1、极坐标和参数方程知识点+ 典型例题及其详解知识点回顾（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x、y 都是某个变数 t 的函数，即 )(tfyx并且对于 t 每一个允许值，由方程组所确定的点 M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数（二）常见曲线的参数方程如下：1过定点（x 0，y 0） ，倾角为 的直线：（t 为参数）sinco0其中参数 t 是以定点 P（x 0，y 0）为起点，对应于 t 点 M（x，y）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点 P 与点 M 间的有向距离根据 t 的几何意
2、义，有以下结论设 A、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为 tA和 tB，则 1 tBAtt4)(2线段 AB 的中点所对应的参数值等于 2 2BAt2中心在（x 0，y 0） ，半径等于 r 的圆：（ 为参数）sinco0r3中心在原点，焦点在 x 轴（或 y 轴）上的椭圆：（ 为参数） （或 ）sincobyax sincoaybx中心在点（x0,y0）焦点在平行于 x 轴的直线上的椭圆的参数方程为 参 数 ）(.si,c0yx4中心在原点，焦点在 x 轴（或 y 轴）上的双曲线：（ 为参数） （或 ）tgsecbyaxecaybxstg5顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上的抛物线：
3、（t 为参数，p 0）y2直线的参数方程和参数的几何意义过定点 P（x 0， y0） ，倾斜角为 的直线的参数方程是 （t 为参数）sinco0yx（三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点 O，叫做极点，引一条射线 Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向） 。对于平面内的任意一点 M，用 表示线段 OM 的长度， 表示从 Ox 到 OM 的角， 叫做点 M 的极径， 叫做点 M 的极角，有序数对( , ) 就叫做点 M 的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。2、极坐标有四个要素：极点；极轴；长度单位；角度单位及它的方向极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个
4、点，在极坐标系下，一对有序实数 、 对应惟一点 P( ， )，但平面内任一个点 P 的极坐标不惟一一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P( ， )（极点除外）的全部坐标为 ( , )或k2（ ， ） ，( Z)极点的极径为 0，而极角任意取若对 、 的取值)12(k范围加以限制则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定 0，0 或0， 等极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的即一个点的极坐标是不惟一的 3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为： 0cosacosaxMO1 sinasina)cos(a4、圆相
5、对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为 ：)0(a acos2acos2 sin2in)(00xOM图 1（ ， ） cosaaOM图 2cosaaOM图 3sinaOM图 4a sinaOM 图 5a),(a)cos(aOMpN图 6（ ， ）a5、极坐标与直角坐标互化公式：基础训练 A 组一、选择题1若直线的参数方程为 ，则直线的斜率为（ ）12()3xty为 参 数cos2aa xO M图 2sin2aaxOM图 4 sin2aaxOM图 5cos2aa xOM图 3aa xO M图 1 ),(a)cos(2aa xOM图 6cosxiny2yx)0(tay yxO MHN ( ,
6、 )（ 直 极 互 化 图 ）A B C D232332322下列在曲线 上的点是（ ）sin()coixy为 参 数A B C D 1(,2)1,42(2,3)(1,3)3将参数方程 化为普通方程为（ ）2sin()xy为 参 数A B C Dyx2(3)yx2(01)yxy4化极坐标方程 为直角坐标方程为（ ）2cos0A B C D y2或 1x201yx或 1y5点 的直角坐标是 ，则点 的极坐标为（ ）M(1,3)MA B C D (2,)322(,)3(,2),(3kZ6极坐标方程 表示的曲线为（ ）cosinA一条射线和一个圆 B两条直线 C一条直线和一个圆 D一个圆二、填空题1
7、直线 的斜率为_。34()5xty为 参 数2参数方程 的普通方程为_。()2()tte为 参 数3已知直线 与直线 相交于点 ，又点 ，13:4xtly为 参 数 2:45lxyB(1,2)A则 _。AB4直线 被圆 截得的弦长为_。12()xty为 参 数 24xy5直线 的极坐标方程为_。cosin0x三、解答题1已知点 是圆 上的动点，(,)Pxy2y（1）求 的取值范围；2（2）若 恒成立，求实数 的取值范围。0xyaa2求直线 和直线 的交点 的坐标，及点1:()53xtly为 参 数 2:30lxyPP与 的距离。(,)Q3在椭圆 上找一点，使这一点到直线 的距离的最小值。216
8、xy210xy一、选择题1直线 的参数方程为 ， 上的点 对应的参数是 ，则点 与l ()xatyb为 参 数 l1P1t1P之间的距离是（ ）(,)PabA B C D 1t12t1t12t2参数方程为 表示的曲线是（ ）()2xty为 参 数A一条直线 B两条直线 C一条射线 D两条射线3直线 和圆 交于 两点，则 的中点坐标1()32xtty为 参 数 216xy,AB为（ ）A B C D (3,)(3,)(3,)(3,)4圆 的圆心坐标是（ ）5cosinA B C D 4(,)3(5,)3(5,)35(,)35与参数方程为 等价的普通方程为（ ）21xty为 参 数A B 42 2
9、1(0)4yxC D 21(0)yx2(1,02)y6直线 被圆 所截得的弦长为（ ）()ty为 参 数 22(3)()5xyA B C D 981408943二、填空题1曲线的参数方程是 ，则它的普通方程为21()xty为 参 数 ,t0_。2直线 过定点_。3()14xaty为 参 数3点 是椭圆 上的一个动点，则 的最大值为_。P(,)21xy2xy4曲线的极坐标方程为 ，则曲线的直角坐标方程为_。tancos5设 则圆 的参数方程为_。()ytx为 参 数 240xy三、解答题1参数方程 表示什么曲线？cos(incs)()y为 参 数2点 在椭圆 上，求点 到直线 的最大距离和最小距
10、离。P2169xP342xy3已知直线 经过点 ,倾斜角 ，l(1)P6（1）写出直线 的参数方程。（2）设 与圆 相交与两点 ，求点 到 两点的距离之积。l42yx,ABP,一、选择题1把方程 化为以 参数的参数方程是（ ）1tA B C D 21xtysin1xtycos1xtytan1xy2曲线 与坐标轴的交点是（ ）5()2t为 参 数A B C D 1(0,),、 10,(,)2、 (0,4)8,、 5(0,)89、3直线 被圆 截得的弦长为（ ）()2xty为 参 数 9xyA B C D 1555104若点 在以点 为焦点的抛物线 上，则 等于（ ）(3,)PmF24()xty为
11、 参 数 PFA B C D 255极坐标方程 表示的曲线为（ ）cos0A极点 B极轴 C一条直线 D两条相交直线6在极坐标系中与圆 相切的一条直线的方程为（ ）4inA B C Dcos2si24sin()34in()3二、填空题1已知曲线 上的两点 对应的参数分别为 ，2()xptpy为 参 数 ,为 正 常 数 ,MN12,t和，那么 =_。120t且 MN2直线 上与点 的距离等于 的点的坐标是_。()3xty为 参 数 (2,3)A23圆的参数方程为 ，则此圆的半径为_。3sin4cos()xy为 参 数4极坐标方程分别为 与 的两个圆的圆心距为_。i5直线 与圆 相切，则 _。c
12、osinxty42cosinxy三、解答题1分别在下列两种情况下，把参数方程 化为普通方程：1()cos2inttttxey（1） 为参数， 为常数；（2） 为参数， 为常数；tt2过点 作倾斜角为 的直线与曲线 交于点 ，0(,)P21xy,MN求 的值及相应的 的值。MN新课程高中数学训练题组参考答案数学选修 4-4 坐标系与参数方程 基础训练 A 组一、选择题 1D 231ytkx2B 转化为普通方程： ，当 时，21yx3412y3C 转化为普通方程： ，但是 ,0,4C 2(cos)0,cos1xyx或5C 都是极坐标2,(3kZ6C 2cs4incs,o,4sin,4sin或 即则
13、 或,2k2xy二、填空题1 54534yt2 21,()46xyx2()422ttttt tyxeeyxy3 将 代入 得 ，则 ，而 ，得5234ty5xy12t5(,0)B(1,)A5B4 直线为 ，圆心到直线的距离 ，弦长的一半为102d，得弦长为2214()145 ，取cossin0,cos()02三、解答题1解：（1）设圆的参数方程为 ，co1sixy2csin5n()1xy51xy（2） cosi10aa(in)2sin()1421a2解：将 代入 得 ，53xty30xy3t得 ，而 ，得(12,)P(1,5)Q2()643P3解：设椭圆的参数方程为 ，4cos23inxy4c
14、osin125d455cosics()3当 时， ，此时所求点为 。()13min45d(2,)新课程高中数学训练题组参考答案一、选择题 1C 距离为 211tt2D 表示一条平行于 轴的直线，而 ，所以表示两条射线yx2,x或3D ，得 ，223(1)()16tt80t12128,4tt中点为14332xxyy4A 圆心为 5(,)5D 222,1,1,0,1,0244yyxttxtty而 得6C ，把直线 代入2121ttyy21xty得22(3)()5x22()()5,720ttt，弦长为1212124ttt18二、填空题1 而 ，2()xy,xtx2yt即 221()()1y2 ， 对
15、于任何 都成立，则(3,1)4yxa()40xa3,1xy且3 椭圆为 ，设 ，216y(6cos,2in)Pcos4ini(2x4 即2xy2221sintan,cosin,cosin,co2xy5 ，当 时， ；当 时， ；214ty2()40xtx0yx241t而 ，即 ，得ytx241t241txyt三、解答题1解：显然 ，则tanyx2211,cosyyxx2 2 22tancosicosinscos21即222211,()yyyxxx得 ，即21yx20xy2解：设 ，则(4cos,3in)P1cos2in45d即 ，12()245d当 时， ；cos()4max1()5d当 时，
16、 。1in23解：（1）直线的参数方程为 ，即cos61inxty312xty（2）把直线 代入312xty42yx得 2231(1)()4,(31)20ttt，则点 到 两点的距离之积为12tP,AB坐标系与参数方程 提高训练 C 组一、选择题 1D ， 取非零实数，而 A，B，C 中的 的范围有各自的限制xy x2B 当 时， ，而 ，即 ，得与 轴的交点为 ；025t12yt15yy1(0,)5当 时， ，而 ，即 ，得与 轴的交点为yxxx23B ，把直线 代入1125txtyy12ty得29x22(1)()9,840ttt，弦长为2212111645ttt1255t4C 抛物线为 ，
17、准线为 ， 为 到准线 的距离，即为yxPF(3,)mx5D ，为两条相交直线cos20,s,4k6A 的普通方程为 ， 的普通方程为4in22()xycos22x圆 与直线 显然相切22()xy二、填空题1 显然线段 垂直于抛物线的对称轴。即 轴，14ptMNx121MNptt2 ,或 (3)(2)2221()(),ttt3 由 得53sin4cosxy25xy4 圆心分别为 和21(,0),5 ，或 直线为 ，圆为 ，作出图形，相切时，6tanyx2(4)xy易知倾斜角为 ，或 65三、解答题1解：（1）当 时， ，即 ；0t,cosyx1,0xy且当 时，s,in1()()22tt ttee而 ，即2xy221()()44ttttxy（2）当 时， ， ，即 ；,kZ0yttxe,0xy且当 时， ， ，即 ；21()2tty当 时，得 ，即,kZcosinttttxey2cosinttxye得 22()()cosicosittxyxe即 。221csinx2解：设直线为 ，代入曲线并整理得0cos()itty为 参 数23(1sin)(1s)2tt则 122sinPMNt所以当 时，即 ， 的最小值为 ，此时 。2sin12PMN342
