1、1第一部分 相似三角形模型分析大全1、 相似三角形判定的基本模型认识（一）A 字型、反 A 字型（斜 A 字型）ABCDE（平行） CBADE（不平行）（二）8 字型、反 8 字型 JOADBC ABCD（蝴蝶型）（平行） （不平行）（三）母子型 ABCDCAD2（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（6 ） 双垂型：3CAD2、 相似三角形判定的变化模型旋转型：由 A 字型旋转得到。 8 字型拓展CB EDA共享性GAB CEF一线三等角的变形4一线三直角的变形第二部分 相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形 例 1、已知：如
2、图，ABC 中，点 E 在中线 AD 上, ABCDE求证：（1） ； （2 ） ADB2例 2、已知：如图，等腰ABC 中，ABAC，AD BC 于 D，CGAB，BG 分别交 AD、AC 于E、F求证： GB25点评：本题考查了等腰三角形的性质、等腰三角形三线合一定理、平行线的性质、相似三角形的判定和性质关键是能根据所证连接 CE相关练习：1、如图，梯形 ABCD 中，ADBC，对角线 AC、BD 交于点 O，BE CD 交 CA 延长线于 E求证： OEAC22、如图，已知 AD 为ABC 的角平分线，EF 为 AD 的垂直平分线求证：6FCBD23、已知：如图，在 RtABC 中，C
3、=90，BC=2，AC=4，P 是斜边 AB 上的一个动点，PD AB，交边 AC 于点 D（点 D 与点 A、C 都不重合） ，E 是射线 DC 上一点，且EPD= A 设 A、P 两点的距离为 x，BEP 的面积为 y（1 ）求证：AE=2 PE；（2 ）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3 ）当BEP 与ABC 相似时，求BEP 的面积7双垂型1、如图，在ABC 中，A=60，BD 、CE 分别是 AC、AB 上的高求证：（1）ABDACE；（2）ADEABC；(3)BC=2ED解答：证明：（1）CEAB 于 E，BFAC 于 F，AFB=AEC，A 为公共角，ABDA
4、CE（两角对应相等的两个三角形相似） （2）由（1）得 AB：AC=AD：AE，A 为公共角，ADE ABC（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）(3)ADE ABCAD：AB=DE：BC又A=60 BC=2ED共享型相似三角形1、 ABC 是等边三角形,D、B 、C 、E 在一条直线上,DAE= ，已知 BD=1，CE=3，,求等120边三角形的边长.DEAB C8AB CD E如图ABC 是等边三角形ABC=BAC=ACB=60又DBCE 在一条直线上ADB+DAB=CAE+AEC=ABC=60DAE=120DAB+CAE=DAE-BAC=120-60=60由上可知ADB=CAE，D
5、AB=CAEDABAEC三角形相似对应边成比例BDAC=ABCEBD=1，CE=3AB=AC=32、已知：如图，在 RtABC 中，AB=AC，DAE=45求证：（1）ABEACD； （2） CDBE2ED CAB解答：证明：（1）在 RtABC 中，AB=AC，9B=C=45 （1 分）BAE=BAD+DAE，DAE=45，BAE=BAD+45 （1 分）而ADC=BAD+B=BAD+45， （1 分）BAE=CDA （1 分）ABEDCA （2 分）（2）由ABEDCA，得 （2 分）BECD=ABAC （1 分）而 AB=AC，BC 2=AB2+AC2，BC 2=2AB2 （2 分）BC
6、 2=2BECD （1 分）点评：此题考查了相似三角形的判定和性质，特别是与勾股定理联系起来综合性很强，难度较大一线三等角型相似三角形例 1：如图，等边ABC 中，边长为 6，D 是 BC 上动点，EDF =60（1 ）求证：BDECFD（2 ）当 BD=1，FC=3 时，求 BE 10证明：（1）ABC 是等边三角形B=C=60EDF=60CDF+EDB=180-EDF=120 BED+EDB=180-B=120CDF=BEDB=CBDE 相似CFD2、BD=1CD=BC-BD=6-1=5BDE 相似CFDBE/CD=BD/CFBE/5=1/3 BE=5/3 例 2、已知在梯形 ABCD 中
7、，ADBC，AD BC，且 AD5，ABDC2（1 ）如图 8，P 为 AD 上的一点，满足 BPCA求证；ABP DPC求 AP 的长（2 ）如果点 P 在 AD 边上移动（点 P 与点 A、D 不重合） ，且满足BPEA ，PE 交直线 BC 于点 E，同时交直线 DC 于点 Q，那么当点 Q 在线段 DC 的延长线上时，设 APx，CQy，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；当 CE1 时，写出 AP 的长CBA DCBA D11解答：解：（1）ABCD 是梯形，ADBC，AB=DCA=DABP+APB+A=180，APB+DPC+BPC=180，BPC=AABP=DPC
8、，ABPDPC ，即：解得：AP=1 或 AP=4（2）由（1）可知：ABPDPQ ，即： ， （1x4） 当 CE=1 时，AP=2 或 点评：本题结合梯形的性质考查二次函数的综合应用，利用相似三角形得出线段间的比例关系是求解的关键 例 3：如图，在梯形 中， ， ， 点 为边ABCD6ABCD3AM的中点，以 为顶点作 ，射线 交腰 于点 ，射线 交腰BCMEFMEF于点 ，联结 DF（1 ）求证： ；B（2 ）若 是以 为腰的等腰三角形，求 的长；EEF（3 ）若 ，求 的长FCD1.证明:AB=CD.梯形 ABCD 为等腰梯形,B=C;又EMF=B,则:CMF=180 度-EMF-BM
9、E=180 度-B-BME=BEM.CMFBEM,MF/EM=CM/BE=BM/BE.MF/EM=BM/BE;EMF=B.12MEFBEM.2.解:当 BM=BE=3 时:MF/ME=BM/BE=1,则 MF=ME.EFBC;又 BE=3=AB/2.故 EF 为梯形的中位线,EF=(AD+BC)/2=9/2;当 ME=BM=3 时:MEB=B=C=FMC.连接 DM.BM=BC/2=3=AD,又 BM 平行 BM,则四边形 ABMD 为平行四边形.DMC=B=FMC,即 F 与 D 重合,此时 EF=CD=6.3.解:EFCD;CFM=BME=EFM.EFM=45=BME.作 EGBM 于 G
10、,则 EG=GM;作 AHBM 于 H.BH=(BC-AD)/2=3/2,AH=(AB-BH)=315/2.设 EG=GM=X,则 BG=3-X.BG/BH=EG/AH,(3-X)/(3/2)=X/(315/2),X=(45-315)/14.BE/BA=EG/AH,即 BE/6=(45-315)/14/(315/2),BE=(615-6)/7.练习：如图，已知边长为 的等边 ，点 在边 上， ，点 是射线 上一动3ABCF1CFEBA点，以线段 为边向右侧作等边 ，直线 交直线 于点 ，EFEG, ,MN（1 ）写出图中与 相似的三角形；（2 ）证明其中一对三角形相似；（3 ）设 ，求 与 之
11、间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；,BExMNyxx（4 ）若 ，试求 的面积1AG131415一线三直角型相似三角形例：已知矩形 ABCD 中，CD=2，AD=3，点 P 是 AD 上的一个动点，且和点 A,D 不重合，过点 P 作 ，交边 AB 于点 E,设 ， （1）求 y 关于 x 的函数关系式，CEAExD,并写出 x 的取值范围。(2)如果PCD 的面积是AEP 面积的 4 倍，求 CE 的长；(3)是否存在点 P，使APE 沿 PE 翻折后，点 A 落在 BC 上？证明你的结论。解答：（1）解：PECP， 可得：EAPPDC， ，又CD=2，AD=3，设 PD=x，AE=
12、y， ，y=- ，0x3；EB CA DP16（2）解：当PCD 的面积是AEP 面积的 4 倍，则：相似比为 2：1， ，CD=2，AP=1，PD=2，PE= ，PC=2 ，EC= （3）不存在作 AFPE，交 PE 于 O，BC 于 F，连接 EFAFPE，CPPE AF=CP= ， PE= ，CDPPOA = ，OA= ，若 OA= AF = ， 3x2-6x+4=0 =6 2-443=-12x 无解 因此，不存在点评：此题主要考查了相似三角形的判定，以及相似三角形面积比是相似比的平方相关练习1、 (2009 虹口二模）如图，在 中， ， ， ， 是ABC906AC3tan4BD边的中点， 为 边上的一个动点，作 ， 交射线 于点 设BCEDEFF17， 的面积为 BExDy（1 ）求 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；yxx（2 ）如果以 、 、 为顶点的三角形与 相似，求 的面积.BEFBED1819
