1、 小初高中全科教育、中高考保分计划、晚托管理、A level/AP 国际衔接地址：庆春路 38-1 金龙商务 7 楼电话：0571-2893918 21第一部分 相似三角形模型分析1、相似三角形判定的基本模型认识（一）A 字型、反 A 字型（斜 A 字型）ABCDE（平行） CBADE（不平行）（二）8 字型、反 8 字型 JOADBC ABCD（蝴蝶型）（平行） （不平行）（三）母子型 ABCDCAD（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景小初高中全科教育、中高考保分计划、晚托管理、A level/AP 国际衔接地址：庆春路 38-1 金龙商务 7
2、 楼电话：0571-2893918 22（五）一线三直角型：（6）双垂型：CAD2、相似三角形判定的变化模型旋转型：由 A 字型旋转得到。 8 字型拓展CB EDA共享性GAB CEF小初高中全科教育、中高考保分计划、晚托管理、A level/AP 国际衔接地址：庆春路 38-1 金龙商务 7 楼电话：0571-2893918 23一线三等角的变形一线三直角的变形小初高中全科教育、中高考保分计划、晚托管理、A level/AP 国际衔接地址：庆春路 38-1 金龙商务 7 楼电话：0571-2893918 24第二部分 相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例 1：如图，梯形 ABCD 中，A
3、DBC，对角线 AC、BD 交于点 O，BECD 交 CA 延长线于 E求证： OEAC2例 2：已知：如图，ABC 中，点 E 在中线 AD 上, ABCDE求证：（1） ； （2） ADB2例 3：已知：如图，等腰ABC 中，ABAC，AD BC 于 D，CGAB，BG 分别交 AD、AC 于 E、F求证： EGFB2相关练习：1、如图，已知 AD 为ABC 的角平分线，EF 为 AD 的垂直平分线求证： FCBD2A CDEB小初高中全科教育、中高考保分计划、晚托管理、A level/AP 国际衔接地址：庆春路 38-1 金龙商务 7 楼电话：0571-2893918 252、已知：AD
4、 是 RtABC 中A 的平分线，C=90，EF是 AD 的垂直平分线交 AD 于 M，EF、BC 的延长线交于一点N。求证：(1)AMENMD; (2)ND =NCNB23、已知：如图，在ABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，E 是 AC 上一点，CFBE 于 F。求证：EBDF=AEDB4.在ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H， EFBC，垂足为F ，延长AD到 G，使DG=EF，M是AH的中点。求证： G905 （本题满分 14 分，第（1）小题满分 4 分，第（2） 、 （3）小题满分各 5 分）已知：如图，在 Rt ABC 中， C=90， BC=2， AC=4， P 是
5、斜边 AB 上的一个动点， PD AB，交边 AC于点 D（点 D 与点 A、 C 都不重合） ， E 是射线 DC 上一点，且 EPD= A设 A、 P 两点的距离为 x， BEP 的面积为 y（1）求证： AE=2PE；（2）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当 BEP 与 ABC 相似时，求 BEP 的面积A CBPD E（第 25 题图）GMFEHD CBA小初高中全科教育、中高考保分计划、晚托管理、A level/AP 国际衔接地址：庆春路 38-1 金龙商务 7 楼电话：0571-2893918 26ED CAB双垂型1、如图，在ABC 中，A=60，BD、C
6、E 分别是 AC、AB 上的高求证：（1）ABDACE；（2）ADEABC；(3)BC=2ED2、如图，已知锐角ABC，AD、CE 分别是 BC、AB 边上的高，ABC 和BDE 的面积分别是 27 和3，DE=6 ，求：点 B 到直线 AC 的距离。EDAB C共享型相似三角形1、ABC 是等边三角形 ,D、B、C、E 在一条直线上,DAE= ，已知 BD=1，CE=3，,求等边三角形的边120长.AB CD E2、已知：如图，在 RtABC 中，AB =AC，DAE=45求证：（1）ABEACD； （2） EC2DEAB C小初高中全科教育、中高考保分计划、晚托管理、A level/AP
7、国际衔接地址：庆春路 38-1 金龙商务 7 楼电话：0571-2893918 27一线三等角型相似三角形例 1：如图，等边ABC 中，边长为 6，D 是 BC 上动点，EDF=60（1）求证：BDECFD（2）当 BD=1，FC=3 时，求 BE 例 2：（1）在 中， ， ，点 、 分别在射线 、 上（点 不与点ABC58BCPQCBAP、点 重合） ，且保持 .CAPQ若点 在线段 上（如图） ，且 ，求线段 的长；6若 ， ，求 与 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；xBPyCx（2）正方形 的边长为 （如下图） ，点 、 分别在直线 、 上（点 不与点 、点ABCD5PQCBDP
8、C重合） ，且保持 .当 时，求出线段 的长.90PQ1C例 3：已知在梯形 ABCD 中，ADBC，ADBC，且 AD5，ABDC2AB C备用图AB CDCADBE FAB CDAB CPQAB C备用图AB CD小初高中全科教育、中高考保分计划、晚托管理、A level/AP 国际衔接地址：庆春路 38-1 金龙商务 7 楼电话：0571-2893918 28（1）如图 8，P 为 AD 上的一点，满足 BPCA求证；ABPDPC求 AP 的长（2）如果点 P 在 AD 边上移动（点 P 与点 A、D 不重合） ，且满足BPEA，PE 交直线 BC于点 E，同时交直线 DC 于点 Q，那
9、么当点 Q 在线段 DC 的延长线上时，设 APx，CQy，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；当 CE1 时，写出 AP 的长CBA DCBA D例 4：如图，在梯形 中， ， ， 点 为边 的中点，ABCDB6ACDB3AMBC以 为顶点作 ，射线 交腰 于点 ，射线 交腰 于点 ，联结 MEFMEFDEF（1）求证： ；（2）若 是以 为腰的等腰三角形，求 的长；（3）若 ，求 的长相关练习：1、如图，在ABC 中， ， ， 是 边上的一个动点，点 在 边上，且8ACB10DBCEACCADE(1) 求证：ABDDCE；CDABPAB CDE小初高中全科教育、中高考保分计
10、划、晚托管理、A level/AP 国际衔接地址：庆春路 38-1 金龙商务 7 楼电话：0571-2893918 29(2) 如果 ， ，求 与 的函数解析式，并写出自变量 的定义域；xBDyAExx(3) 当点 是 的中点时，试说明ADE 是什么三角形，并说明理由C2、如图，已知在ABC 中， AB=AC=6，BC=5 ，D 是 AB 上一点，BD=2，E 是 BC 上一动点，联结DE，并作 ，射线 EF 交线段 AC 于 FDEFB（1）求证：DBEECF； （2）当 F 是线段 AC 中点时，求线段 BE 的长；（3）联结 DF，如果DEF 与DBE 相似，求 FC 的长3、已知在梯形
11、 ABCD 中，ADBC，ADBC，且 BC =6，AB=DC =4，点 E 是 AB 的中点（1）如图，P 为 BC 上的一点，且 BP=2求证：BEPCPD；（2）如果点 P 在 BC 边上移动（点 P 与点 B、C 不重合） ，且满足EPF =C，PF 交直线 CD 于点F，同时交直线 AD 于点 M，那么当点 F 在线段 CD 的延长线上时，设 BP= ，DF= ，求 关于 的函数解析式，并写出函数的xyx定义域；当 时，求 BP 的长BEPDMFS494、如图，已知边长为 的等边 ，点 在边 上， ，点 是射线 上一动点，以线段3ABCF1CFEBA为边向右侧作等边 ，直线 交直线
12、于点 ，EFEG,A,MN（1）写出图中与 相似的三角形；F（2）证明其中一对三角形相似；FBACDEEDCBAP（第 25 题图）EDCBA（备用图）小初高中全科教育、中高考保分计划、晚托管理、A level/AP 国际衔接地址：庆春路 38-1 金龙商务 7 楼电话：0571-2893918 210（3）设 ，求 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；,BExMNyxx（4）若 ，试求 的面积1AG一线三直角型相似三角形例 1、已知矩形 ABCD 中，CD=2，AD=3，点 P 是 AD 上的一个动点，且和点 A,D 不重合，过点 P 作，交边 AB 于点 E,设 ，求 y 关于
13、 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围。CPEAExD,例 2、在 中， 是 AB 上的一点，且 ，点 P 是 AC 上的一个ABCOBCA,3,4,90o 52ABO动点， 交线段 BC 于点 Q， （不与点 B,C 重合） ，设 ，试求 关于 x 的函数关OPQ yCQxP,系，并写出定义域。【练习 1】在直角 中， ，点 D 是 BC 的中点，点 E 是 AB 边上的动点，ABC43tan,5,90BAo交射线 AC 于点 FDEF（1） 、求 AC 和 BC 的长（2） 、当 时，求 BE 的长。/备用图QCB AOPEB CA DP小初高中全科教育、中高考保分计划、晚托管理、A
14、level/AP 国际衔接地址：庆春路 38-1 金龙商务 7 楼电话：0571-2893918 211FA BCDE FA BCDE（3） 、连结 EF,当 和 相似时，求 BE 的长。DEFABC【练习 2】在直角三角形 ABC 中， 是 AB 边上的一点，E 是在 AC 边上的一个动点， （与DBCA,90oA,C 不重合） ， 与射线 BC 相交于点 F.DFE,(1)、当点 D 是边 AB 的中点时，求证： F(2)、当 ，求 的值mBA（3） 、当 ，设 ,求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域21,6BxA,【 练习 4】如图，在 中， ， ， ， 是 边的中点， 为 边A
15、C906C3tan4BCEA上的一个动点，作 ， 交射线 于点 设 ， 的面积为 EFFExy（1）求 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；yxx（2）如果以 、 、 为顶点的三角形与 相似，求 的面积.BD【 练习5】 、（2015 年黄浦一模 25）FDC BAE FDC BA E小初高中全科教育、中高考保分计划、晚托管理、A level/AP 国际衔接地址：庆春路 38-1 金龙商务 7 楼电话：0571-2893918 212QPD CBAQPD CBA如图,在梯形 中， , ， 是腰ABCD34tan,2CDB PDAB,90上一个动点 (不含点 、 ),作 交 于点 .(图 1)PQQ(1)求 的长与梯形 的面积；(2)当 时,求 的长；( 图 2)PQ(3)设 ,试求 关于 的函数解析式,并写出定义域.yCxx（图 1） （图 2）
