2009四川高考数学试卷及解析.doc

1、- 1 -2009 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理工农医科）第卷一、选择题：1.设集合 则2|5,|410,SxTxST. . . .|7|35|53x|75x【考点定位】本小题考查解含有绝对值的不等式、一元二次不等式，考查集合的运算，基础题。解析：由题 ，故选择 C。),7(T),5(S解析 2：由 故 ，故选 C|x|3x|53STx.已知函数 连续，则常数 的值是2log()() 24afx当 时 在 点 处当 时 ） a. . . .w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【考点定位】本小题考查函数的连续性，考查分段函数，基础题。解析：由题得 ，故选择 B。32lo

2、g2aa解析 2：本题考查分段函数的连续性由 ，2224lim()lilim()4xxxf，由函数的连续性在一点处的连续性的定义知 ，可得2()log1fa 2li()xff故选 B3.复数 的值是2(1)4i. . . .ii【考点定位】本小题考查复数的运算，基础题。解析： ，故选择 A。1259625)43(43)21( iii4.已知函数 ，下面结论错误的是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ()sn)(fxxRA.函数 的最小正周期为 B.函数 在区间 上是增函数f2()fx0,2- 2 -C.函数 的图像关于直线 对称 D.函数 是奇函数()fx0x()fx【考点定位】本小题考

3、查诱导公式、三角函数的奇偶性、周期、单调性等，基础题。 （同文 4）解析：由函数的 可以得到函数 是偶函数，所以选择 D()sin)cos()2f R()fx5.如图，已知六棱锥 的底面是正六边形， ，则下列结论正PABCDEF,2PABCPA平 面确的是. .平面 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m B平 面C. 直线 平面 PAE. DC直 线 与 平 面 所 成 的 角 为 45【考点定位】本小题考查空间里的线线、线面关系，基础题。 （同文 6）解：由三垂线定理，因 AD 与 AB 不相互垂直，排除 A；作 于 ，PBG因面 面 ABCDEF，而 AG 在面 ABCDEF 上的射影在

4、 AB 上，而 AB 与 BC 不相互垂直，故排除 B；由PAB，而 EF 是平面 PAE 的斜线，故排除 C，故选择 D。EFC/解析 2：设低面正六边形边长为 ，则 ，由 平面 可知a2,2aAC， 且 ，所以在 中有直线 与平面 所成的角为 ，故应选 D。PADARtPAEPE456.已知 为实数，且 。则“ ”是“ ”的,abcdcdbcbdA. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m C充要条件 D. 既不充分也不必要条件【考点定位】本小题考查不等式的性质、简单逻辑，基础题。 （同文 7）解析： 推不出 ；但 ，故选择 B。bacbdbdca

5、dbca解析 2：令 ，则 ；由 可,13,513(5)8acbd得， 因为 ，则 ，所以 。故“ ”是“ ”的必()c0c要而不充分条件。7.已知双曲线 的左右焦点分别为 ，其一条渐近线方程为 ，点21()xyb12,Fyx在该双曲线上，则 =0(3,)P12PFA. B. C .0 D. 4 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 122- 3 -【考点定位】本小题考查双曲线的渐近线方程、双曲线的定义，基础题。 （同文 8）解析：由题知 ，故 ，2b )0,2(,(,1230 Fy ，故选择 C。43),()1,(1 PF解析 2：根据双曲线渐近线方程可求出双曲线方程 ，则左、右焦点21x

6、y坐标分别为 ，再将点 代入方程可求出12(,0)(,0(3,)P，则可得 ，故选 C。(3,P1PF8.如图，在半径为 3 的球面上有 三点， ，球心 到平面 的距离,AB9,BACOABC是 ，则 两点的球面距离是2BC、A. B. C. D. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3432【考点定位】本小题考查球的截面圆性质、球面距，基础题。 （同文 9）解析：由知截面圆的半径，故 ，所以 两点的球面距离为32234189BCr 3BOCB、，故选择 B。3解析 2：过球心 作平面 的垂线交平面与 ， ，则 在直线 上，由于OAD,ABDAC， ，所以 ，由 为等腰直角三角形可得3D2

7、32C32CB，所以 为等边三角形，则 两点的球面距离是 。BB,B9.已知直线 和直线 ，抛物线 上一动点 到直线 和直线 的距1:4360lxy2:1lx24yxP1l2l离之和的最小值是A.2 B.3 C. D. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 5376【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。解析：直线 为抛物线 的准线，由抛物线的定义2:1lx24yx- 4 -知，P 到 的距离等于 P 到抛物线的焦点 的距离，故本题化为在抛物线 上找一个点 使2l )0,1(F24yxP得 到点 和直线 的距离之和最小，最小值为 到直线 的距离，即)0,1(F2l ),(

8、1:360l，故选择 A。5|64|mind解析 2：如下图，由题意可知 2|3106|4d10.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用A 原料 1 吨、B 原料 3 吨。销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨乙产品可获得利润 3 万元，该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨，B 原料不超过 18 吨，那么该企业可获得最大利润是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A. 12 万元 B. 20 万元 C. 25 万元 D. 27 万元 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【考点定位】本小题考查简单的线性规划

9、，基础题。 （同文 10）解析：设甲、乙种两种产品各需生产 、 吨，可使利润 最大，故本题即xyz已知约束条件 ，求目标函数 的最大值，可01832yxyz35求出最优解为 ，故 ，故选择 D。4271maxz11.3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 【考点定位】本小题考查排列综合问题，基础题。解析：6 位同学站成一排，3 位女生中有且只有两位女生相邻的排法有 种，其中男生32243AC甲站两端的有 ，符合条件的排法故共有 188142321AC解析 2：由题

10、意有 ,选 B。2222334()()18A- 5 -12.已知函数 是定义在实数集 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 都有()fxRx，则 的值是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (1xf5()2fA.0 B. C.1 D. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2【考点定位】本小题考查求抽象函数的函数值之赋值法，综合题。 （同文 12）解析：令 ，则 ；令 ，则1x 0)21()(21)()( ffff x0)(f由 得 ，所以()()ffx)()xf，故选择 A。0)(25(0)21(35)2(3)(25)( ffffff2009 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数

11、学（理科）第卷考生注意事项：请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分把答案填在题中横线上13. 的展开式的常数项是 （用数字作答）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 61(2)x【考点定位】本小题考查二项式展开式的特殊项，基础题。 （同文 13）解析：由题知 的通项为 ，令 得 ，故常数项6()2x rrr xCT2661)(03r为 。0)1(36C14.若 与 相交于 A、B 两点，且两圆在点 A 处的2:5Oy22:()0()xmyR切线互相垂直，则线段 AB 的长度是 w 【考点定位】本小

12、题考查圆的标准方程、两直线的位置关系等知识，综合题。解析：由题知 ，且 ，又 ，所以有)0,(),21 53|21O，55(2 mm- 6 -。4520AB15.如图，已知正三棱柱 的各条棱长都相等， 是侧 棱 的中点，则异面直线1ABCM1C所成的角的大小是 。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m M和【考点定位】本小题考查异面直线的夹角，基础题。解析：不妨设棱长为 2，选择基向量 ，则,1BCA112,BA，故填写 。05205)()(,cos 111 Mo9法 2：取 BC 中点 N，连结 ，则 面 ， 是 在面 上的射影，由几何知识B1ACB1N11ABC知 ，由三垂线定理得 ，故填

13、写 。B1 Mo9016设 是已知平面 上所有向量的集合，对于映射 ，记 的象为 。若映射V Vaf,: )(af满足：对所有 及任意实数 都有 ，则 称f:Vba,)(bfbf为平面 上的线性变换。现有下列命题：M设 是平面 上的线性变换，则 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m f 0)(f对 设 ，则 是平面 上的线性变换；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m Vaa2)(M若 是平面 上的单位向量，对 设 ，则 是平面 上的线性变换；eVeaf)(fM设 是平面 上的线性变换， ，若 共线，则 也共线。fMb, )(,b其中真命题是 （写出所有真命题的序号）【考点定位】本小题考查新

14、定义，创新题。解析：令 ，由题有 ，故正确；1,0ba 0)(02)(ff由题 ， ，即(2)(baf )(2baaba，故正确；)f- 7 -由题 ， ，即ebaf)( ebabfa)(，故不正确；)(fba由题 ， ，即)(0)(0 ff也共线，故正确；)(,f三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. （本小题满分 12 分）在 中， 为锐角，角 所对应的边分别为 ，且ABC,ABC,abc310os2,in5AB（I）求 的值； w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （II）若 ，求 的值。21ab,abc本小题主要考查同角三角函数间的关

15、系，两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力。解：（） 、 为锐角， ，AB10sin2310cos1inBb又 ，23coi5A， ，5sin2s1in53102co()cosiABAB06 分4（）由（）知 , .3C2sin由正弦定理 得iiiabcABC，即 ， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 51025b- 8 -，21abQ，b12 分2,5ac18. （本小题满分 12 分）为振兴旅游业，四川省 2009 年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡） ，向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡） 。某旅游公司

16、组织了一个有 36 名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中 是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有 持金卡，在省内游客中有 持银34 1323卡。（I）在该团中随机采访 3 名游客，求恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率；（II）在该团的省内游客中随机采访 3 名游客，设其中持银卡人数为随机变量 ，求 的分布列及数学期望。E本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算，考察运用概率只是解决实际问题的能力。解：（）由题意得，省外游客有 27 人，其中 9 人持金卡；省内游客有 9 人，其中 6 人持银卡。设事件 为“采访该团 3 人中，恰有 1 人持金卡且

17、持银卡者少于 2 人” ，B事件 为“采访该团 3 人中，1 人持金卡，0 人持银卡” ，1A事件 为“采访该团 3 人中，1 人持金卡，1 人持银卡” 。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 212()()PB21996336C74085所以在该团中随机采访 3 人，恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率是 。36856 分（） 的可能取值为 0，1 ，2，3- 9 -, 391(0)84CP12639()4CP， ，216395() 3695()21所以 的分布列为0 1 2 3P1843415821所以 ， 12 分 50228E19（本小题满分 12 分）如图，正方形 所在

18、平面与平面四边形ABCD所在平面互相垂直， 是等腰直角三角形，ABFE,45EF（I）求证： ；B平 面（II）设线段 的中点为 ，在直线 上是否存在一点 ，使得 ？若存在，请指CDPAEMPBCEA平 面出点 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；M（III ）求二面角 的大小。FB本小题主要考察平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角等基础知识，考察空间想象能力、逻辑推理能力和数学探究意识，考察应用向量知识解决数学问题的能力。解法一：（）因为平面 平面 , 平面ABEFCDB，CD平面 平面 ，A所以 平面所以 .BEF因为 为等腰直角三角形， ，ABE所以 45又因

19、为 ，EF- 10 -所以 ，4590FEB即 ,所以 平面 。 4 分C（）存在点 ,当 为线段 AE 的中点时，P M平面MBCE取 BE 的中点 N，连接 AN,MN，则 MN PC12A所以 PMNC 为平行四边形，所以 PMCN因为 CN 在平面 BCE 内，PM 不在平面 BCE 内，所以 PM平面 BCE 8 分（）由 EAAB,平面 ABEF平面 ABCD，易知，EA平面 ABCD作 FGAB,交 BA 的延长线于 G，则 FGEA。从而，FG平面 ABCD作 GHBD 于 G，连结 FH，则由三垂线定理知，BDFH因此，AEF 为二面角 F-BD-A 的平面角因为 FA=FE

20、, AEF=45,所以AFE=90，FAG=45.设 AB=1,则 AE=1,AF= . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2FG=AFsinFAG= 1在 RtFGH 中，GBH=45,BG=AB+AG=1+ = ,123GH=BGsinGBH= =324在 RtFGH 中，tanFHG= = FGH23故二面角 F-BD-A 的大小为 arctan . 12 分解法二:()因为ABE 为等腰直角三角形,AB=AE,所以 AEAB.又因为平面 ABEF平面 ABCD,AE 平面 ABEF,- 11 -平面 ABEF平面 ABCD=AB,所以 AE平面 ABCD.所以 AEAD.因此,A

21、D,AB,AE 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系 A-xyz.设 AB=1,则 AE=1，B（0 ，1，0 ） ，D (1, 0, 0 ) ,E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).因为 FA=FE, AEF = 45,所以AFE= 90.从而， .1(0,)2F所以 , , .E(01)BE(,0)C, .F所以 EFBE, EFBC.因为 BE 平面 BCE,BCBE=B ,所以 EF平面 BCE.() M（0，0， ）.P （1, ,0）.12从而 =（ ， ）.P,于是 11 , 2EF（ ， ） （ 0， ） =所以 PMFE，又 EF平面

22、BCE，直线 PM 不在平面 BCE 内，故 PM平面 BCE. 8 分() 设平面 BDF 的一个法向量为 ，并设 =（x，y，z）1n1=(1， 1，0)，BD3(0,)2BF即1n1xyz去 y=1，则 x=1，z=3，从 =（0，0，3）1n取平面 ABD 的一个法向量为 =（0 ，0，1）2- 12 -121231cos,|n故二面角 F-BD-A 的大小为 . 12 分arcos120（本小题满分 12 分）已知椭圆 的左右焦点分别为 ，离心率 ，右准线方程为 。2(0)xyab12,F2e2x（I）求椭圆的标准方程；（II）过点 的直线 与该椭圆交于 两点，且 ，求直线 的方程。

23、1Fl,MN263Nl本小题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理运算能力。解：（）有条件有 ，解得 。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2caca2c=1，。2ba1所以，所求椭圆的方程为 。4 分2xy1（）由（）知 、 。1(,0)F2（ ， ）若直线 l 的斜率不存在，则直线 l 的方程为 x=-1.将 x=-1 代入椭圆方程得 。y2不妨设 、 ，(1,)M1N（ ， ）.22(,)(,)(4,0)Fuv,与题设矛盾。4直线 l 的斜率存在。- 13 -设直线 l 的斜率为 k，则直线的方程为 y=k（x+1） 。设 、 ，1(xy)M， 2

24、(,)Nxy联立 ，消 y 得 。2y1=k(x+)22()40kxk由根与系数的关系知 ，从而 ，12212122()kyx又 ， ，21(,)FMxy22(,)FNx。1,y22221()()x228kk42(169)k。422()()13k化简得 42070解得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2k或 者1. 11lyxyx所 求 直 线 的 方 程 为 或 者21. （本小题满分 12 分）已知 函数 。0,1a且 ()log()xaf（I）求函数 的定义域，并判断 的单调性；()fxf（II）若()*,lim;fnnNa求（III ）当 （ 为自然对数的底数）时，设 ，若函数

25、 的极值存ae()2()11)fxhem()hx在，求实数 的取值范围以及函数 的极值。()x- 14 -本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。解：（）由题意知 10xa当 0() 1()0af afx时 ， 的 定 义 域 是 （ ， ） ； 当 时 ， 的 定 义 域 是 （ ， ）lnog11ae xx-f()=当 0(0,).0,xxaa时 ， 因 为 故 f0,因为 n 是正整数，故 0 n对一切大于 1 的奇数 n 恒成立4,4Rn即 （ ）只对满足 的正奇数 n 成立，矛盾。, 1否 则 ， （ ） 4另一方面，当 时，对一切的正整数 n 都有R事实上，对任意的正整数 k，有2121258(4)()1nkkb0(16)()4kk588()kk- 17 -当 n 为偶数时，设*2()mN则 123421() )mRbbbK w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 8当 n 为奇数时，设 *()N则 12342321()mmRbbbK88mn对一切的正整数 n，都有R综上所述，正实数 的最小值为 4.14 分