1、1第二章 导数与微分2.1 导数的求法一 基本概念 一点的导数、左导数、右导数（单侧导数） 、导函数（导数） 、可微对导数的理解：导数就是函数在该点的变化率，导数的绝对值越大，函数值变化的越快，导数的绝对值越小，变化越慢，当导数为零时，曲线在该点的切线平行于 轴x函数 在点 处的导数 的几何意义是曲线 上的点 的切线的斜率，即()fx00()fx ()yfx0(,)Mxf， 是切线与 轴正向所成的夹角0tanf1. 导数： 在点 处的导数，记作 或 ，表示为()fx00()fx0dx；0000 ()limli limxx xffxyf2. 左导数： 在点 处的左导数，记作 ，表示为()f0 0
2、()f；0000 ()lili lixx xxfxyf 3. 右导数： 在点 处的右导数，记作 ，表示为()f0 0()f00 00 ()limli limxx xxfxyf 4. 可微： 在 的邻域有定义，若()f0，00()()yfxfxAox其中 是不依赖于 的常数，则称 在 点可微Ax)f二 基本结论1. 可导、可微和连续的关系：（i）可导和可微是等价的，即可导则可微，反之亦然；（ii）可导（可微）一定连续.2. 可导的充要条件：左右导数都存在且相等，即2存在 0()fx00()fxf3. 求导法则：函数 和 可导，则()uxv（1） ；()()xv（2） ；xvux（3） 2()()
3、()uxv（4） ()()vx4. 求导公式：（1） ； （2） ；()0C 1()x（3） ； （4） ；sincosxcosinx（5） ； （6） ；2(ta)e 2(t)c（7） ； （8） ；sctanxxcssotxx（9） ； （10） ；()l (e)（11） ； （12） ；1loglnax 1lnx（13） ； （14） ；2(rcsi)2(arct)x（15） ； （16） .21(aro)x 21(rot)三 基本方法1. 一点导数的求法：（1）公式法：用公式求出导函数，再求这点的导函数值（初等函数，具体函数） ；（2）定义法：用定义求这点的导数（分段函数的分段点，抽象
4、函数） 例 1 设 存在，求下列各极限：0()1fx（1） ； （2） ；02()limxfx00()(limhfxf（3） ； （4） 0(3f0)h32. 导函数的求法：（1）初等函数的导数（由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算得到的函数）在对初等函数求导时，需要确定是四则运算还是复合运算例 2 （1） ； （2） ；2arcsin4yxx2yx（3） ； （4） ；l(1) 2arcsin1（5） ； （6） cosartyxxt(l)xy（2）由参数方程确定函数的导数参数方程 确定的函数 的导数：()tx()yx一阶导数： ；dd()yttx二阶导数：2 2d()()()d/d
5、 ytxtytxx t3()()txt例 3 已知 ，求 ； (sinco)iyattxdy2x解 由于 ， ，于是()tt()sinat，ddco/tixxyyttt2 2scottddintya例 4 已知 ，求 ； 21scstxuyttdx2y解 由于 ， ，于是2()sinxtt 2222cos()osinsintyttt t42d()sinytyttxx对 再次求导，得到x2 2dd1()sinyttxxt（3）隐函数的导数由方程 所确定的隐函数 （ ）的导数 的求法：(,)0Fy()y()xydyx1. 将方程两边对变量 求导，把 看作是 的函数，最后从方程中解出 ；x 2. 转
6、化为 ，我们有(,)0y(,)dxyF例 5 已知 ，求22cos()yxex解（方法 1）对方程两边求导，2 2sin()(1)yyxy 解得22si()nyyxexy（方法 2）令 ，则22(,)co()Fx， ，2sin()xyxy 2,sin()yyFxexy所以22(,)dsin()xyyFxexy注：若求隐函数的二阶导数，只需在一阶导函数的基础上，再对自变量 求导，把 看作 的函数，最后用xyx代替 ，从而求得 dyx2dx（4）幂指函数的导数作恒等变换 ，lnNe()()ln()vxuxfue例 6. 设 ，求 si()0xff5解 sinlsinl sini sin()(col
7、)(col)xx xxfe（5）多因子相乘除的导数： 例 7 设 ，求 (1)2)34xf()fx解 取对数 ，于是ln(l()lnl3)ln(4)f x)111(2()2xfx所以1()11()234()234fxxxx（6）变限积分函数的导数定理 若 连续， 和 可导，则变限积分函数 可导，且有()fx()x()xFftd()()Ffxf其求导方法见第一章变限积分函数的导数注：重点（7）分段函数的导数基本方法：在开区间上用公式求导，在分段点上用定义求导例 8 设 ，讨论函数 的连续性，并求其导函数sin1,0()l)cos,xf x()fx解 当 时， ，初等函数，有定义，连续0xi(fx
8、当 时， ，初等函数，有定义，连续)ln1)csx当 时， ，所以函数 再点 连续x(0fff()fx0综上所述，函数 在 上连续)R当 时， ；0x2cosin(xxf当 时， ，初等函数，有定义，连续1)i而且6；2000sin1() sin()limllmxxxff ，()()coif 所以有2cosin,0()1si,xxf注：在例 7 中，函数 在点 的右导数，实质就是 的导数在 的函数值，()fx0()ln1)cosfxx0x也就是说不必用定义求 ，只需将 代入， （ ） ；1()cosinfxx0x就得到 而函数 在点 的左导数 就不能直接代入，这是由于右侧导函数(0)f 0()
9、f， （ ） ，2cosinxxf0在点 没有定义，所以只能用定义0x例 9 ，求 41sinco,0(),xxf()fx解 当 时，0；321()4sincosinfxxx当 时，x，400si()()liml 0xxff x所以3214sincosin()00xfxx2.1 练习71. 求下列初等函数的导数：（1） ； （2） ；3ln(1cos)yx 23ln(1)yx（3） ； （4） 22arin1silxe2. 求由下列方程确定函数的导数 ：dyx（1） ； （2） ；xye 20tan()secxyxtd（3） ； （4） sicoy3. 求由参数方程确定函数的二阶导数：（1）
10、； （2） 231xty sin1coxty4. 求幂指函数的导数：（1） ； （2） cosinxy 1(arctn)xy5. 用取对数法求下列函数的导数：（1） ； （2） ；(s)(1larcinxye 3()24yx6. 求下列分段函数的导数：（1） ； （2） ；1,0sinxy 1,cos2yx7. 设 ，求 ，并讨论 的连续性；22si,00,1co,xyx()fx()fx8. 设 ， 在 连续且 ，求 2()(fg)x1()2g(1)f（提示：求一点导数有两个方法，本题只能用定义法为什么？）9. 设 ， 在 连续，若 在 可导，求 ()1()fx()fx()（提示：一点导数存在
11、的充要条件左右导数都存在且相等）10. 设 ，求 ()(2(01)fx ()f811. 设 在定义域内处处可导，求 的值（提示：建立两个等式，一是利用连续；23,0()xxfab ,ab二是可导的充要条件） 12. 已知 ，其中 有二阶连续导数，且 ，()cos,0gxxfa()gx(0)1g（1）确定 ，使 在 连续；()fx（2）求 f13. 设 连续，且 , ，求 ，并讨论 的连续性()x0()lim2xf10()()xftd()x()x2.2 高阶导数的求法一 基本概念 高阶导数：二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数阶导数： ；n 0(1)(1)(1)(1)() 0 00limlimnn
12、nnnx xfxfffxf注：高阶导数是在前一阶导函数基础上定义的，即对前阶导函数再一次对自变量求导1dnnyyx二 基本结论1. 莱布尼兹公式： ()()()0niniiuxvCuxv2. 阶导数公式：n（1） ；()lnxxaa（2） ； ；()sisi()2kk()coscos()2nkxkxn（3） ；()1mn mx（4） ；() (1)!nnaxbab9（5） (1)() 1ln ()!()nnnnnaaxbaxbxb注：上述公式是没有必要死记硬背的，我们只需知道这些函数：指数函数、三角函数（正弦和余弦） 、幂函数、简单一次分式、简单对数函数有 阶导数公式，在具体解题时，我们可以推
13、导三 基本方法1. 逐次求导：低阶导数可以采用逐次求导方法如 等(4)y2. 用基本公式求导：把函数变形，表示为简单一次分式、或简单指数函数、简单对数函数和正弦函数、余弦函数的和与差的形式，再用求导公式3. 莱布尼兹公式：分解为两项的积，而每项都可以求出 阶导数，利用莱布尼兹公式n特别是形如， ， ， ，2xesin2l(1)xsixecosx的高阶导数，应用莱布尼兹公式4. 泰勒公式和麦克劳林公式：（对数三的考生不作要求）泰勒公式： ；马克劳林公式： ()0()!nnfafxx()0()!nffxx例 1 用公式求下列函数的 阶导数：（1） ； （2） ；23yx 2ln(3)yx（3） ；
14、 （4）44sinco 1e解 （1）将函数变形，有 21332xyx于是() 11 1(1)!()!3()(2)nnnn nyxx （2）将函数变形，有 2ln(3)l()l(2)yx于是 ()11()!()!(2)nnnnyxx1011()!()(2)nnnx（3）将函数变形，有 44222sinco(sico)sicoyx x2113144x于是 () 1(cos)(cos)22nnny x（4）利用公式，有 ()21nxe例 2 用莱布尼兹公式求高阶导数：（1） ，求 （2） ，求2()xfe(20)f 3()sin2xfxe(20)f解（1）利用莱布尼兹公式 ()212200408n
15、xxxfCee（2）利用莱布尼兹公式20 20(20) ()3() 3sinsin()2ixnii nixifxeCxe 20 3i()2inxiCi例 3 设 ，计算 （对数学三的考生不作要求）()arctfxx(01)f解 将 展出麦克劳林级数由于，2201arctn()nxx(1,)于是逐项积分，有， ，2210 00()arctn(arctn)d(1)dnx xnxx(,)所以， （1）20()()arctn1nfxxx(1,)11下面求 由于函数展成的麦克劳林级数为(201)f， （2）()0()!nffxx所以级数(1)和(2)是同一个级数，于是级数中对应项的系数相等在级数(2)中
16、， 的系数是 ，在级数201x(201)!f(1)中， 的系数是 ，从而有201x104()29(201)104()!9f于是有(201)208!f2.2 练习1. 用基本公式求下列函数的 阶导数：n（1） ； （2） ；2sinx 12x（3） ； （4） ；l()34（5） ； （6） ；66sicox2x（7） ； （8） ；(1)ln 12. 用莱布尼兹公式求下列函数的 20 阶导数：（1） ； （2） ；2cosyx 2sinyx（3） ； （4） e l（5） ； （6） 21sinxy 2(1)xye3. 用泰勒公式求函数在一点的高阶导数：（对数三的考生不作要求）（1）设函数 ，求 和 ；si,0()1xf(209)f(201)f（2）已知 ，求 2()xf()nf
