1、 2010 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学( 文史类)源:一、选择题1.设集合 A=3,5,6,8,集合 B=4,5,7,8,则 AB 等于 ( )A.3,4,5,6,7,8 B.3,6 C. 4,7 D.5,8【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】直接给出集合，用列举法求两集合交集.【参考答案】D【试题解析】集合 A 与集合 B 中的公共元素为 5,82.函数 y= 的图象大致是 ( )2logxA B C D【测量目标】对数函数的图象和基本性质.【考查方式】直接给出对数函数解析式，判断其函数图象.【参考答案】C【试题解析】由 ，知图象过（1,0）点且单调递增,所以选 C.2
2、logyx3.抛物线 的焦点到准线的距离是 ( )28A. 1 B.2 C.4 D.8【测量目标】抛物线的定义.【考查方式】直接由抛物线解析式求解.【参考答案】C【试题解析】由 y22px 8x 知 p4，w， ，有交点到准线的距离就是 p，则抛物线到准线的距离为 4.4.一个单位有职工 800 人,其中具有高级职称的 160 人,具有中级职称的 320 人,具有初级职称的 200 人,其余人员 120 人.为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法,从中抽取容量为 40 的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是 ( )A.12,24,15,9 B.9,12,12,7 C.8,15,12,5
3、 D.8,16,10,6【测量目标】分层抽样.【考查方式】根据分层抽样方法由整体人数估计各层人数. 【参考答案】D【试题解析】因为 ，40182故各层中依次抽取的人数分别是 , , , .608321601265.函数 的图像关于直线 对称的充要条件是 ( )2()1fxmxA. B. C. D.2m1m【测量目标】充要条件的意义、函数图象与直线的关系.【考查方式】根据函数图象对称轴求解.【参考答案】A【试题解析】函数 f(x)x 2mx1 的对称轴为 x . (). k）u.c o*m2步 骤 1于是 1 m2（步骤 2）6.设点 是线段 的中点,点 在直线 外, , ,MBCABC6ABC
4、A则 ( )AA.8 B.4 C.2 D.1【测量目标】向量加法、减法的运算，平面向量的数量积.【考查方式】给出各向量的关系，借助向量加减法的运算求解.【参考答案】C【试题解析】由 16,得 4（步骤 1）w_w w. k#s5_u.c o*m()2BC4（步骤 2）AA而 CM故 2（步骤 3）AM7.将函数 的图像上所有的点向右平行移动 个单位长度 ,再把所得各点的横sinyx10坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变）,所得图像的函数解析式是 ( )A. B.si()10ysin(2)5xC. Dyn2x10【测量目标】函数 的图象及其变换.sinyAx【考查方式】已知正弦函数图象，判断它
5、经过变换后的图象. 【参考答案】C【试题解析】将函数 的图像上所有的点向右平行移动 个单位长度,所得函sinyx10数图象的解析式为 ysin(x )w w w. k#s5_u.c o*m10（ 步 骤 ）再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变）,所得图像的函数解析式是.（步骤 2）1sin()20yx8.某加工厂用某原料由车间加工出 产品,由乙车间加工出 产品.甲车间加工一箱原料AB需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克 产品,每千克 产品获利 40 元.乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克 产品,每千克 产品获利 50 元.甲、乙两车间每天功能B完成至多
6、 70 多箱原料的加工,每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过 480 小时,甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为 ( )A 甲车间加工原料 10 箱,乙车间加工原料 60 箱B 甲车间加工原料 15 箱,乙车间加工原料 55 箱 C 甲车间加工原料 18 箱,乙车间加工原料 50 箱 D 甲车间加工原料 40 箱,乙车间加工原料 30 箱高第 G29【测量目标】二元线性规划的实际应用. 【考查方式】根据题目得出变量约束条件,画图求目标函数的最优解.【参考答案】B 【试题解析】设甲车间加工原料 x 箱,乙车间加工原料 y 箱则 （步骤 1）701648,xyN目标函数 z280x300y结合图象可
7、得：当 x15,y 55 时 z 最大（步骤 2）本题也可以将答案逐项代入检验.5_u.c o*m9.由 1、2、3、4、5 组成没有重复数字且 1、2 都不与 5 相邻的五位数的个数是 ( )A.36 B.32 C.28 D.24【测量目标】排列组合的应用.【考查方式】根据题目所给条件分类讨论，得出满足条件的个数.【参考答案】A【试题解析】如果 5 在两端,则 1、2 有三个位置可选,排法为 2 24 种（步骤23A1）如果 5 不在两端,则 1、2 只有两个位置可选,3 12 种（步骤 2）2共计 122436 种 o*m.（步骤 3）10.椭圆 的右焦点为 F,其右准线与 轴的交点为 在
8、椭圆上210xyab xA存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F,则椭圆离心率的取值范围是 ( )A. B. C. D.20， 102， 2112，【测量目标】椭圆的标准方程、几何性质和垂直平分线的性质.【考查方式】已知椭圆的标准方程形式、椭圆中线段间的特殊关系，利用线段关系转化为离心率求解.【参考答案】D【试题解析】由题意,椭圆上存在点 P,使得线段 AP 的垂直平分线过点 ,w_w w. k#s5_u.c o*mF即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等而|FA|22abc|PF| ac, ac（步骤 1）于是 ac,ac 2即 acc 2 b2 ac .2 22ac （步骤 2
9、）1ca或又 e(0,1)故 e （步骤 3）1,211.设 ,则 的最小值是 ( )0ab 21abA.1 B.2 C.3 D.4【测量目标】基本不等式求最值.【考查方式】通过添项，化为基本不等式形式求最值.【参考答案】D【试题解析】 w_w w. k#s5_u.c o*m21ab 2() 11()()abba224（步骤 1）当且仅当 ab1,a(ab)1 时等号成立如取 a ,b 满足条件 .（步骤 2）212.半径为 的球 的直径 垂直于平面 ,垂足为 , 是平面 内边长为ROABBCD 的正三角形,线段 、 分别与球面交于点 、 ,那么 、 两点间的球面距离CDMN是 ( ) A.
10、B.17arcos2518arcos25RC. D. 3R4【测量目标】余弦定理、三角形中两直线平行的条件 【考查方式】做辅助线求出相关量，借助余弦定理求解.【参考答案】A【试题解析】由已知,AB2R,BCR,故 tanBAC 12cosBAC （步骤 1）w_w w. k#s5_u.c o*m5连结 OM,则OAM 为等腰三角形AM2AO cosBAC ,同理 AN ,且 MN CD45R45R而 AC R,CDR故 :MNCDA MN ,(步骤 2)45连结 OM、ON,有 OMONR于是 cosMON22175ONMA所以 M、N 两点间的球面距离是 .（步骤 3）arcos二、填空题w
11、_w w. k#s5_u.c o*m13.(x )4 的展开式中的常数项为 _(用数字作答)2【测量目标】二项式定理.【考查方式】由二项式展开式，求满足特殊条件的项.【参考答案】24【试题解析】展开式的通项公式为 Tr1 （步骤 1）42C()rrx取 r2 得常数项为 (2) 224. _w w. k#s5_u.c o*m4（ 步 骤 ）14.直线 与圆 相交于 A、B 两点,则 .50xy28xy【测量目标】圆的标准方程、圆与直线的位置关系.【考查方式】直接给出圆和直线的方程，求交点距离.【参考答案】 23【试题解析】圆心为(0,0),半径为 2 w_w w. k#s5_u.c o*m圆心
12、到直线 的距离为 d （步骤 1）50xy2|05|1()故 2|AB得|AB| 2 （步骤 2）315.如图,二面角 的大小是 60 ,线段 . , lABl与 所成的角为 30 .则 与平面 所成的角的正弦值是 .ABl【测量目标】直线与平面所成角、二面角的概念.【考查方式】做辅助线将线面角转化为三角形的内角求解. 【参考答案】 34【试题解析】过点 A 作平面 的垂线,垂足为 C,在 内过 C 作 l 的垂线.垂足为 D,连结 AD,有三垂线定理可知 ADl,故ADC 为二面角 的平面角为 60 （步骤 1） 又由已知,ABD30 连结 CB,则ABC 为 与平面 所成的角 AB设 AD
13、2,则 AC ,CD1 w_w w. k#s 3AB 4（步骤 2）sin0DsinABC .（步骤 3）ACB（16）设 为复数集 的非空子集.若对任意 ,都有 ,则称 为封SxySxy,S闭集.下列命题：w_w w. k#s5_u.c o*m集合 （ 为整数 , 为虚数单位）为封闭集；iab,i若 为封闭集,则一定有 ；S0S封闭集一定是无限集； 若 为封闭集,则满足 的任意集合 也是封闭集.TCT其中真命题是 （写出所有真命题的序号）【测量目标】集合的含义、集合之间包含的关系、复数代数形式的四则运算.【考查方式】给出满足封闭集的条件，运用特殊值法直接判断集合是否满足条件.【参考答案】w_
14、w【试题解析】直接验证可知正确.当 为封闭集时,因为 xy ,取 xy,得 0 ,正确SSS对于集合 0,显然满足素有条件,但 S 是有限集,错误取 0, 0,1,满足 ,但由于 011 ,故 不是封闭集,错误 w. k#s5_u.c o*mTTCT三、解答题：本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 12 分）某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“ 谢谢购买 ”字样,购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为 .甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料.16（）求三位同学都没有中奖的概率；w_w w. k#s5_u.c
15、 o*m（）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率.【测量目标】相互独立事件同时发生的概率、互斥事件概率加法公式.【考查方式】 （1）直接利用独立事件的概率公式求解.（2）由已知，直接利用互斥事件的加法公式求解.【试题解析】 （）设甲、乙、丙中奖的事件分别为 A、B、C,那么（步骤 1）.6PABC（步骤 2）35.6P答：第三位同学都没有中奖的概率是 .（步骤 3）12（） 1ABCABC=23523.67或 （步骤 3）25.7PABAB答：三位同学中至少有两位没有中奖的概率为 （步骤 4）18.（本小题满分 12 分）在正方体 ABCDABC D中 ,点 M 是棱 AA的中点,点 O 是对
16、角线 BD的中点.（）求证：OM 为异面直线 AA和 BD的公垂线； （）求二面角 MBCB的大小 【测量目标】线线平行、垂直，线面垂直，二面角的概念.【考查方式】 （1）通过做辅助线转化线段位置、通过线面垂直证明线线垂直.（2）做辅助线将二面角转化为三角形内角求解.【试题解析】 （1）连接 AC,取 AC 的中点 K,则 K 为 BD 的中点,连接OK.因为点 M 是棱 的中点,点 O 是 的中点,ABD所以 且 /2D1,2所以 （步骤 1） .OK且由 得 （步骤 2）,因为 所以,AB,AKBD平 面所以 .AKBD所以 （步骤 3）MO又因为 OM 与异面直线 都相交,AB和故 OM
17、 为异面直线 的公垂线.（步骤 4）和（2）取 的中点 N,连接 MN,则 过点 N 作 于 H,连接 .MCB平 面 BCMH,则由三垂线定理得, 从而, 为二面角 的平面角.（步骤.CHM5）设 AB=1,则 MN=1, （步骤 6）12sin45.4BA在 中,RtMNH tan.NH故二面角 的大小为 （步骤 7）BCarctn2.19.（本小题满分 12 分）w_w w. k#s5_u.c o*m（） 证明两角和的余弦公式 ； 1 oscosins:()由 推导两角和的正弦公式 . 2 incoiS（）已知 求431cos,(,)ta,(,)5232s()【测量目标】两角和的正、余弦
18、公式，诱导公式，同角三角函数的关系.【考查方式】 （1） 建立直角坐标系，根据两点间距离公式证明. 借助诱导公式证明. 1 2（2）同角三角函数的转换.【试题解析】 （1） 在直角坐标系 xOy 内作单位圆 O,并作出角 与 ,使角 的始边 1 ,为 Ox,交圆 O 于点 ,终边交圆 O 于点 ;角 的始边为 ,终边交圆 O 于点 ,角P2P2P3P的始边为 ,终边交圆 O 于点14.则 120cosin,3 4s,cos,in.PP由 及两点间的距离公式,得 124（步骤222cossincsosinsi.1）展开并整理,得 coi.（步骤 2）coscossin.由 易得, （步骤 3）
19、2 1 i,cos.2.sincoscos2= insi2= sincosi.（步骤 4）i cn(2) 34,cos.25（步骤 1）sin.5,ta.23（步骤 5）10cos,sin.()cois（步骤 6）4310103.5520 （本小题满分 12 分）w_w w. k#s5_u.c o*m已知等差数列 的前 3 项和为 6,前 8 项和为 4.na（）求数列 的通项公式； w_w w. k#s5_u.c o*m（）设 ,求数列 的前 n 项和1*(4)(0,)nnbqNbnS【测量目标】等差数列的前 n 项和.【考查方式】 （1）根据等差数列的前 n 项和求通项公式.（2）借助等差
20、数列求和公式，利用裂项相消法求和.【试题解析】 （1）设 的公差为 d,由已知得na解得 （步骤 1）136,824.ad13,.ad故 （步骤 2）.nn（2）由（2）的解答可得, 于是1bqA（步骤 3）0123.nnSqA若 将上式两边同乘以 q 有 , 121.nnnSqqA A（步骤 4）两式相减得到1211nnqS= nq= 11nnq于是, .（步骤 5）nS1n21.（本小题满分 12 分）w_w w. k#s5_u.c o*m已知定点 A( 1,0),F(2,0),定直线 l：x ,不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是它到直线 l12的距离的 2 倍.设点 P 的轨迹
21、为 E,过点 F 的直线交 E 于 B、C 两点,直线 AB、AC 分别交 l 于点 M、N（）求 E 的方程；（）试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F,并说明理由.【测量目标】轨迹方程、双曲线的标准方程、向量的垂直、直线与双曲线的位置关系.【考查方式】 （1）直接根据坐标系中线段间的关系求轨迹方程.（2）利用分类讨论思想，运用联立方程后根的个数反映直线与双曲线位置关系这一思想，向量与直线的垂直求解.【试题解析】 （1）设 ,则Pxy2,xy化简得 （步骤 1）210.3（2） 当直线 BC 与 x 轴不垂直时,设 BC 的方程为 （步骤 2） 1 20.ykx与双曲线方程 联立消去 y
22、 得213yx22340.kk由题意知, （步骤 3）0,且设 则12,BxyC221143,.kkxx22112112k= = （步骤 4）224384k293.k因为 12,x所以直线 AB 的方程为 因此 M 点的坐标为1,yx13,2yx132,.FMx同理可得 （步骤 5）21,yN因此 12934yFxA=22289341k=0.（步骤 6）当直线 BC 与 x 轴垂直时,其方程为 则 2 ,x2,3,.BCAB 的方程为 因此 M 点的坐标为1.y1,.2FM同理可得 .（步骤 7）3,2FN因此 330.22FMNA综上, 即0FN故以线段 MN 为直径的圆过点 F.（步骤 8
23、） 22.（本小题满分 14 分）w_w w. k#s5_u.c o*m设 （ 且 ）,g(x)是 f(x)的反函数.1xaf()01a（）求 ；g（）当 时,恒有 成立,求 t 的取值范围；26x2()log(1)7atxx（）当 0a 时,试比较 f(1)+f(2)+f(n)与 的大小,并说明理由.12 4n【测量目标】反函数、对数函数的性质，导数的单调性与导数的关系【考查方式】给出函数解析式（1）直接借助反函数概念计算.（2）运用分类讨论思想，导数和函数增减性的关系求函数最值，求未知量的范围.（3）借助分类讨论思想推理求解.【试题解析】 （1）由题意得, （步骤 1）.xya故 （步骤
24、2）log,.ax（2）由 得21llog(1)7aatxx当 a1 时, （步骤 3） 1 20.()t又因为 所以,6x2017.tx令 231795,26,h x则 （步骤 4）385.xxx列表如下：x 2 (2,5) 5 （5,6） 6h9 + 0 155 单调增加 极大值 32 单调减少 25所以 所以 .（步骤 5）=5.hx极 小 值 0t当 032. 1 =3最 大 值 ，综上,当 a1 时,032.（步骤 7）(3)设 则,1p.当 n=1 时, 当235.f2n时 ，设 时,*2,kN则 （步骤 8）1212.CCkk kkaf ppp所以 1244.Ckf 从而 2311.2fffnn 所以 1 4f 综上,总有 （步骤 9）.f
