1、高考数学 -导数中二次求导的运用【理2010 全国卷一第 20 题】已知函数 .()1lnfxx（）若 ，求 的取值范围；2()1xfax（）证明： ()0f解析：先看第一问，首先由 可知函数 的定义域为 ，()1lnfxxfx0,易得 ln1lfx则由 可知 ，化简得2()fax2ln1xax，这时要观察一下这个不等式，显然每一项都有因子 ，而 又大于2lnx x零，所以两边同乘 可得 ，所以有 ，在对 求导有1xlnxalnxlng，即当 时， 0， 在区间 上为增函数；当g01g 0,1时， ；当 时， 0， 在区间 上为减函数。1x x所以 在 时有最大值，即 。又因为 ，xlnxgl
2、nax所以 。a应该说第一问难度不算大，大多数同学一般都能做出来。再看第二问。要证 ，只须证当 时， ；当 时， 即(1)0xf x10fx1xf0可。由上知 ，但用 去分析 的单调性受阻。我们可以尝试再对lnfxff求导，可得 ，显然当 时， ；当 1lfx 21x0x10fx1时， ，即 在区间 上为减函数，所以有当 0lf,时， ，我们通过二次求导分析 的单调性，得出当 x11fxfx x时 ，则 在区间 上为增函数，即 ，此时，则有f0, 10成立。()0x下面我们在接着分析当 时的情况，同理，当 时， ，即 在1x1xf0fx区间 上为增函数，则 ，此时， 为增函数，所以1,fff，
3、易得 也成立。0fxf()0x综上， 得证。()f下面提供一个其他解法供参考比较。解：（） ，则1lnfxln1xfx题设 等价于 。2()ala令 ，则 。lgx1gx当 时， ；当 时， ， 是 的最大值点，0100gx1gx所以 。x综上， 的取值范围是 。a1,（）由（）知， ，即 。gxln10x当 时，0x1lnlll1f x1ll0xx因为 0，所以此时 。1x()f当 时， 。1lnl1lnl0fxxx所以 (1)0xf比较上述两种解法，可以发现用二次求导的方法解题过程简便易懂，思路来得自然流畅，难度降低，否则，另外一种解法在解第二问时用到第一问的结论，而且运用了一些代数变形的
4、技巧，解法显得偏而怪，同学们不易想出。不妨告诉同学们一个秘密：熟炼掌握二次求导分析是解决高考数学函数压轴题的一个秘密武器！【理2010 安徽卷第 17 题】设 为实数，函数 。a2,xfeaR（）求 的单调区间与极值；fx（）求证：当 且 时， 。aln21x0xe21a解析：第一问很常规，我们直接看第二问。首先要构造一个新函数，如果这一着就想不到，那没辙了。然后求导，结果见下表。2xge，继续对 求导得 agx2xe0,ln2lln2,gx减 极小值 增由上表可知 ，而ln2xg，由 知 ln2l l2ln21geaaaln21 ，所以 ，即 在区间 上为增函数。0x0gx0,于是有 ，而 ，xg2e故 ，即当 且 时， 。aln1xx21a
