（共 8 小题）23 （2014本溪）如图，直线 y=x4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，抛物线y= x2+bx+c 经过 A、B 两点，与 x 轴的另一个交点为 C，连接 BC（1）求抛物线的解析式及点 C 的坐标；（2）点 M 在抛物线上，连接 MB，当 MBA+CBO=45时，求点 M 的坐标；（3）点 P 从点 C 出发，沿线段 CA 由 C 向 A 运动，同时点 Q 从点 B 出发，沿线段 BC 由B 向 C 运动，P、Q 的运动速度都是每秒 1 个单位长度，当 Q 点到达 C 点时，P、Q 同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点 D，使
11、 P、Q 运动过程中的某一时刻，以C、D、P、Q 为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点 D 的坐标；若不存在，说明理由24 （2014黔南州）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1）的抛物线交 y 轴于 A 点，交 x 轴于 B，C 两点（点 B 在点 C 的左侧） ，已知 A 点坐标为（0，3） （1）求此抛物线的解析式；（2）过点 B 作线段 AB 的垂线交抛物线于点 D，如果以点 C 为圆心的圆与直线 BD 相切，请判断抛物线的对称轴 l 与C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点 P 是抛物线上的一个动点，且位于 A，C 两点之间，问：当点 P 运动到什么位置时，PAC 的
12、面积最大？并求出此时 P 点的坐标和PAC 的最大面积第 7 页（共 54 页）25 （2014遵义）如图，二次函数 y= x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A（3，0） ，B（1，0） ，与 y 轴交于点 C若点 P，Q 同时从 A 点出发，都以每秒 1 个单位长度的速度分别沿AB，AC 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动（1）求该二次函数的解析式及点 C 的坐标；（2）当点 P 运动到 B 点时，点 Q 停止运动，这时，在 x 轴上是否存在点 E，使得以A，E，Q 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出 E 点坐标；若不存在，请说明理由（3）当 P，Q 运动到 t 秒
13、时，APQ 沿 PQ 翻折，点 A 恰好落在抛物线上 D 点处，请判定此时四边形 APDQ 的形状，并求出 D 点坐标26 （2014兰州）如图，抛物线 y= x2+mx+n 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的对称轴交 x 轴于点 D，已知 A（1，0） ，C （0，2） （1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出 P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点 E 是线段 BC 上的一个动点，过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点 F，当点 E 运动到什么位置时，四边形 CDBF 的
14、面积最大？求出四边形 CDBF 的最大面积及此时 E 点的坐标第 8 页（共 54 页）27 （2014义乌市）如图，直角梯形 ABCO 的两边 OA， OC 在坐标轴的正半轴上，BCx轴，OA=OC=4，以直线 x=1 为对称轴的抛物线过 A，B ，C 三点（1）求该抛物线的函数解析式；（2）已知直线 l 的解析式为 y=x+m，它与 x 轴交于点 G，在梯形 ABCO 的一边上取点 P当 m=0 时，如图 1，点 P 是抛物线对称轴与 BC 的交点，过点 P 作 PH直线 l 于点 H，连结 OP，试求OPH 的面积；当 m=3 时，过点 P 分别作 x 轴、直线 l 的垂线，垂足为点 E
15、，F是否存在这样的点P，使以 P，E，F 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由28 （2015黄冈模拟）已知：如图，抛物线 y=ax2+bx+2 与 x 轴的交点是 A（3，0） 、B（6，0） ，与 y 轴的交点是 C（1）求抛物线的函数表达式；（2）设 P（x，y） （0x6）是抛物线上的动点，过点 P 作 PQy 轴交直线 BC 于点 Q当 x 取何值时，线段 PQ 的长度取得最大值，其最大值是多少？是否存在这样的点 P，使 OAQ 为直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由第 9 页（共 54 页）29 （2014武汉）如图，
16、已知直线 AB：y=kx+2k+4 与抛物线 y= x2 交于 A，B 两点（1）直线 AB 总经过一个定点 C，请直接出点 C 坐标；（2）当 k= 时，在直线 AB 下方的抛物线上求点 P，使ABP 的面积等于 5；（3）若在抛物线上存在定点 D 使 ADB=90，求点 D 到直线 AB 的最大距离30 （2014六盘水）如图，二次函数 y= x2+bx+c 的图象交 x 轴于 A、D 两点，并经过 B点，已知 A 点坐标是（2，0 ） ，B 点的坐标是（8，6） （1）求二次函数的解析式（2）求函数图象的顶点坐标及 D 点的坐标（3）该二次函数的对称轴交 x 轴于 C 点连接 BC，并延
17、长 BC 交抛物线于 E 点，连接BD，DE，求BDE 的面积（4）抛物线上有一个动点 P，与 A，D 两点构成ADP ，是否存在 SADP= SBCD？若存在，请求出 P 点的坐标；若不存在请说明理由第 10 页（共 54 页）庞圣洁（二次函数难题）参考答案与试题解析一选择题（共 22 小题）1 （2015陕西模拟）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）经过点 M（1，2）和点N（1，2） ，交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于 C则：b=2；该二次函数图象与 y 轴交于负半轴；存在这样一个 a，使得 M、 A、C 三点在同一条直线上；若 a=1，则 OAOB=OC2以上说法正确的有
18、（ ）A B C D【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题；数形结合【分析】二次函数 y=ax2+bx+c（a 0）经过点 M（1，2）和点 N（1，2） ，因而将M、N 两点坐标代入即可消去 a、c 解得 b 值根据图象的特点及与直线 MN 比较，可知当1x1 时，二次函数图象在直线 MN 的下方同理当 y=0 时利用根与系数的关系，可得到 OAOB 的值，当 x=0 时，可得到 OC 的值通过 c 建立等量关系求证【解答】解：二次函数 y=ax2+bx+c（a0）经过点 M（ 1，2）和点 N（1， 2） ， ，解得 b=2故该选项正确方法一：二次函数 y=ax2+bx+c，a
19、0该二次函数图象开口向上点 M（1，2）和点 N（1， 2） ，直线 MN 的解析式为 y2= ，第 11 页（共 54 页）即 y=2x，根据抛物线的图象的特点必然是当1x1 时，二次函数图象在 y=2x 的下方，该二次函数图象与 y 轴交于负半轴；方法二：由可得 b=2，a+c=0，即 c=a0，所以二次函数图象与 y 轴交于负半轴故该选项正确根据抛物线图象的特点，M、A 、C 三点不可能在同一条直线上故该选项错误当 a=1 时，c=1， 该抛物线的解析式为 y=x22x1当 y=0 时，0=x 22x+c，利用根与系数的关系可得 x1x2=c，即 OAOB=|c|，当 x=0 时，y=c
20、，即 OC=|c|=1=OC2，若 a=1，则 OAOB=OC2，故该选项正确总上所述正确故选 C【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的图象性质及特点、一元二次方程根与系数的关系、直线解析式的确定2 （2013泰安模拟）如图，抛物线 y=x2 x 与直线 y=x2 交于 A、B 两点（点 A 在点 B的左侧） ，动点 P 从 A 点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点 E，再到达 x 轴上的某点F，最后运动到点 B若使点 P 运动的总路径最短，则点 P 运动的总路径的长为（ ）A B C D【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题第 12 页（共 54 页）【分
21、析】首先根据题意求得点 A 与 B 的坐标，求得抛物线的对称轴，然后作点 A 关于抛物线的对称轴 x= 的对称点 A，作点 B 关于 x 轴的对称点 B，连接 AB，则直线 AB与直线 x= 的交点是 E，与 x 轴的交点是 F，而且易得 AB即是所求的长度【解答】解：如图抛物线 y=x2 x 与直线 y=x2 交于 A、B 两点，x2 x =x2，解得：x=1 或 x= ，当 x=1 时，y=x2= 1，当 x= 时，y=x2= ，点 A 的坐标为（ ， ） ，点 B 的坐标为（1，1） ，抛物线对称轴方程为：x= =作点 A 关于抛物线的对称轴 x= 的对称点 A，作点 B 关于 x 轴的
22、对称点 B，连接 AB，则直线 AB与对称轴（直线 x= ）的交点是 E，与 x 轴的交点是 F，BF=BF，AE=AE，点 P 运动的最短总路径是 AE+EF+FB=AE+EF+FB=AB，延长 BB，AA 相交于 C，AC= + +（1 ）=1，BC=1+ = ，AB= = 点 P 运动的总路径的长为 故选 A第 13 页（共 54 页）【点评】此题考查了二次函数与一次函数的综合应用注意找到点 P 运动的最短路径是解此题的关键，还要注意数形结合与方程思想的应用3 （2015潍坊模拟）若函数 y= 的自变量 x 的取值范围是全体实数，则 c 的取值范围是（ ）Ac1 Bc=1 Cc 1 Dc
23、1【考点】二次函数的性质；分式有意义的条件；函数自变量的取值范围菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】先根据分式的意义，分母不等于 0，得出 x22x+c0，再根据二次函数y=ax2+bx+c（a 0）的图象性质，可知当二次项系数 a0，0 时，有 y0，此时自变量x 的取值范围是全体实数【解答】解：由题意，得=（ 2） 24c0，解得 c1故选 C【点评】本题考查了函数自变量取值范围的求法要使得本题函数式子有意义，必须满足分母不等于 0难点在于分母是关于自变量 x 的二次函数，要使自变量 x 的取值范围是全体实数，必须满足04 （2015天桥区一模）如图，直线 y=kx+b（k 0）与
24、抛物线 y=ax2（a0）交于 A，B 两点，且点 A 的横坐标是2，点 B 的横坐标是 3，则以下结论：抛物线 y=ax2（a0）的图象的顶点一定是原点；x0 时，直线 y=kx+b（k0）与抛物线 y=ax2（a0）的函数值都随着 x 的增大而增大；AB 的长度可以等于 5；OAB 有可能成为等边三角形；当 3x2 时，ax 2+kxb，其中正确的结论是（ ）A B C D【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】综合题；压轴题【分析】由顶点坐标公式判断即可；根据图象得到一次函数 y=kx+b 为增函数，抛物线当 x 大于 0 时为增函数，本选项正确；第 14 页（共 54 页）AB 长
25、不可能为 5，由 A、B 的横坐标求出 AB 为 5 时，直线 AB 与 x 轴平行，即 k=0，与已知矛盾；三角形 OAB 不可能为等边三角形，因为 OA 与 OB 不可能相等；直线 y=kx+b 与 y=kx+b 关于 y 轴对称，作出对称后的图象，故 y=kx+b 与抛物线交点横坐标分别为3 与 2，找出一次函数图象在抛物线上方时 x 的范围判断即可【解答】解：抛物线 y=ax2，利用顶点坐标公式得：顶点坐标为（ 0，0） ，本选项正确；根据图象得：直线 y=kx+b（k0）为增函数；抛物线 y=ax2（a0）当 x0 时为增函数，则 x0 时，直线与抛物线函数值都随着 x 的增大而增大
26、，本选项正确；由 A、B 横坐标分别为 2，3，若 AB=5，可得出直线 AB 与 x 轴平行，即 k=0，与已知 k0 矛盾，故 AB 不可能为 5，本选项错误；若 OA=OB，得到直线 AB 与 x 轴平行，即 k=0，与已知 k0 矛盾，OAOB，即AOB 不可能为等边三角形，本选项错误；直线 y=kx+b 与 y=kx+b 关于 y 轴对称，如图所示：可得出直线 y=kx+b 与抛物线交点 C、D 横坐标分别为3，2，由图象可得：当3x2 时， ax2kx+b，即 ax2+kxb，则正确的结论有故选 B【点评】此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：抛物线顶点坐标公式，一次函数与二次函
27、数的增减性，关于 y 轴对称点的性质，利用了数形结合的思想，熟练对称性质及数形结合思想是判断命题的关键5 （2013遵义）二次函数 y=ax2+bx+c（a 0）的图象如图所示，若M=a+bc，N=4a 2b+c，P=2ab则 M，N ，P 中，值小于 0 的数有（ ）A3 个 B2 个 C1 个 D0 个【考点】二次函数图象与系数的关系菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题第 15 页（共 54 页）【分析】根据图象得到 x=2 时对应的函数值小于 0，得到 N=4a2b+c 的值小于 0，根据对称轴在直线 x=1 右边，利用对称轴公式列出不等式，根据开口向下得到 a 小于 0，变形即可对于
28、P 作出判断，根据 a，b，c 的符号判断得出 a+bc 的符号【解答】解：图象开口向下，a0，对称轴在 y 轴左侧，a，b 同号，a0，b0，图象经过 y 轴正半轴，c0，M=a+bc0当 x=2 时，y=4a2b+c0，N=4a2b+c0， 1， 1 ，a0，b 2a，2ab0，P=2ab0，则 M，N，P 中，值小于 0 的数有 M，N ，P 故选：A【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，根据图象判断出对称轴以及a，b，c 的符号是解题关键6 （2015杭州模拟）关于 x 的方程 2x2+ax+b=0 有两个不相等的实数根，且较小的根为2，则下列结论：2a+b0；ab0；关于
29、x 的方程 2x2+ax+b+2=0 有两个不相等的实数根； 抛物线 y=2x2+ax+b2 的顶点在第四象限其中正确的结论有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【考点】二次函数图象与系数的关系菁优网版权所有【专题】压轴题第 16 页（共 54 页）【分析】把方程的根 x=2 代入计算即可求出 2a+b=8，判定 正确；利用根与系数的关系求出 a8，b8，从而判定正确；根据二次函数 y=2x2+ax+b 与 x 轴有两个交点，且顶点坐标在第四象限，向上平移 2 个单位，与 x 轴不一定有交点，判定错误，向下平移 2个单位，顶点一定在第四象限，判定正确【解答】解：x=2 是方程 2x2+
30、ax+b=0 的根，24+2a+b=0，2a+b=80，故正确；x=2 是方程 2x2+ax+b=0 的两个根中较小的根， 2+2， 22，a8，b8，ab0，故正确；方程 2x2+ax+b=0 有两个不相等的实数根，且较小的根为 2，二次函数 y=2x2+ax+b 与 x 轴有两个交点，且对称轴在直线 x=2 的右边，二次函数 y=2x2+ax+b 顶点坐标在第四象限，向上平移 2 个单位得到二次函数 y=2x2+ax+b+2，与 x 轴不一定有交点，关于 x 的方程 2x2+ax+b+2=0 有两个不相等的实数根错误，故错误；向下平移 2 个单位得到二次函数 y=2x2+ax+b2，顶点坐
31、标一定在第四象限，故 正确；综上所述，正确的结论有共 3 个故选 C【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要利用了一元二次方程的根的定义，根与系数的关系，二次函数图象与几何变换，两题考虑用二次函数的平移求解是解题的关键7 （2015无锡校级三模）已知抛物线 y=x2+1 的顶点为 P，点 A 是第一象限内该二次函数图象上一点，过点 A 作 x 轴的平行线交二次函数图象于点 B，分别过点 B、A 作 x 轴的垂线，垂足分别为 C、D，连结 PA、PD，PD 交 AB 于点 E， PAD 与 PEA 相似吗？（ ）A始终不相似 B始终相似C只有 AB=AD 时相似 D无法确定【考点】二次函
32、数综合题菁优网版权所有第 17 页（共 54 页）【专题】压轴题【分析】先求出点 P 的坐标，从而得到 OP 的长，再设点 A 的横坐标为 m，表示出 AD，再表示出 OD、OF、PF、AF，然后根据PEF 和 PDO 相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出 EF，然后利用勾股定理表示出 PA2、PE 、PD，从而得到 = ，再根据两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似解答【解答】解：令 x=0，则 y=1，OP=1，设点 A 的横坐标为 m，则 AD=m2+1，ABy 轴，ADx 轴，AF=OD=m， OF=m2+1，PF=1 （m 2+1）=m 2，在 RtPAF 中，PA 2=PF2+
33、AF2=（m 2） 2+m2=m4+m2，在 RtPOD 中，PD= = = ，由 ABx 轴得，PEFPDO， = ，即 = ，解得，PE=m 2 ，PA2=PDPE=m4+m2， = ，APE=DPA，PADPEA，即，PAD 与 PEA 始终相似故选 B【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，表示出两个三角形的公共角的夹边成比例是解题的关键8 （2015杭州模拟）下列关于函数 y=（m 21）x 2（3m1 ）x+2 的图象与坐标轴的公共点情况：当 m3 时，有三个公共点； m=3 时，只有两个公共点；若只有两个公共点，
34、则m=3；若有三个公共点，则 m3其中描述正确的有（ ）个A一个 B两个 C三个 D四个第 18 页（共 54 页）【考点】抛物线与 x 轴的交点菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】令 y=0，可得出（m 21）x 2（3m 1）x+2=0，得出判别式的表达式，然后根据 m的取值进行判断，另外要注意 m 的取值决定函数是一次函数还是二次函数，不要忘了考虑一次函数的情况【解答】解：令 y=0，可得出（m 21）x 2（3m 1）x+2=0，=（3m1） 28（m 21）=（m3） 2，当 m3，m=1 时，函数是一次函数，与坐标轴有两个交点，故错误；当 m=3 时， =0，与 x 轴有一个公共点
35、，与 y 轴有一个公共点，总共两个，故正确；若只有两个公共点，m=3 或 m=1，故错误；若有三个公共点，则 m3 且 m1，故正确；综上可得只有正确，共 2 个故选 B【点评】此题考查了抛物线与 x 轴交点的知识，同学们容易忽略 m=1 时，函数是一次函数的情况，这是我们要注意的地方9 （2011黄石）设一元二次方程（x 1） （x2）=m（m0）的两实根分别为 ，且，则 ， 满足（ ）A12 B12 C12 D 1 且 2【考点】抛物线与 x 轴的交点；根与系数的关系菁优网版权所有【专题】压轴题；数形结合【分析】先令 m=0 求出函数 y=（x1） （x 2）的图象与 x 轴的交点，画出函
36、数图象，利用数形结合即可求出 ， 的取值范围【解答】解：令 m=0，则函数 y=（x 1） （x2）的图象与 x 轴的交点分别为（1，0） ， （2，0） ，故此函数的图象为：m0，原顶点沿抛物线对称轴向下移动，两个根沿对称轴向两边逐步增大， 1， 2故选 D第 19 页（共 54 页）【点评】本题考查的是抛物线与 x 轴的交点，能根据 x 轴上点的坐标特点求出函数y=（x1 ） （x2）与 x 轴的交点，画出函数图象，利用数形结合解答是解答此题的关键10 （2013盐城模拟）如图，分别过点 Pi（i ，0） （i=1、2、n）作 x 轴的垂线，交的图象于点 Ai，交直线 于点 Bi则 的值为
37、（ ）A B2 C D【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题；规律型【分析】根据 Ai 的纵坐标与 Bi 纵坐标的绝对值之和为 AiBi 的长，分别表示出所求式子的各项，拆项后抵消即可得到结果【解答】解：根据题意得：A iBi= x2（ x）= x（x+1） ， = =2（ ） ， + + =2（1 + + ）= 故选 A【点评】此题考查了二次函数综合题，属于规律型试题，找出题中的规律是解本题的关键第 20 页（共 54 页）11 （2008西湖区校级模拟）已知二次函数 y=ax22ax+1（a0）图象上三点 A（1，y 1） ，B（2，y 2）C （4，y 3） ，则 y1、y
38、2、y 3 的大小关系为（ ）Ay 1y 2y 3 By 2y 1y 3 Cy 1y 3y 2 Dy 3y 1y 2【考点】二次函数图象上点的坐标特征菁优网版权所有【专题】压轴题；推理填空题【分析】求出抛物线的对称轴，求出 A 关于对称轴的对称点的坐标，根据抛物线的开口方向和增减性，即可求出答案【解答】解：y=ax 22ax+1（a0） ，对称轴是直线 x= =1，即二次函数的开口向下，对称轴是直线 x=1，即在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而减小，A 点关于直线 x=1 的对称点是 D（3，y 1） ，2 3 4，y2 y1y 3，故选 D【点评】本题考查了学生对二次函数图象上点的坐标特征
39、的理解和运用，主要考查学生的观察能力和分析能力，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目12 （2008乐山）已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，令M=|4a2b+c|+|a+b+c|2a+b|+|2ab|，则（ ）AM0 BM0CM=0 DM 的符号不能确定【考点】二次函数图象与系数的关系菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】根据图象特征，首先判断出 M 中的各代数式的符号，然后去绝对值【解答】解：因为开口向下，故 a0；当 x=2 时，y0，则 4a2b+c0；当 x=1 时，y0，则 a+b+c0；第 21 页（共 54 页）因为对称轴为 x= 0，又 a0，则 b0，故
40、2a+b0；又因为对称轴 x= 1，则 b2a2ab0；M=4a2b+cabc+2a+b+b2a=3ab，因为 2ab0，a0，3ab0，即 M0，故选 B【点评】考查二次函数 y=ax2+bx+c 系数符号的确定13 （2007包头）已知二次函数 y=ax2+2x+c（a 0）有最大值，且 ac=4，则二次函数的顶点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【考点】二次函数的性质菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】已知二次函数 y=ax2+2x+c（a0）有最大值，即抛物线的开口向下，因而a0求抛物线的顶点坐标利用公式法：y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为（ ， ） ，对称轴是
41、 x= ；代入就可以求出顶点坐标，从而确定顶点所在象限【解答】解：顶点横坐标 x= = ，纵坐标 y= = ；二次函数有最大值，即抛物线的开口向下，a0， ， ，即：横坐标 x0，纵坐标 y0，顶点在第四象限故选 D【点评】考查求抛物线的顶点坐标、对称轴及最值的方法：14 （2012蚌埠自主招生）二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，Q（n，2）是图象上的一点，且 AQBQ，则 a 的值为（ ）第 22 页（共 54 页）A B C 1 D2【考点】抛物线与 x 轴的交点；勾股定理菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】由勾股定理，及根与系数的关系可得【解答】解：设 ax2+bx+c=0
42、 的两根分别为 x1 与 x2依题意有 AQ2+BQ2=AB2（x 1n） 2+4+（x 2n） 2+4=（x 1x2） 2，化简得：n 2n（ x1+x2）+4+x 1x2=0有 n2+ n+4+ =0，an2+bn+c=4a（ n， 2）是图象上的一点，an2+bn+c=2，4a=2，a= 故选 B【点评】此题考查了二次函数的性质和图象，解题的关键是注意数形结合思想15 （2010秀洲区一模）已知点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）均在抛物线y=ax2+2ax+4（0a3）上，若 x1x 2，x 1+x2=1a，则（ ）Ay 1y 2 By 1y 2Cy 1=y2Dy 1 与
43、y2 大小不能确定【考点】二次函数图象上点的坐标特征菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】将点 A（x 1，y 1） ， B（x 2，y 2）分别代入 y=ax2+2ax+4（0a3）中得y1=ax12+2ax1+4；y 2=ax22+2ax2+4；利用作差法求出 y2y10，即可得到 y1y 2【解答】解：将点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）分别代入 y=ax2+2ax+4（0a3）中，得：y1=ax12+2ax1+4，y2=ax22+2ax2+4，得：y2y1=（ x2x1）a（3 a），第 23 页（共 54 页）因为 x1x 2，3a 0，则 y2y10，即 y1y 2故选
44、 B【点评】本题难度较大，要充分利用数据特点，进行计算16 （2013天河区一模）如图，二次函数 y1=ax2+bx+c 与一次函数 y2=kx+b 的交点 A，B的坐标分别为（1，3） ， （6， 1） ，当 y1y 2 时，x 的取值范围是（ ）A1x6 Bx1 或 x 6 C 3x1 Dx3 或 x1【考点】二次函数的图象；一次函数的图象菁优网版权所有【专题】压轴题；数形结合【分析】根据函数图象，找出抛物线在直线上方的部分的自变量 x 的取值范围即可【解答】解：由图可知，当 x1 或 x6 时，抛物线在直线的上方，所以，当 y1y 2 时，x 的取值范围是 x1 或 x6故选 B【点评】
45、本题考查了二次函数的图象，利用数形结合的思想解答即可，比较简单17已知关于 x 的二次函数 y=ax2+2ax+7a3 在 2x5 上的函数值始终是正的，则 a 的取值范围（ ）Aa Ba 0 或 a C D【考点】二次函数的性质菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】按照 a0 和 a0 两种情况讨论：当 a0 时，图象开口向上，只要顶点纵坐标为正即可；当 a0 时，抛物线对称轴为 x=1，根据对称性，只要 x=5 时，y0 即可【解答】解：当 a0 时，图象开口向上，顶点纵坐标为 =6a3，当6a30，即 a 时，y0；第 24 页（共 54 页）当 a0 时，抛物线对称轴为 x=1，根据对称性，只要 x=5 时，y0 即可，此时y=25a+10a+7a30，解得 a ，不符合题意，舍去故选 A【点评】本题考查了二次函数开口方向，顶点坐标，对称轴在实际问题中的运用，还考查了分类讨论的数学思想18 （2012荣县校级二模）已知直线经过点 A（0，2） ，B（2，0） ，点 C 在抛物线 y=x2 的图象上，则使得 SABC=2 的点有（ ）个A4 B3 C2 D1【考点】二次函数的性质菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】
