1、 二次根式的化简求值1 （4 分）已知 ，那么 的值等于 _ 2 （4 分）已知 ，那么 = _ 3 （4 分）已知 ，则 = _ 4 （4 分）代数式 的最小值为 _ 5 （4 分）已知：（x+ ） （y+ ）=2002，则 x23xy4y26x6y+58= _ 6 （4 分）已知 ， ，那么代数式 值为 _ 7 （4 分）若 a+ =4， （0a1） ，则 = _ 8 （4 分）已知 a 是 的小数部分，那么代数式 的值为 _ 二、选择题（共 9 小题，每小题 5 分，满分 45 分）9 （5 分）若 ，则 的值是（ ）A2 B 4 C 6 D810 （5 分）已知实数 a 满足 ，那么
2、a20002 的值是（ ）A1999 B 2000 C 2001 D200211 （5 分）设 a= + ，b= + ，c=2 ，则 a，b，c 之间的大小关系是（ ）Aabc B acb C bac Dcba12 （5 分）设 ，则 的值为（ ）AB C D不能确定13 （5 分）如果 ， ，|b 3+c3|=b3c3，那么 a3b3c3 的值为（ ）A2002 B 2001 C 1 D014 （5 分）已知 ， ， ，那么 a，b，c 的大小关系是（ ）Aabc B bac C cba Dcab15 （5 分）当 时，代数式（4x 32005x2001） 2003 的值是（ ）A0 B 1
3、 C 1 D 2200316 （5 分）a，b，c 为有理数，且等式 成立，则 2a+999b+1001c 的值是（ ）A1999 B 2000 C 2001 D不能确定17 （5 分）满足等式 的正整数对的个数是（ ）A1 B 2 C 3 D4三、解答题（共 10 小题，满分 0 分）18 （2001武汉）已知 ，求 的值19已知 a、b 是实数，且 ，问 a、b 之间有怎样的关系？请推导20 （2002内江）已知： （0a1） ，求代数式 的值21 （1）设 a、b、c 、d 为正实数，a b，cd，bcad，有一个三角形的三边长分别为 ， ，求此三角形的面积；（2）已知 a，b 均为正数
4、，且 a+b=2，求 U= 的最小值22若 a0，b0，且 ，求 的值23已知 ，化简 24某船在点 O 处测得一小岛上的电视塔 A 在北偏西 60的方向，船向西航行 20 海里到达 B 处，测得电视塔在船的西北方向，问再向西航行多少海里，船离电视塔最近？25已知实数 a、b 满足条件|ab|= 1，化简代数式（ ） ，将结果表示成只含有字母 a 的形式26已知 （a0） ，化简： 27已知自然数 x、y、z 满足等式 ，求 x+y+z 的值新课标八年级数学竞赛培训第 08 讲：二次根式的化简求值参考答案与试题解析一、填空题（共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分）1 （4 分）已知 ，
5、那么 的值等于 考点： 二次根式的化简求值1552088专题： 计算题分析： 通过平方或分式的性质，把已知条件和待求式的被开方数都用 的代数式表示，然后再进行计算解答： 解：由 ，两边分别平方得：x+ =2，原式= = 故答案为： 点评： 本题考查了二次根式的化简求值，难度不大，关键是把已知条件和待求式的被开方数都用 的代数式表示2 （4 分）已知 ，那么 = 考点： 分式的化简求值；平方差公式；分式的加减法1552088专题： 计算题分析： 题目算式比较多，经观察分母中含有公因式（x+2） （x2） ，所以先通分化简后再代入求解解答：解： = 故答案为 点评： 异分母分式相加减，先通分再加减
6、，注意结果要化简，再代入值计算3 （4 分）已知 ，则 = 考点： 二次根式的化简求值1552088专题： 计算题分析： 先将式 的左边分子有理化，求出 a 的值，然后代入即可得出答案解答： 解：将式 的左边分子有理化，=5，化简得 =1，两式相加得： ，a=5，代入 = = 1故答案为： 点评： 本题考查了二次根式的化简求值，难度不大，关键是对已知式 d 左边进行分子有理化4 （4 分）代数式 的最小值为 13 考点： 函数最值问题；轴对称-最短路线问题 1552088专题： 函数思想分析： 原问题转化为：求 x 轴上一点到（0，2）以及（12，3）两点的和的最小值，显然两点间线段最短解答：
7、 解：求代数式 ，即 +的最小值，实际上就是求 x 轴上一点到（0，2）以及（12，3）两点的和的最小值，而两点间的距离是线段最短，所以，点到（0，2）到点（12，3）的距离即为所求，即 =13故答案为：13点评： 本题主要考查了函数的最值问题、轴对称最短路线问题解答此题的关键是根据代数式，将问题转化为：求 x 轴上一点到（0，2）以及（12，3）两点的和的最小值，并且利用了“两点间线段最短”的知识点5 （4 分）已知：（x+ ） （y+ ）=2002，则 x23xy4y26x6y+58= 58 考点： 二次根式的化简求值1552088专题： 计算题分析： 由（x+ ） （y+ ）=2002
8、，得到等式右边为有理数，左边必为平方差公式，得到x=y，再把原式变形为（x4y） （x+y） 6（x+y ）+58，即可得到原式的值解答： 解： （ x+ ） （y+ ）=2002，等式右边为有理数，左边必为平方差公式，即 x=y，原式=（x 4y） （x+y）6（x+y）+58，=58故答案为：58点评： 本题考查了二次根式的性质以及代数式的变形能力6 （4 分）已知 ， ，那么代数式 值为 考点： 二次根式的化简求值1552088专题： 计算题分析： 将 x，y 化简并代入代数式即可解答：解： = ， = 原式= 故答案为 点评： 本题考查二次根式的化简求值，较为简单7 （4 分）若 a+
9、 =4， （0a1） ，则 = 考点： 完全平方公式1552088专题： 计算题分析： 根据完全平方公式的变形（ ） 2=a+ 2 求解解答： 解： 0a1， 0，（ ） 2=a+ 2=42=2， = 故答案为： 点评： 本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式对解题大有帮助8 （4 分）已知 a 是 的小数部分，那么代数式 的值为 考点： 二次根式的化简求值；估算无理数的大小1552088专题： 计算题分析： 由已知可得 a=2 ，把所求代数式经过分解因式、约分、通分化简，再代入计算即可解答： 解： 4 ，即 24 3 ，a=4 2=2 ， ，= ，= ，=a2，=2 2，= 故答案
10、为： 点评： 此题考查二次根式的化简求值， “a 是 的小数部分”的求法要掌握二、选择题（共 9 小题，每小题 5 分，满分 45 分）9 （5 分）若 ，则 的值是（ ）A2 B 4 C 6 D8考点： 二次根式的化简求值1552088专题： 计算题分析： 由已知 x= +1，得 x =1，x1= ，两边平方得（x1 ） 2=3，即 x22x+1=3，将所求式子变形，整体代入即可解答： 解：由已知，得（x1） 2=3，即 x22x+1=3，原式 =x32x2+x （x 22x+1）+5=x（x 22x+1） （x 22x+1） +5=3x3 +5=3（x ）+5=31+5=8故选 D点评：
11、本题考查了二次根式的化简与求值，将已知条件变形，再整体代入是解题的关键，不化简，直接代入，运算很复杂10 （5 分）已知实数 a 满足 ，那么 a20002 的值是（ ）A1999 B 2000 C 2001 D2002考点： 二次根式有意义的条件；绝对值；无理方程1552088专题： 计算题分析： 先根据二次根式有意义的条件求出 a 的取值范围，依此计算绝对值，从而求得 a20002 的值解答： 解： a20010，a2001，则原式可化简为：a2000+ =a，即： =2000，a2001=20002，a20002=2001选 C点评： 本题考查了二次根式有意义的条件和绝对值的性质求出 x
12、 的范围，对原式进行化简是解决本题的关键11 （5 分）设 a= + ，b= + ，c=2 ，则 a，b，c 之间的大小关系是（ ）Aabc B acb C bac Dcba考点： 实数大小比较1552088分析： 利用平方法把三个数值平方后再比较大小即可解答： 解： a2=2000+2 ，b 2=2000+2 ，c 2=4004=2000+21002，1003997=1 000 0009=999 991，1001999=1 000 000 1=999 999，1002 2=1 004 004cba故选 D点评： 这里注意比较数的大小可以用平方法，两个正数，平方大的就大此题也要求学生熟练运用完
13、全平方公式和平方差公式12 （5 分）设 ，则 的值为（ ）AB C D不能确定考点： 二次根式的性质与化简1552088专题： 计算题分析： 利用二次根式的性质对 先进行通分化简，然后再代入 进行求解解答： 解： = ，x= +a20 a1 = = = ，故选 B点评： 此题主要考查二次根式的性质和化简，计算时要仔细，解题的关键是要会通分化简找出完全平方式13 （5 分）如果 ， ，|b 3+c3|=b3c3，那么 a3b3c3 的值为（ ）A2002 B 2001 C 1 D0考点： 二次根式的混合运算1552088分析： 由公式（a+b） 2（a b） 2=4ab，先求 ab 的值，再利
14、用排除法判断 b3+c3 的符号，进一步求出 c 的值，计算a3b3c3 的值解答： 解：由（a+b） 2（a b） 2=4ab，得（ +2）（ 2）=4ab，解得，ab=1，又若 b3+c30，则由|b 3+c3|=b3c3，解得 b3=0，与 ab=1 矛盾，故 b3+c30，将|b 3+c3|=b3c3，去绝对值，解得 c=0，故 a3b3c3=a3b3=1故选 C点评： 本题考查了乘法公式的灵活运用，分类讨论，排除法等数学思想，要求学生掌握14 （5 分）已知 ， ， ，那么 a，b，c 的大小关系是（ ）Aabc B bac C cba Dcab考点： 实数大小比较1552088分析
15、： 利用作差法比较 a 和 b、b 和 c、a 和 c 的大小，再比较 a、b、c 三者的大小解答： 解： ab= 1（2 ）= （ 1+ ）2.4492.4140，ab；ac= 1（ 2）= +1 2.4142.4490，ac；于是 bac，故选 B点评： 此题主要考查了实数的大小的比较，其中比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较 n 次方的方法等实数大小比较法则：（1）正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数；（2）两个负数，绝对值大的反而小15 （5 分）当 时，代数式（4x 32005x2001） 2003 的值是（ ）A0 B 1 C 1 D 22003考点： 二次根式
16、的化简求值1552088专题： 常规题型；整体思想分析： 由已知可得，2x1= ，两边平方得 4x24x=2001，整体代入计算即可解答： 解： ，2x1= ，两边都平方得 4x24x+1=2002，即 4x24x=2001，4x32005x2001=4x32005x（4x 24x）=4x 34x22005x+4x=x（4x 24x2001）=0，（ 4x32005x2001） 2003=0故选 A点评： 此题考查二次根式的化简求值，充分利用已知条件是关键，还要注意整体思想的应用16 （5 分）a，b，c 为有理数，且等式 成立，则 2a+999b+1001c 的值是（ ）A1999 B 20
17、00 C 2001 D不能确定考点： 二次根式的性质与化简1552088分析： 将已知等式右边化简，两边比较系数可知 a、b、c 的值，再计算式子的值解答： 解： = = ，a+b +c = ，a=0， b=1，c=1 ，2a+999b+1001c=2000故选 B点评： 本题考查了二次根式的性质与化简，将复合二次根式化简并比较系数是解题的关键17 （5 分）满足等式 的正整数对的个数是（ ）A 1 B 2 C 3 D 4 考点： 二次根式的混合运算；质数与合数1552088专题： 计算题分析： 先将已知等式变形， （ ） （ + + ） =0，由 + + 0，则 =0，从而求得 x，y 的正
18、整数对的个数解答： 解：由 可得，（ ） （ + + ）=0， + + 0， =0， ，故选 B点评： 本题考查了二次根式的混合运算，以及质数和合数，是一道综合题难度较大三、解答题（共 10 小题，满分 0 分）18 （2001武汉）已知 ，求 的值考点： 二次根式的化简求值；分式的化简求值1552088分析： 可先根据所给的等式得到相应的 x 的值，再把后面的代数式进行化简，把 x 的值代入即可解答： 解： = ，（ + +1）x+3 +3 +3=x+2，解得 x= ，那么 x+3= ，原式= = = + 点评： 在计算过程中应先算小括号，再算除法，分子分母能进行因式分解的要先进行因式分解，
19、以便化简运算19已知 a、b 是实数，且 ，问 a、b 之间有怎样的关系？请推导考点： 二次根式的化简求值1552088专题： 证明题分析： 找每一个括号部分的有理化因式，两边相乘，得出两个等式，把两式相加即可解答： 解：a、b 之间的关系是：a+b=0理由：原等式两边乘以（ ） ，得 +b= ，原等式两边乘以（ b） ，得 +a= b，两式相加，得 a+b=ab，故 a+b=0点评： 本题考查了二次根式的化简求值的运用，关键点是每一个括号部分的有理化因式与它互为倒数20 （2002内江）已知： （0a1） ，求代数式 的值考点： 二次根式的化简求值1552088分析： 由已知条件可得： ，x
20、=a+ +2，x 2=a+ ， （x2） 2=（a+ ） 2 即：x 24x=a2+ 2=（a ）2，化简原式，并代入求值，由 a 的取值范围确定式子的值解答： 解： ，x=a+ +2，x2=a+ ， （x2） 2=（a+ ） 2即：x 24x=a2+ 2=（a ） 2原式 = =（x2） 2 =（a+ ） 2，0 a1，a 0，原式 =a2+2点评： 此题用了整体代入得数学思想，难度较大21 （1）设 a、b、c 、d 为正实数，a b，cd，bcad，有一个三角形的三边长分别为 ， ，求此三角形的面积；（2）已知 a，b 均为正数，且 a+b=2，求 U= 的最小值考点： 二次根式的应用1
21、552088专题： 计算题分析： （1）显然不能用面积公式求三角形面积， 的几何意义是以 a、c 为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形人手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决；（2）用代数的方法求 U 的最小值较繁，运用对称分析，借助图形求 U 的最小值解答： 解：如图 1，作长方形 ABCD，使 AB=ba，AD=c，延长 DA 至 E，使 DE=d，延长 DC 至 F，使 DF=b，连接 EF、FB ，则 BF= ，EF= ，BE= ，从而可知BEF 就是题设的三角形；而 SBEF=S 长方形 ABCD+SBCF+SABESDEF=（ba ）c+ ac+ （dc） （b a） bd=
22、 （bc ad） ；（2）将 b=2a 代入 U= 中，得 U= + ，构造图形（如图 2） ，可得 U 的最小值为 AB= = 点评： 本题考查了二次根式在计算图形面积，勾股定理中的运用关键是根据题意，构造图形求解22若 a0，b0，且 ，求 的值考点： 二次根式的化简求值1552088专题： 计算题分析： 将已知条件变形，因式分解，得出 a、b 的关系，再代入所求式子化简即可解答： 解：由已知条件，得 a2 15b=0，即（ 5 ） （ +3 ）=0，a0，b0， 5 =0，解得 a=25b，原式 = = =2故答案为：2点评： 本题考查了二次根式的化简求值，解题时要遵循先化简后代入求值的
23、原则23已知 ，化简 考点： 二次根式的性质与化简；绝对值；二次根式有意义的条件1552088专题： 计算题分析： 根据绝对值的意义，确定 x 的取值范围，然后用二次根式的性质对代数式化简解答： 解：由绝对值的意义有：x 0当 0x1 时，|1 |=|1（1x）|=x；当 x1 时，|1 |=|1（x 1）|=|2 x|x；所以：0x1原式=|x |+|x+ |，=x+ +|x |= 点评： 本题考查的是二次根式的性质，先根据绝对值的意义确定 x 的取值范围，然后用二次根式的性质对代数式计算24某船在点 O 处测得一小岛上的电视塔 A 在北偏西 60的方向，船向西航行 20 海里到达 B 处，
24、测得电视塔在船的西北方向，问再向西航行多少海里，船离电视塔最近？考点： 解直角三角形的应用1552088专题： 几何动点问题分析： 过点 A 作出 OB 所在直线的垂线，那条垂线段就是最近的距离，设点 B 和垂足间的线段长为未知数，都表示出 O 到垂足间的线段列方程求解即可解答： 解：作 ACOB 于点 C，设 BC=x，AOB=30， ABC=45，AC=x，OA=2x，OC= = x，x+20= x，解得 x=10 +10答：再向西航行（10 +10）海里，船离电视塔最近点评： 考查解直角三角形在实际生活中的应用，构造直角三角形是常用的辅助性方法；关键是用两种方法表示出OC 的长度25已知
25、实数 a、b 满足条件|ab|= 1，化简代数式（ ） ，将结果表示成只含有字母 a 的形式考点： 二次根式的化简求值1552088专题： 综合题分析： 由已知可得 ab1=（ab） 10，据此把代数式化简，又因为要将结果表示成只含有字母 a 的形式，根据|ab|= ，分情况讨论，得出用 a 表示 b 的代数式，代入化简即可解答： 解： |ab|= 1，a、b 同号，且 a0，b0，ab1=（ab）10，（ ） =（ ）1（a b） = 若 a、b 同为正数，由 1，得 ab，ab= ，a 2ab=b，解得 b= ，（ ） = = = ；若 a、b 同为负数，由 1，得 ba，ab= ，a 2
26、ab=b，解得 b= ，（ ） = = 综上所述，当 a、b 同为正数时，原式的结果为 ；当 a、b 同为负数时，原式的结果为点评： 此题考查二次根式的化简求值，利用了 （a0）的性质，要充分利用已知条件，难度较大26已知 （a0） ，化简： 考点： 二次根式的化简求值1552088专题： 计算题分析：由 （a0） ，得：x+2= ，x 2= ，然后代入化简即可得出答案解答： 解：由 （a0） ，得：x+2= ，x2= ，原式= ，= ，当 a1 时，原式= ；当 0a1 时，原式=a 点评：本题考查了二次根式的化简求值，难度适中，关键是先求出 x+2= ，x 2= ，然后再代入化简27已知自
27、然数 x、y、z 满足等式 ，求 x+y+z 的值考点： 二次根式的化简求值1552088专题： 计算题分析： 由已知自然数 x、y、z 满足等式 xyz=2 2 ，然后求出 x，y，z 的值即可得出答案解答： 解：由 = ，即 xyz=2 2 ，x、y、z 为自然数，左边为整数，右边也为整数，但 为无理数，只有左右两边都是零，或存在整数 k（k0） ，使得 2 2 =k，只有 k=0 时才成立，从而 ，解得： 或者 ，故 x+y+z=2（y+z）=14 或 10点评： 本题考查了二次根式的化简求值，难度较大，关键是根据已知条件正确解出 x，y，z 的值参与本试卷答题和审题的老师有：zhangCF；lf2-9；CJX；心若在；mrlin；WWF；xiaoliu ；nhx600；lanchong ；王金铸；438011；hanxue；gsls；bjy；HLing（排名不分先后）菁优网2013 年 11 月 30 日
