1、第7节立体几何中的向量方法,知识链条完善,考点专项突破,解题规范夯实,知识链条完善 把散落的知识连起来,【教材导读】1.直线的方向向量、平面的法向量都是唯一确定的吗?提示:不是唯一确定,一条直线的方向向量有无数个,平面的法向量有无数个.2.若空间向量a平行于平面,则a所在直线与平面平行吗?提示:不一定,也可能在平面内,因为向量是自由向量,没有重合,只有平行.向量所在的直线可以在平面内,这样的向量也是和平面平行的.3.两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角吗?,知识梳理,1.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量.直线l上的向量e或与e共线的向量叫做直线l的方向向量,显然一条直线
2、的方向向量有 个.(2)平面的法向量.如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面,则称这个向量垂直于平面,记作n,此时向量n叫做平面的法向量.显然一个平面的法向量有 个,且它们是 向量.2.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1).平面,的法向量分别为=(a2,b2,c2),v=(a3,b3,c3).(1)线面平行laa=0a1a2+b1b2+c1c2=0.(2)线面垂直laa=ka1=ka2,b1=kb2,c1=kc2.,无数,无数,共线,(3)面面平行v=va2=a3,b2=b3,c2=c3.(4)面面垂直vv=0a2a3+b2b3+c2c3
3、=0.,(3)线面距、面面距均可转化为点面距再用(2)中方法求解.,夯基自测,解析:直线与平面平行,直线的方向向量和平面的法向量垂直,经检验只有选项C中sn=0,故选C.,C,解析:n1n20且n1与n2不共线,故平面,相交但不垂直.,C,3.(2015济南模拟)过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD,若AB=PA,则平面ABP与平面CDP所成的二面角为( )(A)30(B)45(C)60(D)90,B,4.(2015金华模拟)在空间直角坐标系Oxyz中,平面OAB的一个法向量为n=(2,-2,1),已知点P(-1,3,2),则点P到平面OAB的距离d等于( )(A)4(B)2(C)3
4、(D)1,B,第一课时证明平行和垂直,考点专项突破 在讲练中理解知识,考点一,利用空间向量证明平行问题,【例1】 (2015兰州模拟)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C,B1C1的中点,求证:MN平面A1BD.,反思归纳 用向量法证平行问题的类型及常用方法,提醒:用向量结论还原几何结论时,要注意书写规范.,考点二,利用空间向量证明垂直问题,反思归纳,利用向量法证垂直问题的类型及常用方法,利用向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题,考点三,反思归纳,立体几何开放性问题求解方法有以下两种:(1)根据条件作出判断,再进一步论证;(2)假设所求的点或线存在,并设定参数表
5、达已知条件,根据题目进行求解,若能求出参数的值且符合已知限定的范围,则存在这样的点或线,否则不存在.,(1)证明:因为AA1C1C为正方形,所以AA1AC.因为平面ABC平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1平面ABC.,(2)求二面角A1-BC1-B1的余弦值;,备选例题,【例1】 已知正ABC的边长为4,CD是AB边上的高,E,F分别是AC和BC边的中点,现将ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B.(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由;,解:(1)在ABC中,由E,F分别是AC,BC中点,得EFAB,又AB平面DEF,EF平面DEF,所以AB平面DEF.,解题规范夯实 把典型问题的解决程序化,利用向量法解决立体几何问题,答题模板:第一步:利用线线平行证明线面平行;第二步:建立空间直角坐标系,设出关键点的坐标;第三步:找到二面角的两个半平面的法向量;第四步:利用两向量夹角公式求得底面矩形的另一边长;第五步:由已知和所求数据求出几何体的体积.,
