1、高等数学教案 第七章 微分方程教学目的：1了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。2熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。3会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。4 会用降阶法解下列微分方程： ， 和()nyfx(,)yfx(,)yf5 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。6掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。9会解
2、微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。教学重点：1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法2、可降阶的高阶微分方程 ， 和()nyfx(,)yfx(,)yf3、二阶常系数齐次线性微分方程；4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；教学难点：1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程；2、线性微分方程解的性质及解的结构定理；3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。高等数学教案 7 1 微分方程的基本概念函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究
3、因此如何寻找出所需要的函数关系 在实践中具有重要意义 在许多问题中 往往不能直接找出所需要的函数关系 但是根据问题所提供的情况 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式 这样的关系就是所谓微分方程 微分方程建立以后 对它进行研究 找出未知函数来 这就是解微分方程 例 1 一曲线通过点(1 2) 且在该曲线上任一点 M(x y)处的切线的斜率为 2x 求这曲线的方程解 设所求曲线的方程为 yy(x) 根据导数的几何意义 可知未知函数 yy(x)应满足关系式(称为微分方程) (1) xdy2此外 未知函数 yy(x)还应满足下列条件 x1 时 y2 简记为 y|x12 (2)把(1)式两端积分
4、得(称为微分方程的通解 ) 即 yx2C (3) d其中 C 是任意常数 把条件“x1 时 y2”代入(3)式 得212C 由此定出 C1 把 C1 代入(3)式 得所求曲线方程( 称为微分方程满足条件 y|x12 的解) yx21 例 2 列车在平直线路上以 20m/s(相当于 72km/h)的速度行驶 当制动时列车获得加速度04m/s2 问开始制动后多少时间列车才能停住 以及列车在这段时间里行驶了多少路程 ?解 设列车在开始制动后 t 秒时行驶了 s 米 根据题意 反映制动阶段列车运动规律的函数ss(t)应满足关系式 (4)4.02d此外 未知函数 ss(t)还应满足下列条件 t0 时 s
5、0 简记为 s|t0=0 s|t0=20 (5)2dv高等数学教案 把(4)式两端积分一次 得 (6)14.0Ctdsv再积分一次 得s02t2 C1t C2 (7)这里 C1 C2 都是任意常数 把条件 v|t020 代入(6) 得20C1 把条件 s|t00 代入(7)得 0C2 把 C1 C2 的值代入(6) 及(7) 式得v04t 20 (8)s02t220t (9)在(8)式中令 v0 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间(s) 54.t再把 t50 代入(9) 得到列车在制动阶段行驶的路程s025022050500(m) 几个概念 微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之
6、间的关系的方程 叫微分方程 常微分方程 未知函数是一元函数的微分方程 叫常微分方程 偏微分方程 未知函数是多元函数的微分方程 叫偏微分方程 微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数 叫微分方程的阶 x3 yx2 y4xy3x2 y(4) 4y10y12y5ysin2x y(n) 10 一般 n 阶微分方程 F(x y y y(n) )0 y(n)f(x y y y(n1) ) 微分方程的解 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式 )叫做该微分方程的解 确切地说 设函数 y(x)在区间 I 上有 n 阶连续导数 如果在区间 I 上 高等数学教案 Fx (x)
7、 (x) (n) (x)0 那么函数 y(x)就叫做微分方程 F(x y y y(n) )0 在区间 I 上的解 通解 如果微分方程的解中含有任意常数 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同 这样的解叫做微分方程的通解 初始条件 用于确定通解中任意常数的条件 称为初始条件 如xx0 时 yy 0 y y0 一般写成 0x0x特解 确定了通解中的任意常数以后 就得到微分方程的特解 即不含任意常数的解 初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题 如求微分方程 yf(x y)满足初始条件 的解的问题 记为0yx 0,x积分曲线 微分方程的解的图形是一条曲线 叫做微分方程的积分曲线 例 3
8、验证 函数 xC1cos ktC2 sin kt 是微分方程 的解 02xkdt解 求所给函数的导数 kttkdtcossin21 )sinco(in2122 ktCtCx 将 及 x 的表达式代入所给方程 得2dtk2(C1cos ktC2sin kt) k2(C1cos ktC2sin kt)0 这表明函数 xC1cosktC2sinkt 满足方程 因此所给函数是所给方程的解 xkdt例 4 已知函数 xC1cosktC2sinkt(k0)是微分方程 的通解 求满足初始条件2tx| t0 A x| t0 0的特解 高等数学教案 解 由条件 x| t0 A 及 xC1 cos ktC2 si
9、n kt 得C1A 再由条件 x| t0 0 及 x(t) kC1sin ktkC2cos kt 得C20 把 C1、C 2 的值代入 xC1cos ktC2sin kt 中 得xAcos kt 作业：P298：47 2 可分离变量的微分方程观察与分析 1 求微分方程 y2x 的通解 为此把方程两边积分 得yx2C 一般地 方程 yf(x)的通解为 (此处积分后不再加任意常数 ) Cdxfy)(2 求微分方程 y2xy2 的通解 因为 y 是未知的 所以积分 无法进行 方程两边直2接积分不能求出通解 为求通解可将方程变为 两边积分 得xdy12 或 Cxy21可以验证函数 是原方程的通解 一般
10、地 如果一阶微分方程 y(x, y)能写成g(y)dyf(x)dx高等数学教案 形式 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程G(y)F(x)C 由方程 G(y)F(x)C 所确定的隐函数就是原方程的通解对称形式的一阶微分方程 一阶微分方程有时也写成如下对称形式 P(x y)dxQ(x y)dy0在这种方程中 变量 x 与 y 是对称的 若把 x 看作自变量、y 看作未知函数 则当 Q(x,y)0 时 有 ),(d若把 y 看作自变量、x 看作未知函数 则当 P(x,y)0 时 有 ),(yPQ可分离变量的微分方程 如果一个一阶微分方程能写成g(y)dyf(x)dx (或写成 y(x)(y)
11、的形式 就是说 能把微分方程写成一端只含 y 的函数和 dy 另一端只含 x 的函数和 dx 那么原方程就称为可分离变量的微分方程 讨论 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？(1) y2xy 是 y1dy2xdx (2)3x25xy0 是 dy(3x 25x)dx(3)(x2y2)dxxydy=0 不是(4)y1xy2xy2 是 y (1x)(1y2)(5)y10xy 是 10 ydy10xdx(6) 不是可分离变量的微分方程的解法 第一步 分离变量 将方程写成 g(y)dy f(x)dx 的形式 第二步 两端积分 设积分后得 G(y)F(x)C df)(第三步 求出由 G(y)F(x)C
12、所确定的隐函数 y(x)或 x(y)高等数学教案 G(y)F(x)C y (x)或 x(y)都是方程的通解 其中 G(y)F(x)C 称为隐式( 通)解 例 1 求微分方程 的通解 d2解 此方程为可分离变量方程 分离变量后得 xy两边积分得 dy21即 ln|y|x2C1 从而 21xee因为 仍是任意常数 把它记作 C 便得所给方程的通解1 2xy例 2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量 M 成正比 已知 t0 时铀的含量为 M0 求在衰变过程中铀含量 M(t)随时间 t 变化的规律 解 铀的衰变速度就是 M(t)对时间 t 的导数 dt由于铀的衰变速度与其含量成正比 故得微分方程 t
13、其中 (0)是常数 前的曲面号表示当 t 增加时 M 单调减少 即 0dt由题意 初始条件为 M|t0M0 将方程分离变量得 dt两边积分 得 )(即 lnMtlnC 也即 MCet 由初始条件 得 M0Ce0C 所以铀含量 M(t)随时间 t 变化的规律 MM0et 例 3 设降落伞从跳伞塔下落后 所受空气阻力与速度成正比 并设降落伞离开跳伞塔时速高等数学教案 度为零 求降落伞下落速度与时间的函数关系 解 设降落伞下落速度为 v(t) 降落伞所受外力为 Fmgkv( k 为比例系数) 根据牛顿第二运动定律 Fma 得函数 v(t)应满足的方程为 kmgdt初始条件为v|t00 方程分离变量
14、得 mdtkg两边积分 得 v 1)ln(1Ctk即 ( ) tmegvk将初始条件 v|t00 代入通解得 g于是降落伞下落速度与时间的函数关系为 )1(tmkev例 4 求微分方程 的通解 21xydxy解 方程可化为 )(2y分离变量得 dxy)1(2两边积分得 即 )(2 Cxy21arctn于是原方程的通解为 )1tn2xy高等数学教案 作业：P304：1（1） （2） （3） （7） （9） （10） ，2（2） （4） ，37 3 齐次方程齐次方程 如果一阶微分方程 中的函数 f(x, y)可写成),(yxfd的函数 即 则称这方程为齐次方程 xy),(yxf下列方程哪些是齐次方
15、程？(1) 是齐次方程 02xy 1)(22xydxyd(2) 不是齐次方程 221 21(3)(x2y2)dxxydy0 是齐次方程 xydxyd(4)(2xy4)dx(xy1)dy0 不是齐次方程 142(5) 是齐次方程 ch3)sh2( dyxxxydxt2c齐次方程的解法 在齐次方程 中 令 即 yux 有)(ydu xu分离变量 得 du)(高等数学教案 两端积分 得 xdu)(求出积分后 再用 代替 u 便得所给齐次方程的通解 y例 1 解方程 dxy2解 原方程可写成 1)(2xydxy因此原方程是齐次方程 令 则uyux dx于是原方程变为 12ux即 d分离变量 得 xu)
16、1(两边积分 得 uln|u|Cln|x| 或写成 ln|xu|uC 以 代上式中的 u 便得所给方程的通解xy xy|ln例 2 有旋转曲面形状的凹镜 假设由旋转轴上一点 O 发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行 求这旋转曲面的方程 解 设此凹镜是由xOy面上曲线 L yy(x)(y0)绕x 轴旋转而成 光源在原点 在L上任取一点M(x, y) 作L的切线交 x轴于A 点O 发出的光线经点M反射后是一条平行于x轴射线 由光学及几高等数学教案 何原理可以证明OAOM 因为 xyOPMAPOcot而 2yx于是得微分方程 整理得 这是齐次方程 1)(2yxd问题归结为解齐次方程 1)(2y
17、xd令 即x yv 得 vyvv即 12d分离变量 得 ydv2两边积分 得 , , ,Cln)1ln(Cyv121)(2v 12Cyv以 yvx 代入上式 得 )2(2xy这是以 x 轴为轴、焦点在原点的抛物线 它绕 x 轴旋转所得旋转曲面的方程为)(2Cz这就是所求的旋转曲面方程 例 3 设一条河的两岸为平行直线 水流速度为 a 有一鸭子从岸边点 A 游向正对岸点 O 设鸭子的游速为 b(ba) 且鸭子游动方向始终朝着点 O 已知 OAh 求鸭子游过的迹线的方程 解 取 O 为坐标原点 河岸朝顺水方向为 x 轴 y 轴指向对岸 设在时刻 t 鸭子位于点 P(x, y) 则鸭子运动速度高等数
18、学教案 故有 ),() ,dtyxvyxyxv另一方面 ) ,()0 , 22xba ) ,(22yxba因此 即 yxvdyx1)(2 yxbd1)(问题归结为解齐次方程 a)(2令 即x yu 得uy 12bad分离变量 得 dyu两边积分 得 )ln(arshC将 代入上式并整理 得 yxu )(211babayx以x| yh0代入上式 得 故鸭子游过的轨迹方程为h 0yh )(21bay将 代入 后的整理过程 xulnarsCu)l(nrshybaCx)l( )(21abyx 2byy)()(11ababC高等数学教案 作业：P309：1（1） （3） （5） ，27.4 线性微分方程
19、一、 线性方程线性方程 方程 叫做一阶线性微分方程 )(xQyPdx如果 Q(x)0 则方程称为齐次线性方程 否则方程称为非齐次线性方程 方程 叫做对应于非齐次线性方程 的齐次线性方程 )( )(xQyPdx下列方程各是什么类型方程？(1) 是齐次线性方程ydx)2( 021yx(2) 3x25x5y0y3x25x 是非齐次线性方程 (3) yy cos xesin x 是非齐次线性方程(4) 不是线性方程d1(5) 或 不是线性方程0)(32xy0)1(23yxd32)1(xyd齐次线性方程的解法 齐次线性方程 是变量可分离方程 分离变量后得)(xPy d两边积分 得 1)(|lnCxPy或
20、 ) 1)(dee这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数） 高等数学教案 例 1 求方程 的通解 ydx)2(解 这是齐次线性方程 分离变量得 yd两边积分得ln|y|ln|x2|lnC 方程的通解为yC(x2) 非齐次线性方程的解法 将齐次线性方程通解中的常数换成 x 的未知函数 u(x) 把dxPeuy)(设想成非齐次线性方程的通解 代入非齐次线性方程求得 )()()()()( )()( xQexuPxx dPdxd 化简得 PeQu Cdxx)()(于是非齐次线性方程的通解为 )()(eeydxPdxP或 xQCd)()非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方
21、程的一个特解之和 例 2 求方程 的通解 25)1(xyd解 这是一个非齐次线性方程 先求对应的齐次线性方程 的通解 0xy分离变量得 高等数学教案 12xdy两边积分得 ln y2ln (x1)ln C 齐次线性方程的通解为yC(x1)2 用常数变易法 把 C 换成 u 即令 yu(x1)2 代入所给非齐次线性方程 得52 )11)()1(u x两边积分 得 Cu23)1(再把上式代入 yu(x1)2 中 即得所求方程的通解为 )3)例 3 有一个电路如图所示 其中电源电动势为 EEmsint(Em、 都是常数) 电阻 R 和电感L 都是常量 求电流 i(t) 解 由电学知道 当电流变化时
22、L 上有感应电动势 由回路电压定律得出dtiL 0iRdtE即 Li把 EEmsin t 代入上式 得 tiRdsn初始条件为i|t00 方程 为非齐次线性方程 其中tLEdmsin高等数学教案 LRtP)(tEtQmsin)(由通解公式 得)()()( CdtetetiPdt ) sin(CdteLEeLRmdtR)sinLEtLRtm tLRettR cos (2其中 C 为任意常数 将初始条件 i|t00 代入通解 得 2 ECm因此 所求函数 i(t)为 )cos sin( 22 tLtRLeLREtRm二、伯努利方程伯努利方程 方程(n0 1)yxQPdxy)(叫做伯努利方程 下列方
23、程是什么类型方程？(1) 是伯努利方程4)21(3yxdxy(2) 是伯努利方程55d(3) 是伯努利方程xy 1xy(4) 是线性方程 不是伯努利方程d42伯努利方程的解法 以 yn 除方程的两边 得)()(1xQPxyn令 z y1n 得线性方程高等数学教案 )(1)(xQnzxPdz例 4 求方程 的通解 2lyay解 以 y2 除方程的两端 得 xdxln1即 ay)(令 zy1 则上述方程成为 xzdxln这是一个线性方程 它的通解为 )(l2aCz以 y1 代 z 得所求方程的通解为 1)(lnx经过变量代换 某些方程可以化为变量可分离的方程 或化为已知其求解方法的方程 例 5 解
24、方程 yxd解 若把所给方程变形为 y即为一阶线性方程 则按一阶线性方程的解法可求得通解 但这里用变量代换来解所给方程 令 xyu 则原方程化为 即 d1udx1分离变量 得 u1两端积分得uln|u1|xln|C| 以 uxy 代入上式 得高等数学教案 yln|xy1|ln|C| 或 xCeyy1 作业：P315：1（1） （3） （5） （7） （9） ，2（1） （3） （5） ，7（1） （2）7 5 可降阶的高阶微分方程一 、y (n)f (x)型的微分方程解法 积分 n 次 1)1(Cdf 2)2( )(xyn 例 1 求微分方程 ye2xcos x 的通解 解 对所给方程接连积分
25、三次 得 12sinCx 2co41ey 312sin8xx这就是所给方程的通解 或 12i1Ceyx 2cos4x 312in81eyx这就是所给方程的通解 例 2 质量为 m 的质点受力 F 的作用沿 Ox 轴作直线运动 设力 F 仅是时间 t 的函数FF(t) 在开始时刻 t0 时 F(0)F0 随着时间 t 的增大 此力 F 均匀地减小 直到 tT 时 F(T)0 如果开始时质点位于原点 且初速度为零 求这质点的运动规律 解 设 xx(t)表示在时刻 t 时质点的位置 根据牛顿第二定律 质点运动的微分方程为高等数学教案 )(2tFdxm由题设 力 F(t)随 t 增大而均匀地减小 且
26、t0 时 F(0)F0 所以 F(t)F0kt 又当 tT 时 F(T)0 从而 )10Tt于是质点运动的微分方程又写为 )(2tmFdtx其初始条件为 0|t|tx把微分方程两边积分 得 120)(CTtFdtx再积分一次 得 21320)6(ttm由初始条件 x|t00 |td得 C1C20 于是所求质点的运动规律为 0tT )6(32tmFx二、y f( x y)型的微分方程 解法 设 yp 则方程化为pf(x p) 设 pf(x p)的通解为 p(xC1) 则 ,d原方程的通解为 21),(xy例 3 求微分方程(1x2)y2xy满足初始条件高等数学教案 y|x01 y|x03的特解
27、解 所给方程是 yf(x y)型的 设 yp 代入方程并分离变量后 有 dp21两边积分 得ln|p|ln(1x2)C 即 pyC1(1x2) (C1eC) 由条件 y|x03 得 C13 所以 y3(1x2) 两边再积分 得 yx33xC2 又由条件 y|x01 得 C21 于是所求的特解为yx33x1 例 4 设有一均匀、柔软的绳索 两端固定 绳索仅受重力的作用而下垂 试问该绳索在平衡状态时是怎样的曲线?三、yf(y y )型的微分方程解法 设 yp有 dypxd原方程化为 ),(fyp设方程 的通解为 yp(y C1) 则原方程的通解为,d 21),(xCy例 5 求微分 yyy20 的
28、通解 解 设 yp 则 d代入方程 得 02y在 y0、p 0 时 约去 p 并分离变量 得高等数学教案 ydp两边积分得ln|p|ln|y|lnc 即 pCy 或 yCy(Cc) 再分离变量并两边积分 便得原方程的通解为ln|y|Cxlnc1 或 yC1eCx (C1c1)作业：P323：1（1） （3） （5） （7） （9） ，2（1） （3） （5）7 6 高阶线性微分方程一、二阶线性微分方程举例例 1 设有一个弹簧 上端固定 下端挂一个质量为 m 的物体 取 x 轴铅直向下 并取物体的平衡位置为坐标原点 给物体一个初始速度 v00 后 物体在平衡位置附近作上下振动 在振动过程中 物体
29、的位置x 是 t 的函数 xx (t) 设弹簧的弹性系数为 c 则恢复力 fcx 又设物体在运动过程中受到的阻力的大小与速度成正比 比例系数为 则dtxR由牛顿第二定律得 tcxtm2移项 并记 nk2高等数学教案 则上式化为 02xkdtntx这就是在有阻尼的情况下 物体自由振动的微分方程 如果振动物体还受到铅直扰力 FHsin pt的作用 则有 pthxkdtntxsin2其中 这就是强迫振动的微分方程 mh例 2 设有一个由电阻 R、自感 L、电容 C 和电源 E 串联组成的电路 其中 R、L 、及 C 为常数 电源电动势是时间 t 的函数 EEmsint 这里 Em 及 也是常数 设电
30、路中的电流为 i(t) 电容器极板上的电量为 q(t) 两极板间的电压为 uc 自感电动势为 EL 由电学知道 dtqiCucdtiL根据回路电压定律 得 0RitiLE即 tEudtumccsin2或写成 tLCtdtccsi202其中 这就是串联电路的振荡方程 LR10如果电容器经充电后撤去外电源(E0) 则上述成为 022ccudttu二阶线性微分方程 二阶线性微分方程的一般形式为yP(x)yQ(x)yf(x) 若方程右端 f(x)0 时 方程称为齐次的 否则称为非齐次的 二、线性微分方程的解的结构高等数学教案 先讨论二阶齐次线性方程yP(x)yQ(x)y0 即 0)()(2yxQdP定
31、理 1 如果函数 y1(x)与 y2(x)是方程yP(x)yQ(x)y0 的两个解 那么yC1y1(x)C2y2(x)也是方程的解 其中 C1、C 2 是任意常数 齐次线性方程的这个性质表明它的解符合叠加原理 证明 C1y1C2y2C1 y1C2 y2 C1y1C2y2C1 y1C2 y2 因为 y1 与 y2 是方程 yP(x)yQ(x)y0 所以有y1P(x)y1Q(x)y10 及 y2P(x)y2Q(x)y20 从而 C1y1C2y2P(x) C1y1C2y2Q(x) C1y1C2y2C1y1P(x)y1Q(x)y1C2y2P(x)y2Q(x)y2000 这就证明了 yC1y1(x)C2
32、y2(x)也是方程 yP(x)yQ(x)y0 的解函数的线性相关与线性无关 设 y1(x) y2(x) yn(x)为定义在区间 I 上的 n 个函数 如果存在 n 个不全为零的常数 k1 k2 kn 使得当 xI 时有恒等式k1y1(x)k2y2(x) knyn(x)0成立 那么称这 n 个函数在区间 I 上线性相关 否则称为线性无关 判别两个函数线性相关性的方法 对于两个函数 它们线性相关与否 只要看它们的比是否为常数 如果比为常数 那么它们就线性相关 否则就线性无关 例如 1 cos2x sin2x 在整个数轴上是线性相关的 函数 1 x x2 在任何区间(a, b)内是线性无关的 定理
33、2 如果如果函数 y1(x)与 y2(x)是方程yP(x)yQ(x)y0 的两个线性无关的解 那么yC1y1(x)C2y2(x) (C1、C 2 是任意常数)高等数学教案 是方程的通解 例 3 验证 y1cos x 与 y2sin x 是方程 yy0 的线性无关解 并写出其通解 解 因为y1y1cos xcos x0 y2y2sin xsin x0 所以 y1cos x 与 y2sin x 都是方程的解 因为对于任意两个常数 k1、k 2 要使k1cos xk2sin x0 只有 k1k20 所以 cos x 与 sin x 在(, ) 内是线性无关的 因此 y1cos x 与 y2sin x
34、 是方程 yy0 的线性无关解 方程的通解为 yC1cos xC2sin x 例 4 验证 y1x 与 y2ex 是方程 (x1)yxyy0 的线性无关解 并写出其通解 解 因为(x1)y1xy1y10xx0 (x1)y2xy2y2(x1)exxexex0 所以 y1x 与 y2ex 都是方程的解 因为比值 e x/x 不恒为常数 所以 y1x 与 y2ex 在(, )内是线性无关的 因此 y1x 与 y2ex 是方程 (x1)yxyy0 的线性无关解 方程的通解为 yC1xC2e x 推论 如果 y1(x) y2(x) yn(x)是方程y(n)a1(x)y(n1) an1(x)y an(x)
35、y0 的 n 个线性无关的解 那么 此方程的通解为yC1y1(x)C2y2(x) Cnyn(x) 其中 C1 C2 Cn 为任意常数 二阶非齐次线性方程解的结构 我们把方程yP(x)yQ(x)y0叫做与非齐次方程yP(x)yQ(x)yf(x)高等数学教案 对应的齐次方程 定理 3 设 y*(x)是二阶非齐次线性方程yP(x)yQ(x)yf(x)的一个特解 Y(x )是对应的齐次方程的通解 那么yY(x)y*(x)是二阶非齐次线性微分方程的通解 证明提示 Y(x )y*(x)P(x) Y(x)y*(x)Q(x) Y(x)y*(x) Y P(x)Y Q(x)Y y* P(x)y* Q(x)y*0
36、f(x) f(x) 例如 YC 1cos xC2sin x 是齐次方程 yy0 的通解 y *x22 是 yyx2 的一个特解 因此 yC1cos xC2sin xx22是方程 yyx2 的通解 定理 4 设非齐次线性微分方程 yP(x)yQ(x)yf(x)的右端 f(x)几个函数之和 如yP(x)yQ(x)yf1(x) f2(x) 而 y1*(x)与 y2*(x)分别是方程yP(x)yQ(x)yf1(x)与 yP(x)yQ(x)yf2(x)的特解 那么 y1*(x)y2*(x)就是原方程的特解 证明提示 y1y2*P(x) y1*y2*Q(x) y1*y2* y1*P(x) y1*Q(x)
37、y1* y2*P(x) y2*Q(x) y2*f1(x)f2(x) 作业：P331：1（1） （3） （5） （7） ，4（1） （3） （5）7 7 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程 方程 ypyqy0高等数学教案 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中 p、q 均为常数 如果 y1、y 2 是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么 yC1y1C2y2 就是它的通解 我们看看 能否适当选取 r 使 yerx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将 yerx 代入方程 ypyqy0得 (r 2prq)erx 0 由此可见 只要 r 满足代数方程 r2prq0 函数
38、yerx 就是微分方程的解 特征方程 方程 r2prq0 叫做微分方程 ypyqy0 的特征方程 特征方程的两个根r1、r 2 可用公式242,1pr求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根 r1、r 2 时 函数 、 是方程的两个线性无关xrey1xr2的解 这是因为 函数 、 是方程的解 又 不是常数 xrey1xr2 xrxrey)(2121因此方程的通解为 xrreCy21(2)特征方程有两个相等的实根 r1r2 时 函数 、 是二阶常系数齐次线性微xrey1xr12分方程的两个线性无关的解 这是因为 是方程的解 又xrey1xrrxrxrr qepeeqp 111111 )()2()()( 0211 pex高等数学教案 所以 也是方程的解 且 不是常数 xrey12xeyr12因此方程的通解为 xrxreCy112(3)特征方程有一对共轭复根 r1, 2i时 函数 ye(i)x、ye (i)x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解 函数 yexcosx、ye xsinx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解 函数 y1e(i)x 和 y2e(i)x 都是方程的解 而由欧拉公
