1、 第九章Error! 计数原理与概率、随机变量及其分布第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理两个计数原理完成一件事的策略 完成这件事共有的方法分类加法计数原理有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法Nmn 种不同的方法分步乘法计数原理需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2步有 n 种不同的方法Nmn 种不同的方法小题体验1(教材习题改编)书架的第 1 层放有 4 本不同的语文书，第 2 层放有 5 本不同的数学书，第 3 层放有 6 本不同的体育书从第 1,2,3 层分别各取 1 本书，则不同的取法种数为( )A3 B
2、15C21 D120解析：选 D 由分步乘法计数原理，从 1,2,3 层分别各取 1 本书不同的取法总数为456120(种)故选 D.2(教材习题改编)从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数是_解析：从 0,1,2,3,4,5 六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类，取出的两数都是偶数，共有 3 种方法；取出的两数都是奇数，共有 3 种方法，故由分类加法计数原理得共有 N336 种答案：61分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的2分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部
3、分，而未完成这件事，步与步之间是相关联的小题纠偏1用 0,1,2，9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A243 B252C261 D279解析：选 B 0,1，2，9 共能组成 91010900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有 998648(个)，有重复数字的三位数有 900648252(个)2如图，从 A 城到 B 城有 3 条路；从 B 城到 D 城有 4 条路；从 A 城到 C 城有 4 条路，从 C 城到 D 城有 5 条路，则某旅客从 A 城到 D 城共有_条不同的路线解析：不同路线共有 344532(条) 答案：32考 点 一 分 类 加 法 计 数 原 理
4、 基 础 送 分 型 考 点 自 主 练 透 题组练透1某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友，每位朋友 1 本，则不同的赠送方法共有( )A4 种 B10 种C18 种 D20 种解析：选 B 分两种情况： 4 位朋友中有 2 个人得到画册，有 C 6(种) 赠送方法；244 位朋友中只有 1 个人得到画册，有 C 4( 种)赠送方法，所以不同的赠送方法共有146410( 种) ，故选 B.2椭圆 1 的焦点在 x 轴上，且 m1,2,3,4,5 ，n1,2,3,4,5,6,7 ，则这样的x2m y2n椭圆的个数为_解析：因为焦点在 x 轴上，所
5、以 mn.以 m 的值为标准分类，由分类加法计数原理，可分为四类：第一类：m5 时，使 mn，n 有 4 种选择；第二类：m4 时，使 mn，n有 3 种选择；第三类：m3 时，使 mn，n 有 2 种选择；第四类：m2 时，使 mn，n有 1 种选择故符合条件的椭圆共有 10 个答案：103(2017临沂模拟)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为_解析：根据题意，将十位上的数字按 1,2,3,4,5,6,7,8 的情况分成 8 类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是 8 个，7 个，6 个，5 个，4 个，3 个，2 个，1 个由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有
6、8765432136(个) ，故共有 36 个答案：36谨记通法利用分类加法计数原理解题时 2 个注意点(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏；(2)分类时，注意完成这件事件的任何一种方法必须属于某一类，不能重复考 点 二 分 步 乘 法 计 数 原 理 基 础 送 分 型 考 点 自 主 练 透 题组练透1将 3 张不同的奥运会门票分给 10 名同学中的 3 人，每人 1 张，则不同分法的种数是( )A2 160 B720 C240 D120解析：选 B 分步来完成此事第 1 张有 10 种分法；第 2 张有 9 种分法；第 3 张有 8种分法，则共有 1098
7、720( 种) 分法2已知集合 M3，2， 1,0,1,2，P(a，b)( a，bM) 表示平面上的点，则 P 可表示坐标平面上第二象限的点的个数为( )A6 B12 C24 D36解析：选 A 确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定 a，由于 a0，所以有 2 种方法由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数是 326.故选 A.3从1,0,1,2 这四个数中选三个不同的数作为函数 f(x)ax 2bxc 的系数，则可组成_个不同的二次函数，其中偶函数有_个( 用数字作答) 解析：一个二次函数对应着 a，b，c(a0) 的一组取值，a 的取法有 3 种，b 的取法有3 种，c 的取法有
8、2 种，由分步乘法计数原理知共有 33218(个) 二次函数若二次函数为偶函数，则 b0，同上可知共有 326(个) 偶函数答案：18 6谨记通法利用分步乘法计数原理解题时 3 个注意点(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事(3)对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定考 点 三 两 个 原 理 的 应 用 重 点 保 分 型 考 点 师 生 共 研 典例引领1如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为( )A24 B48 C72 D9
9、6解析：选 C 分两种情况：(1)A，C 不同色，先涂 A 有 4 种，C 有 3 种，E 有 2 种，B，D 有 1 种，有43224(种)涂法(2)A，C 同色，先涂 A 有 4 种，E 有 3 种，C 有 1 种，B，D 各有 2 种，有432248(种)涂法故共有 244872 种涂色方法2已知集合 M1,2,3,4，集合 A，B 为集合 M 的非空子集，若对xA ，yB ，x0，且 b 24ac0，因此只有当 a，c 同号时才有可能，共有 2 种情况，因此满足条件的集合 N 的个数是 102 8.答案：87在一个三位数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数” ，比如“1
10、02”， “546”为“驼峰数” 由数字 1,2,3,4 可构成无重复数字的“驼峰数”有_个解析：十位上的数为 1 时，有 213,214,312,314,412,413，共 6 个，十位上的数为 2 时，有 324,423，共 2 个，所以共有 628(个) 答案：88.如图所示，用五种不同的颜色分别给 A，B ，C，D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有_种解析：按区域分四步：第一步，A 区域有 5 种颜色可选；第二步，B 区域有 4 种颜色可选；第三步，C 区域有 3 种颜色可选；第四步， D 区域也有 3 种颜色可选由分步乘法计数原理，
11、共有 5433180(种) 不同的涂色方法答案：1809已知ABC 三边 a，b，c 的长都是整数，且 abc，如果 b25，则符合条件的三角形共有_个解析：根据三边构成三角形的条件可知，c3C ，求 m.m 18 m8解：(1)由 C A 1 得n 1 2n 1( n1)(n 2) 1.n 1n2即 n27n60.解得 n1，或 n6.由 A 知， n3，故 n6.2n 1(2)原不等式可化为 ，8！m 1！ 9 m！ 38！m！ 8 m！解得 m .2740m18，且 0m8，1m8.又 m 是整数，m7 或 m8.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2016福州八中 3 月模拟)甲、乙等
12、5 人在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有( )A12 种 B24 种C48 种 D120 种解析：选 B 甲、乙相邻，将甲、乙捆绑在一起看作一个元素，共有 A A 种排法，4 2甲、乙相邻且在两端有 C A A 种排法，故甲、乙相邻且都不站在两端的排法有12 3 2A A C A A 24(种) 4 2 12 3 22四面体的顶点和各棱中点共 10 个点，在其中取 4 个不共面的点，不同的取法共有_种解析：如图，从 10 个点中任取 4 个点的组合数为 C 210，其410中四点共面的可分为三类：(1)4 点在同一个侧面或底面的共 4 组，即 4C 60(种)；
13、46(2)每条棱的中点与它对棱的三点共面的有 6 种；(3)在 6 个中点中，四点共面的有 3 种则 4 点不共面的取法共有 210(6063) 141(种) 答案：1413从 1 到 9 的 9 个数字中取 3 个偶数 4 个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中，3 个偶数排在一起的有几个？(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？解：(1)分三步完成：第一步，在 4 个偶数中取 3 个，有 C 种情况；第二步，在 5 个34奇数中取 4 个，有 C 种情况；第三步， 3 个偶数，4 个奇数进行排列，有 A 种情况45 7所以符合题意
14、的七位数有 C C A 100 800( 个)34 45 7(2)上述七位数中，3 个偶数排在一起的有 C C A A 14 400( 个)34 45 3 5(3)在(1)中的七位数中，3 个偶数排在一起，4 个奇数也排在一起的有C C A A A 5 760(个) 34 45 3 4 2第三节 二项式定理1二项式定理(1)二项式定理：(ab) nC anC an1 bC ank bkC bn(nN *)；0n 1n kn n(2)通项公式：T k1 C ank bk，它表示第 k1 项；kn(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为 C ，C ，C .0n 1n n2二项式系数的性质小题体验
15、1(教材习题改编)已知 a0， 6 展开式的常数项为 15，则 a_.(ax x)解析：由 6 的常数项 C a415，且 a0，可得 a 1.(ax x) 26答案：12(12x) 7 展开式中 x3 的系数为_解析：T r1 C 17r (2x) rC (2) rxr，r7 r7令 r3.则 x3 的系数为 C (2) 335( 8)280.37答案：2803(教材习题改编) 8 的展开式中的有理项共有_ 项(x 124x)解析：T r1 C ( )8r r rC x ，r8 x ( 124x) ( 12) r8 46-3r 为 4 的倍数，故 r0,4,8，共 3 项答案：31二项式的通
16、项易误认为是第 k 项，实质上是第 k1 项2(ab) n与( ba) n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量 a 与第二个量 b 的位置不能颠倒3易混淆二项式中的“项” ， “项的系数” 、 “项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指 C (k0,1，n) kn小题纠偏1(2016湖南长沙一模)二项式( x2) 5 展开式中 x 的系数为( )A5 B16C80 D80解析：选 C 由二项式定理知，其展开式中含 x 的项为 T5C x(2) 4，故其系数为 C45(2) 480.选 C.452若(13x) n(其中
17、 nN 且 n6)的展开式中 x5 与 x6 的系数相等，则 n_.解析：(13x) n的展开式中含 x5 的项为 C (3x)5C 35x5，展开式中含 x6 的项为5n 5nC 36x6.6n由两项的系数相等得 C 35C 36，解得 n7.5n 6n答案：7考 点 一 二 项 展 开 式 中 特 定 项 或 系 数 问 题 题 点 多 变 型 考 点 多 角 探 明 锁定考向二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题常见的命题角度有：(1)求展开式中的某一项；(2)求展开式中的项的系数或二项式系数；(3)由已知条件求 n 的值或参数的值 题点全练角度一：求展开式中的某一项1(2017济南模拟)设 a (3x22x)d x，则二项式 6 展开式中的第 4 项为( )21 (ax2 1x)A1 280x 3 B1 280C240 D240解析：选 A 由微积分基本定理知 a4， 6 展开式中的第 4 项为 T31 C (4x2)(4x2 1x) 363 31 280 x3，选 A.( 1x)
