1、1（2）排列：从 n 个不同元素中，任取 m（m n）个元素，按照一定的 顺序排成一列 ， 叫 做 从 个 不 同 元 素 中 取 出 个 元 素 的 一 个 排 列 ， 所 有 排 列 的 个 数 记 为 Anm.Annm121!规 定 ： 0!（3）组合：从 n 个不同元素中任取 m（m n）个元素并组成一组，叫做从 n 个不同 元 素 中 取 出 个 元 素 的 一 个 组 合 ， 所 有 组 合 个 数 记 为 Cnm.CAnnm11!规 定 ： n0（ ） 组 合 数 性 质 ：4CCCnmnmnmnn， ， 101250. 解排列与组合问题的规律是：例 3 . 6 人排成一排.甲、
2、乙两人必须相邻,有多少种不的排法?第一步，把甲乙排列(捆绑)：第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：例 2 . 7 人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？第 1 步，把除甲乙外的一般人排列：第 2 步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔)例 4. 5 个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少种站法？将 5 个人依次站成一排，有 种站法甲站在乙的右侧的机会跟乙站在甲的右侧 的机会一样大 所以 /2如：设 10 件产品中有 4 件次品，6 件正品，求下列事件的概率。（1）从中任取 2 件都是次品；PC4105（2）从中任取 5 件恰有 2 件次品；426310（3）从中有
3、放回地任取 3 件至少有 2 件次品；解析：有放回地抽取 3 次（每次抽 1 件），n10 3而至少有 2 件次品为“恰有 2 次品”和“三件都是次品”5A有 =120种 排 法 26A有 =30种 插 入 法036共 有 种 排 法 2有 种 捆 法 5有 120种 排 法024共 有 种 排 法 5 52 mC321346 P330425（4）从中依次取 5 件恰有 2 件次品。解析：一件一件抽取（有顺序） ，nAmC10542563 PCA4256310分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。54. 抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）
4、常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。55. 对总体分布的估计用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。要熟悉样本频率直方图的作法：（ ） 算 数 据 极 差 ；1xmain（2）决定组距和组数；（3）决定分点；（4）列频率分布表；（5）画频率直方图。其 中 ， 频 率 小 长 方 形 的 面 积 组 距 频 率组 距样 本 平 均 值
5、 ： xnxn12样 本 方 差 ： Snxxxn2122251. 二项式定理()abCabCaabCnnnnrrn012二 项 展 开 式 的 通 项 公 式 ： ，Trrr101()nr为 二 项 式 系 数 （ 区 别 于 该 项 的 系 数 ）性质：（ ） 对 称 性 ： ， ， ， ，1012Crnnr（ ） 系 数 和 ：2n01nnnn135241（3）最值：n 为偶数时，n1 为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第 又 如 ： ， 则20412204xaxaxRa010030（ 用 数 字 作 答 ）3（ 令 ， 得 ：xa010令 ， 得 ： a112204 原 式 ）303
6、120401a1.（2010 江西理）6. 8x展开式中不含 4x项的系数的和为（ ）A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】考查对二项式定理和二项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现正难则反。采用赋值法，令 x=1 得：系数和为 1，减去 4x项系数 802(1)C即为所求，答案为 0.2.（2010 全国卷 1 理）(5) 35(2)(的展开式中 x 的系数是(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4 【答案】C 二、填空题1.（2010 全国卷 2 理）（14）若9()ax的展开式中 3x的系数是 84，则 a 【解析】展开式中 3x的系数是3984,1Ca.
7、3.（2010 四川理）（13）631(2)x的展开式中的第四项是 . 解析：T4360()C1.（2009 浙江卷理）在二项式 251()x的展开式中，含 4x的项的系数是( ) A 10 B 0 C 5 D 答案 B 解析 对于 251031 51()rrrrrrTCxCx，对于 4,2r，则 4x的项的系数是25(1)046.（2009 四川卷理） 61(2)x的展开式的常数项是 （用数字作答） 解析 由题知 的通项为 rrr xCT2661)(，令 0r得 3，故常数项为0)1(36C。3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j数 学 期 望 :一 般 地 ， 若 离 散 型
8、 随 机 变 量 的 概 率 分 布 为 x1 x2 xn P p1 p2 pn 则称 为 的 数 学 期 望 ， 简 称 期 望 E1px2n6 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 期望的一个性质: baE)(7 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 方差: 衡量数据波动大小的量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j方差越大数D121px22)(pxnnpEx2)(据波动越大 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j8 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 标准差: 的算术平方根 叫做随机变量 的标准差，记作 D9 头htp:/w.x
9、jkygcom126t:/.j方差的性质： ； 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jab2)(2()E19.（湖南理 18）某商店试销某种商品 20 天，获得如下数据：日销售量（件） 0 1 2 3频数 1 5 9 5试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品 3 件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于 2 件，则当天进货补充至 3 件，否则不进货，将频率视为概率。（）求当天商品不进货的概率；（）记 X 为第二天开始营业时该商品的件数，求 X 的分布列和数学期型。解（I） P（“当天商品不进货 ”） P（“当天商品销售量为 0 件”） P（“当天
10、商品销售量为 1 件”）.10325（）由题意知， 的可能取值为 2,3.PX)(（“当天商品销售量为 1 件”）;412053（“当天商品销售量为 0 件”） P（“当天商品销售量为 2 件”） P（“当天商品销售量为 3 件”）.4325901故 X的分布列为2 3P415X的数学期望为 .4132EX23.（广东理 17）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取 14 件和 5 件，测量产品中的微量元素 x,y 的含量（单位：毫克）下表是乙厂的 5 件产品的测量数据：编号 1 2 3 4 5x 169 178 166 175 180y 75 80
11、77 70 81（1）已知甲厂生产的产品共有 98 件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素 x,y 满足 x175，且 y75 时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述 5 件产品中，随机抽取 2 件，求抽取的 2 件产品中优等品数 的分布列极其均值（即数学期望）。解：（1）987,34，即乙厂生产的产品数量为 35 件。（2）易见只有编号为 2，5 的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的优等品2,5故乙厂生产有大约314（件）优等品，（3） 的取值为 0，1，2。 1 2332325551(),(),()0CCCPPP所以 的分布列为0
12、 1 2P 316010故1402.55E的 均 值 为21.（北京理 17）以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 X 表示。6（）如果 X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（）如果 X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y 的分布列和数学期望。（注：方差22221 nsxxxn ，其中 为 1x， 2， nx的平均数）解：（1）当 X=8 时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为 ;4350x方差为.16)4350()9()8()(1 22222 s（）当 X=9 时，由
13、茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有 44=16 种可能的结果，这两名同学植树总棵数 Y 的可能取值为 17， 18，19，20，21 事件“Y=17” 等价于“甲组选出的同学植树 9 棵，乙组选出的同学植树 8 棵”所以该事件有 2 种可能的结果，因此 P（Y=17）=.8162同理可得;41)(YP;41)9(Y.)1(;4)0(YYP所以随机变量 Y 的分布列为：Y 17 18 19 20 21P 8141481EY=17P（Y=17）+18P（Y=18）+19P（Y=19 ）+20P （Y
14、=20）+21P（Y=21）=17 81+18 4+19 +20 +21=1924.（辽宁理 19）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验选取两大块地，每大块地分成 n 小块地，在总共 2n 小块地中，随机选 n 小块地种植品种甲，另外 n 小块地种植品种乙假设 n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为 X，求 X的分布列和数学期望；解：（I）X 可能的取值为 0，1，2，3，4，且74813482483148(0),7,5(),5().70PXCCPX即 X 的分布列为X 的数学期望为 18181()02342.735570E30
15、.（天津理 16）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球，乙箱子里装有 1个白球、2 个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球，若摸出的白球不少于 2 个，则获奖（每次游戏结束后将球放回原箱）（）求在 1 次游戏中，（i）摸出 3 个白球的概率；（ii）获奖的概率；（）求在 2 次游戏中获奖次数 X的分布列及数学期望 ()EX. 解：本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力.满分 13 分.（I）（i）解：设“在 1 次游戏中摸出 i
16、 个白球”为事件 (0,123),iA则235().CPA（ii）解：设“在 1 次游戏中获奖”为事件 B，则 23，又2132553() ,C且 A2，A3 互斥，所以 2317()().50PBA（II）解：由题意可知 X 的所有可能取值为 0，1，2.21279(0)(),0,5749()(.0PXC8所以 X 的分布列是X 0 1 2P 912504910X 的数学期望497() .01E31.（重庆理 17）某市公租房的房源位于 A，B，C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任 4 位申请人中：（）恰有 2 人申请 A 片区房
17、源的概率；（）申请的房源所在片区的个数 的分布列与期望解：这是等可能性事件的概率计算问题.（I）解法一：所有可能的申请方式有 34 种，恰有 2 人申请 A 片区房源的申请方式24C种，从而恰有2 人申请 A 片区房源的概率为248.73C解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是 4 次独立重复试验.记“申请 A 片区房源”为事件 A，则1()P从而，由独立重复试验中事件 A 恰发生 k 次的概率计算公式知，恰有 2 人申请 A 片区房源的概率为22448()().37C（II） 的所有可能值为 1，2，3.又42132 244 3(),7()()1()77PCCP或12 2334 4()().99AP或综上知， 有分布列 1 2 3P 2749从而有 1653.27E
