1、 高等数学公式导数公式：基本积分表：axaxxln1)(logcots)(canesot)(an2 221)cot(arn1)(cosarinxxxCaxaxdCshcxadCxxddxCxx )ln(lncscotseaneotsi anecco2222CaxxadaxaxdCxxdCrcsinl21lnrct1oslncstaecesilotoa22Caxxadxa axaxdaxIndInnn rcsin22l)l(221cossi2 22 22020三角函数的有理式积分： 222 11cos1sin udxtguxux ， ， ， A.积化和差公式： )sin()si(2cosin)s
2、in()si(2sinco1 coc1iB.和差化积公式： 2cossin2isn 2sinco2sin co ico1.正弦定理： = = = 2R （R 为三角形外接圆半径）AasinBbiCsin2余弦定理：a =b +c -2bc b =a +c -2ac c =a +b -2ab 22Ac22Bos22Ccosbacos23.S= a = ab = bc = ac = =2R21hCin1siBsinRabc42Asinsi= = = =pr=ABsinBi2sCAci2)()(cpbp(其中 , r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试(21cbap三角函数值等于 的同名 三角函数值
3、，前面加上一个把 看作锐角时，原 三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限5.和差角公式 sincosin)si( sincos)cos( tgtg1 )1tgtgt 6.二倍角公式：( 含万能公式) 21cosin2si tg 22222 1sin1csico tg 21tgtcoin22tg2cos1cs2sin cos tan cot- sin+cos- tg-ct-+ - - -+ -sin-cos+tg+ct2 - + - - 2k +si+cs+t+ctsin cos tan cot2+cos+ in+ctg+ t+ - i- t-t23-cos- in+ctg+t- +si-
4、 t-t7.半角公式：（符号的选择由 所在的象限确定）2 2cos1sincos1sin2cos1cos co22i sinco)2sin(cosin1 si1is2tg高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式： )()()2()1()(0)()( !)1()! nknnnnnkk uvuknvuvuCv 中值定理与导数应用： 拉 格 朗 日 中 值 定 理 。时 ， 柯 西 中 值 定 理 就 是当柯 西 中 值 定 理 ：拉 格 朗 日 中 值 定 理 ：xFfabfab)(F)()( )多元函数微分法及应用zyzx yxxyxyxFzyxF dFdddyvdvyudxvxzuxzfz
5、tvtdttvu xffzdzududyxzd ， ， 隐 函 数 ， ， 隐 函 数隐 函 数 的 求 导 公 式 ： 时 ，当 ：多 元 复 合 函 数 的 求 导 法全 微 分 的 近 似 计 算 ： 全 微 分 ： 0),( )()(,),(),()(, ),(),(2多元函数的极值及其求法： 不 确 定时 值时 ， 无 极为 极 小 值为 极 大 值时 ，则 ： ， 令 ：设 ,0),( ),(,),(,),(0),(),(202 0000BACyxA CyxfByxfAffyxf xy常数项级数： 是 发 散 的调 和 级 数 ：等 差 数 列 ：等 比 数 列 ： nqqnn13
6、212)(112 级数审敛法： 散 。存 在 ， 则 收 敛 ； 否 则 发、 定 义 法 ： 时 ， 不 确 定时 ， 级 数 发 散时 ， 级 数 收 敛， 则设 ：、 比 值 审 敛 法 ： 时 ， 不 确 定时 ， 级 数 发 散时 ， 级 数 收 敛， 则设 ： 别 法 ） ：根 植 审 敛 法 （ 柯 西 判、 正 项 级 数 的 审 敛 法 nnnnsusUulim;31li21lim211 。的 绝 对 值其 余 项， 那 么 级 数 收 敛 且 其 和如 果 交 错 级 数 满 足 莱 布 尼 兹 定 理 ：的 审 敛 法或交 错 级 数1113243 ,0li )0,( n
7、nn n urrusuu绝对收敛与条件收敛：时 收 敛 时 发 散 级 数 ： 收 敛 ； 级 数 ： 收 敛 ；发 散 ， 而调 和 级 数 ： 为 条 件 收 敛 级 数 。收 敛 ， 则 称发 散 ， 而如 果 收 敛 级 数 ；肯 定 收 敛 ， 且 称 为 绝 对收 敛 ， 则如 果 为 任 意 实 数 ；， 其 中1)(11)()2(1232pnpnuunnn 函数展开成幂级数： nnn nnxfxffxfx RffR xfxfxxf !)0(!2)0()(0)(0 lim,()!1 )(!)(!2)()10( 00)(2000时 即 为 麦 克 劳 林 公 式 ： 充 要 条 件
8、 是 ：可 以 展 开 成 泰 勒 级 数 的余 项 ：函 数 展 开 成 泰 勒 级 数 ：幂级数： 01)3(lim)3(111 1121032 RaaRRxxaxaxx nnnn 时 ，时 ，时 ，的 系 数 ， 则是， 其 中求 收 敛 半 径 的 方 法 ： 设 称 为 收 敛 半 径 。， 其 中时 不 定时 发 散时 收 敛， 使在数 轴 上 都 收 敛 ， 则 必 存 收 敛 ， 也 不 是 在 全， 如 果 它 不 是 仅 在 原 点 对 于 级 数 时 ， 发 散时 ， 收 敛 于 一些函数展开成幂级数： )()!12()!53sin )1(1)(1)( 2 xnxxx x
9、nmmm 欧拉公式：2sincosincoixiixiix exe 或微分方程的相关概念即 得 齐 次 方 程 通 解 。 ，代 替分 离 变 量 ， 积 分 后 将)(，)(， 则设 的 函 数 ， 解 法 ：， 即 写 成,程 可 以 写 成齐 次 方 程 ： 一 阶 微 分 方 称 为 隐 式 通 解 。)( 得 ：)( 的 形 式 ， 解 法 ：)(为： 一 阶 微 分 方 程 可 以 化可 分 离 变 量 的 微 分 方 程 0, 或 ,一 阶 微 分 方 程 ： uxyudxudxuxdyxu xyyfCxFyGdfg dfgyQdPxy 一阶线性微分方程： )1,0()(2 )0
10、)(, )(1 )()(nyxQPdxy eCdxeQCxxyPdx dxPPd，、 贝 努 力 方 程 ：时 ， 为 非 齐 次 方 程 ，当 为 齐 次 方 程 ，时当、 一 阶 线 性 微 分 方 程 ：全微分方程： 通 解 。应 该 是 该 全 微 分 方 程 的 ， 其 中 ： 分 方 程 ， 即 ：中 左 端 是 某 函 数 的 全 微如 果 Cyxu yxQuyxPyxdP),( ),(),(0),(,)(二阶微分方程： 时 为 非 齐 次时 为 齐 次， 0)()()(2 xfyxQdPx二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： 212,)(2 ,(*)0)(1,0(*)r yrq
11、pqyp式 的 两 个 根、 求 出 的 系 数 ；式 中的 系 数 及 常 数 项 恰 好 是， 其 中、 写 出 特 征 方 程 ：求 解 步 骤 ： 为 常 数 ；， 其 中 式 的 通 解 ：出的 不 同 情 况 ， 按 下 表 写、 根 据 (*),321r的 形 式， 21r(*)式的通解两个不相等实根 )04(2qp xrxrecy21两个相等实根 r1)(21一对共轭复根 )(2241pqpirir， ， )sinco2xeyx二阶常系数非齐次线性微分方程 型为 常 数 ；型 ， 为 常 数， sin)(cos)()(,xPxexffylm线性代数公式大全最新修订1、 行 列
12、式1. 行列式共有 个元素，展开后有 项，可分解为 行列式；n2n!n2n2. 代数余子式的性质：、 和 的大小无关；ijAija、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为 0；、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 ；A3. 代数余子式和余子式的关系： (1)(1)ij ijiji ijiMAM 4. 设 行列式 ：nD将 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为 ，则 ；1D(1)21nD将 顺时针或逆时针旋转 ，所得行列式为 ，则 ；90 2()2将 主对角线翻转后（转置），所得行列式为 ，则 ；33将 主副角线翻转后，所得行列式为 ，则 ；D445. 行列式的重要公式：
13、、主对角行列式：主对角元素的乘积；、副对角行列式：副对角元素的乘积 ；(1)2n、上、下三角行列式（ ）：主对角元素的乘积； 、 和 ：副对角元素的乘积 ； (1)2n、拉普拉斯展开式： 、AOCABB(1)mnOABC:、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、特征值；6. 对于 阶行列式 ，恒有： ，其中 为 阶主子式；nA1()nknEASkS7. 证明 的方法：0、 ；、反证法；、构造齐次方程组 ，证明其有非零解；0Ax、利用秩，证明 ；()rn、证明 0 是其特征值；2、 矩 阵1. 是 阶可逆矩阵：An（是非奇异矩阵）；0（是满秩矩阵）()r的行（列）向量组线性无关；齐次方程组 有
14、非零解；0x， 总有唯一解；nbRAb与 等价；E可表示成若干个初等矩阵的乘积；的特征值全不为 0；是正定矩阵；T的行（列）向量组是 的一组基；AnR是 中某两组基的过渡矩阵；nR2. 对于 阶矩阵 ： 无条件恒成立；*AE3. 1*111*()()()TTA A *11TBBB4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均 、 可逆：若 ，则：12sA、 ；12、 ；1121sA、 ；（主对角分块）11AOB、 ；（副对角分块）1、 ；（拉普拉斯）11ACACBOB、 ；（拉普拉斯）111O3、 矩 阵 的 初 等 变 换 与 线 性
15、 方 程 组1. 一个 矩阵 ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的： ；mnA rmnEOF等价类：所有与 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵 、 ，若 ；B()rAB:2. 行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；、每行首个非 0 元素必须为 1；、每行首个非 0 元素所在列的其他元素必须为 0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）、若 ，则 可逆，且 ；(,)(,)rAEX:A1XA、对矩阵 做初等行变化，当 变为 时， 就变成 ，即： ；BEB1A 1(,),)cBEA、求解线形方程组：对于 个未
16、知数 个方程 ，如果 ，则 可逆，且 ；nxb(,)rbx:1xb4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；、 ，左乘矩阵 ， 乘 的各行元素；右乘， 乘 的各列元素； 12nAiiA、对调两行或两列，符号 ，且 ，例如： ；(,)Eij1(,)(,)ijEij1、倍乘某行或某列，符号 ，且 ，例如： ；()ik1()()iki 1(0)kk、倍加某行或某列，符号 ,且 ，如： ；()Eijk1()()ijEijk1(0)kk5. 矩阵秩的基本性质：、 ；0()min(,)rA、 ；T、若 ，则 ；B:()r、若 、 可逆，
17、则 ；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）PQ()()rPAQrPA、 ；（）ax(),(,AB、 ；（）)rr、 ；（）()min(,B、如果 是 矩阵， 是 矩阵，且 ，则：（）ns0A、 的列向量全部是齐次方程组 解（转置运算后的结论）；X、 ()rA、若 、 均为 阶方阵，则 ；B()()rBrn6. 三种特殊矩阵的方幂：、秩为 1 的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量） 行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；、型如 的矩阵：利用二项展开式；0acb二项展开式： ；01 10() nnnmnnmnaCabCababCab 注：、 展开后有 项；b、 0(1)()!123() :m nnmCn、组合的
18、性质： ；11 0 2 nnmmrnrrn nCCCC、利用特征值和相似对角化：7. 伴随矩阵：、伴随矩阵的秩： ；*()()110nrArAn、伴随矩阵的特征值： ；*1*(, )AXX 、 、*1A1*n8. 关于 矩阵秩的描述：、 ， 中有 阶子式不为 0， 阶子式全部为 0；（两句话）()rn1n、 ， 中有 阶子式全部为 0；、 ， 中有 阶子式不为 0；()rAn9. 线性方程组： ，其中 为 矩阵，则：xbAmn、 与方程的个数相同，即方程组 有 个方程；mxb、 与方程组得未知数个数相同，方程组 为 元方程；An10. 线性方程组 的求解：、对增广矩阵 进行初等行变换（只能使用
19、初等行变换）；B、齐次解为对应齐次方程组的解；、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由 个未知数 个方程的方程组构成 元线性方程：nmn、 ；121122212nmnmaxaxb 、 （向量方程， 为 矩阵， 个方程， 个未知数）112122nmmmaaxbAx Amnn、 （全部按列分块，其中 ）；1212nxaa 12nb、 （线性表出）12nxx、有解的充要条件： （ 为未知数的个数或维数）(),)rAn4、 向 量 组 的 线 性 相 关 性1. 个 维列向量所组成的向量组 ： 构成 矩阵 ；mnA12,m n12(,)mA个 维行向量所组成的向量组 ： 构成 矩阵 ；B12,TTm
20、12TTmB含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. 、向量组的线性相关、无关 有、无非零解；（齐次线性方程组）0Ax、向量的线性表出 是否有解；（线性方程组）b、向量组的相互线性表示 是否有解；（矩阵方程）XB3. 矩阵 与 行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组 和 同解；( 例 14)mnAlB 0AxB10P4. ；( 例 15)()Trr10P5. 维向量线性相关的几何意义：n、 线性相关 ；0、 线性相关 坐标成比例或共线（平行）；,、 线性相关 共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若 线性相关，则 必线性相关；12,s 121,s若 线性无关，则 必线性无关；（向量的个
21、数加加减减，二者为对偶） 若 维向量组 的每个向量上添上 个分量，构成 维向量组 ：rAnrnB若 线性无关，则 也线性无关；反之若 线性相关，则 也线性相关；（向量组的维数加加减减）BBA简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组 （个数为 ）能由向量组 （个数为 ）线性表示，且 线性无关，则 (二版 定理 7)；Ars rs74P向量组 能由向量组 线性表示，则 ；（ 定理 3）B()rAB86P向量组 能由向量组 线性表示有解；AX（ 定理 2）(),)r85P向量组 能由向量组 等价 （ 定理 2 推论）B()(,)rABr85P8. 方阵 可逆 存在有限个初等矩阵 ，使
22、；A12,lP 12lA、矩阵行等价： （左乘， 可逆） 与 同解r0xB、矩阵列等价： （右乘， 可逆）；cBAQ、矩阵等价： （ 、 可逆）；P9. 对于矩阵 与 ：mnAl、若 与 行等价，则 与 的行秩相等；BAB、若 与 行等价，则 与 同解，且 与 的任何对应的列向量组具有相同的线性相0xAB关性；、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；、矩阵 的行秩等于列秩；A10. 若 ，则：msnBC、 的列向量组能由 的列向量组线性表示， 为系数矩阵；B、 的行向量组能由 的行向量组线性表示， 为系数矩阵；（转置）BTA11. 齐次方程组 的解一定是 的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；
23、0x0Ax、 只有零解 只有零解；A、 有非零解 一定存在非零解；0Bx0ABx12. 设向量组 可由向量组 线性表示为：（ 题 19 结论）12:,nrrb 12:,nssa 10P（ ）12(,)(,)rbK BA其中 为 ，且 线性无关，则 组线性无关 ；（ 与 的列向量组具有相同线性相Ksr (rK关性）（必要性： ；充分性：反证法）()(,),()BrAKr注：当 时， 为方阵，可当作定理使用；rs13. 、对矩阵 ，存在 ， 、 的列向量线性无关；（ ）mnnmQmE()rAQ87P、对矩阵 ，存在 ， 、 的行向量线性无关；APnnP14. 线性相关12,s存在一组不全为 0 的
24、数 ，使得 成立；（定义）12,sk 120skk有非零解，即 有非零解；1212(,)sx 0Ax，系数矩阵的秩小于未知数的个数；12(,)sr15. 设 的矩阵 的秩为 ，则 元齐次线性方程组 的解集 的秩为： ；mnArn0xS()rSnr16. 若 为 的一个解， 为 的一个基础解系，则 线性无关；（*xb12,r A*12,r题 33 结论）1P5、 相 似 矩 阵 和 二 次 型1. 正交矩阵 或 （定义），性质：TAE1TA、 的列向量都是单位向量，且两两正交，即 ；1(,12,)0Tij ijan、若 为正交矩阵，则 也为正交阵，且 ；1T A、若 、 正交阵，则 也是正交阵；
25、ABA注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；2. 施密特正交化： 12(,)ra；1ba122,b: ;1211,rrrr rbabab: :3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4. 、 与 等价 经过初等变换得到 ；ABAB， 、 可逆；PQ， 、 同型；()r、 与 合同 ，其中可逆；TC与 有相同的正、负惯性指数；xx、 与 相似 ；AB1AB5. 相似一定合同、合同未必相似；若 为正交矩阵，则 ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；CT:6. 为对称阵，则 为二次型矩阵；7. 元二次型 为正定：nTx的
26、正惯性指数为 ；An与 合同，即存在可逆矩阵 ，使 ；ECTAE的所有特征值均为正数；的各阶顺序主子式均大于 0；(必要条件 )0,ia考研概率论公式汇总1随机事件及其概率吸收律： AB)( AB)(A反演律： niiA1niiniA112概率的定义及其计算若 )(1)(APB)()(PBAP对任意两个事件 A, B, 有 加法公式：对任意两个事件 A, B, 有 )()()()()(BA)1211111 nnnkjikjinjijiniini APPPAP 3条件概率 ABP)(乘法公式 )0()(APB)()( 121 1221 nnnAP 全概率公式 niiB1) )(1iiiBAPBa
27、yes 公式 )(ABPk)(kni iikkBAP1)()4随机变量及其分布分布函数计算 )()(aFbXXa5离散型随机变量(1) 0 1 分布 1,0,)1()(kpkP(2) 二项分布 ,pnB若 P ( A ) = p nkpCXnkn ,10,)(* Possion 定理 0limn 有 ,2!1limkenkn(3) Poisson 分布 )(P,10,!)(eX6连续型随机变量(1) 均匀分布 ),(baU其 他,01)(xbxf 1,0)(abxF(2) 指数分布 )(E其 他,0)(xexf 0,1)(xexF(3) 正态分布 N ( , 2 )xexfx21)( xtex
28、Fd2)(2)(* N (0,1) 标准正态分布xexx21)( xtexxd21)(27.多维随机变量及其分布二维随机变量( X ,Y )的分布函数 xydvufF),(),(边缘分布函数与边缘密度函数xXdvufF),()( vxffX),()(yY duyyY8. 连续型二维随机变量(1) 区域 G 上的均匀分布，U ( G )其 他,01),(yxAyxf(2) 二维正态分布 yxeyxf yxx,12),( 22121 )()()()(2 9. 二维随机变量的 条件分布0)()(),( xfyfxyf XXY 0)()()yfxfyYYX ddYX,) dxfyfdxXY)(,)(y
29、xfYX)(,fY)(yfxYX)(fXY)(,xfX)(xfX10. 随机变量的数字特征数学期望 1)(kpxXEdxfXE)()(随机变量函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩 X 的 k 阶绝对原点矩)(kE)|(kXEX 的 k 阶中心矩 X 的 方差 X ,Y 的 k + l 阶混合原)( )()(2D点矩 X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩 X ,Y 的 二阶混合原点矩)(lYElkY(X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差 X ,Y 的相关系数)()(EXEX 的方差 D (X ) = E (X - E(X)2) YD)( )(2D方差 )()(),cov( EEYX)()(Y)()(21YDXY相关系数 )(,covY
