1、0.1算法1、 （p.11，题 1）用二分法求方程 在1,2内的近似根，要求误差013x不超过 10-3.【解】 由二分法的误差估计式 ，得到31* 02| kkab.两端取自然对数得 ，因此取 ，即至少102k 96.812ln03k9需二分 9 次.求解过程见下表。 kakbkx符号)(kxf0 1 2 1.5 +1234567892、 （p.11，题 2） 证明方程 在区间0,1内有唯一个实根；使210)(xexf用二分法求这一实根，要求误差不超过 。【解】 由于 ，则 在区间0,1上连续，且210)(exf )(f， ，即 ，10)(ef 08210ee 0)1(f由连续函数的介值定理
2、知， 在区间0,1上至少有一个零点.)(xf又 ，即 在区间0,1上是单调的，故 在区间0,1内xf )(xf有唯一实根.由二分法的误差估计式 ，得到 .两21* 02| kkabx 10k端取自然对数得 ，因此取 ，即至少需二分6438.19.32ln0k 77 次.求解过程见下表。 kakbkx符号)(kxf0 0 1 0.512345670.2误差1 （p.12，题 8）已知 e=2.71828，试问其近似值 ， ， x2=2.71，7.21x1.各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。7.23x【解】有效数字：因为 ，所以 有两位有效数字；11 025.082.| xe 7.21x因
3、为 ，所以 亦有两位有效数字；2|因为 ，所以 有四位有效数字；33| xe 8.3x；%85.1720|1r；|22xer。0184.7.5|33r评 （1）经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字；（2）近似数的所有数字并非都是有效数字. 2 （p.12，题 9）设 ， ， 均为经过四舍五入得出的近2.1x7182.x0718.3x似值，试指明它们的绝对误差(限)与相对误差(限)。【解】 ， ；05.1 31405xr， ；.2 62108.7.r， ；05.3 439.01.5xr评 经四舍五入得到的近似数，其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位.3 （p.12，题 10）已知
4、， ， 的绝对误差限均为42.18.4310x，问它们各有几位有效数字？2105.【解】 由绝对误差限均为 知有效数字应从小数点后两位算起，故 ，2105. 42.1x有三位； 有一位；而 ，也是有一位。84.2x 0184.843x1.1泰勒插值和拉格朗日插值1、 （p.54，习题 1）求作 在节点 的 5 次泰勒插值多项式 ，并计xfsin)(0 )(5xp算 和估计插值误差，最后将 有效数值与精确解进行比较。)367.0(5p ).(5p【解】由 ，求得 ； ； ；xfsinxfcos)(1 xfsin2(xfcos)(3； ； ，所以xf)(4fs)(5 i65p 500)5(200)
5、(010 )!)!( ff5(2)(!xfxff53!xx插值误差： ，若 ，则)(5R 6060)6( !1)(!|)sin|)| xxf 5.0，而37.0p 37428.5.!37 ，精度到小数点后 5 位，5665 1.2.!).( 故取 ，与精确值 相比.6 307419.)6.0sin()0(f较，在插值误差的精度内完全吻合！2、 （p.55，题 12）给定节点 ，试分别对下列函数导出拉格朗4,3,120xx日余项：（1） ；234)(xxf（2）【解】依题意， ，拉格朗日余项公式为 3n 30)4(3 )(!iixfxR（1） ；0)(4xf 0)(3xR（2）因为 ，所以 !)
6、()4(3)1()4(3)1(!4)()(3 xxxxfxR3、 （p.55，题 13）依据下列数据表，试用线性插值和抛物线插值分别计算 的67.0sin近似值并估计误差。 i0 1 2ix0.32 0.34 0.36)sn(i0.314567 0.333487 0.352274【解】依题意， ，拉格朗日余项公式为 330)4(3 )(!iixfxR（1） 线性插值因为 在节点 和 之间，先估计误差67.0x0x1 2)(max)(2)sin()(!2)()( 1010101 xxfR ；须保留到小数点后 4 为，计算过程多余两位。4.x0x1( x1- x0)2/ 4y = ( x - x0
7、) ( x - x1)xy0)(1xP )sin()sin()sin()sin( 0100101010 xxx 1 32.i)67.34i32.67.2sin()4sn(0. 34（2） 抛物线插值插值误差： )(2xR )()(6cos)()(!3 210210 xxxxf 6321.06ma x0x1M a x = 3 ( x1- x0)3/ 8y = ( x - x0) ( x - x1) ( x - x2)xy0x2抛物线插值公式为： )(2xP)sin()()sin()()sin()( 202121210102010 xxxxx )i(i()i(. 212002x)3670(2P )
8、36.0sin(75.2)34.0sin(91.38)2.0sin(845125 ).i(.).i(.).i(.30.25 03749.经四舍五入后得： ，与 精确值相3074.6.02P 31.0)67.sin比较，在插值误差范围内完全吻合！1.3分段插值与样条函数1、 （p.56，习题 33）设分段多项式 2120)(23 xcxbxS是以 0,1,2 为节点的三次样条函数，试确定系数 b，c 的值.【解】依题意，要求 S(x)在 x=1 节点函数值连续： ，)1(121)(233 ScbS即： 1cb一阶导数连续： ，6即： )(2解方程组（1）和（2） ，得 ，即3,2cb2130)(
9、23 xxxS由于 ，所以 S(x) 在 x=1 节点的二)(61 S阶导数亦连续。2、 已知函数 的一组数据， 和 ，2xy2,10xx 2.0,5.,10yy（1）求其分段线性插值函数；（2）计算 的近似值，并根据余项表达式估计误差。)5.(f【解】 （1）依题意，将 x 分为0,1和1,2两段，对应的插值函数为 ，利用)(21xS和拉格朗日线性插值公式，求得；5.0.10)( 1011 xyxyxS 8.3.2.5.2)(12122 x（2） ，而93076.51f，实际误差为：830)5(S。.42.|2f由 ,可42)3(32)2(2)1( )1(,)1(,) xfxfxf 知 ，则
10、余项表达式5.0()2fM 5.062.5.0.!2|)(1|!|) 42)( MxxR1.4 曲线拟合1、 （p.57，习题 35）用最小二乘法解下列超定方程组：7263514yx【解】 构造残差平方和函数如下： 2222 )7()6()35()14(), yxyxyxyxQ，分别就 Q 对 x 和 y 求偏导数，并令其为零： ，0),()1(76： ，y 2483解方程组（1）和（2） ，得 4176.736,029.7486 yx2、 （p.57，习题 37）用最小二乘法求形如 的多项式，使之与下列数据相拟合。2bxa【解】令 ，则 为线性拟合，根据公式(p.39,公式 43)，取2xX
11、bXaym=2，a1=0，N=5，求得； )2()1(555125114121251 2iiiiiiiiii iiii yxXxbaXba y依据上式中的求和项，列出下表xi yi Xi (=xi2) Xi2(=xi4) Xi yi (=xi2yi)19 19 361 130321 685925 32.3 625 390625 20187.531 49 961 923521 4708938 73.3 1444 2085136 105845.244 97.8 1936 3748096 189340.8 157 271.4 5327 7277699 369321.5将所求得的系数代入方程组（1）和
12、（2） ，得)2(5.3692172534.0ba；97258.0816774. ；054.81674953277269531b即： 。0.8.xy2.1 机械求积和插值求积1、 （p.94，习题 3）确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度：； h hfAfhfAdxf )()0()()( 210；10 4342。0)()()(3xffxf【解】 （1）令 时等式精确成立，可列出如下方程组：2,1)3(3220100hA解得： ，即： ，可以4,120 h hfhfdxf )(04)(验证，对 公式亦成立，而对 不成立，故公式（1）具有 3 次代数精度
13、。3)(xf 4)(（2）令 时等式精确成立，可列出如下方程组：2,f)3(16713220A解得： ，即： ，可以,20A )43(2140fffdxf验证，对 公式亦成立，而对 不成立，故公式（2）具有 3 次代数精度。3)(xf 4)(（3）令 时等式精确成立，可解得：f,1)(3240xA即： ，可以验证，对 公式亦成立，而对10 )32(4)0()(ffdxf )(f不成立，故公式（3）具有 2 次代数精度。)(xf2、 （p.95，习题 6）给定求积节点 试构造计算积分 的插值,4,10x10)(dxfI型求积公式，并指明该求积公式的代数精度。【解】依题意，先求插值求积系数：；21
14、)4321(4310010 xdxdxA；)(1021010 xxx插值求积公式： 100 )43(21)()()( ffxfAdxfnkk当 ，左边= ；右边= ；左=右；f1df 1当 ，左边= ；右边= ；左=右；xf)(10102)(xf 2432当 ，左边= ；右边= ；左2)(f10103)(df 165916右；故该插值求积公式具有一次代数精度。2.2 梯形公式和 Simpson公式1、 （p.95，习题 9）设已给出 的数据表，xexf4sin1)(x 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00f(x) 1.000 00 1.655 34 1.551 52 1.066 6
15、6 0.721 59分别用复化梯形法与复化辛普生法求积分 的近似值。dxfI10)(【解】 （1）用复化梯形法：2835.1 72159.0)6.152.634.1(20. )()0()(. )225.4,5,055 1110 T fffff bxahxhTnbba nkkknk（2）用复化辛普生法： 309.1725.0134.8.0.12 ).().().()5.(4).(65.0 )(2465.021,21,2 11011 S fffff bfxfxfafhxffxfhSnabba nknkkkknk2、 （p.95，习题 10）设用复化梯形法计算积分 ，为使截断误差不超过 ，0dxeI
16、 5102问应当划分区间【0,1】为多少等分？如果改用复化辛普生法呢？ 【解】 （1）用复化梯形法， ，设需划分 n 等分，xefffba)()(,10则其截断误差表达式为：；nfnTIRn 32312)0()mx1)(| 依题意，要求 ，即50|，可取 。849.21612525enne 213n（2）用复化辛普生法， ，截断误差表达式xefxffba)()(,0为：；44545 280)1()mx)2(18| nfnSIRnS 依题意，要求 ，即50|S，可取 ，划分 8 等分。706.314128554 enne 4n2.3 数值微分1、 （p.96，习题 24）导出三点公式(51)、(
17、52)和(53)的余项表达式 )53()(34)(21)( 2 )1()()(3)( 21022100 xffxfhf xfxfxf 【解】如果只求节点上的导数值，利用插值型求导公式得到的余项表达式为 nkjjnkkk xfxpfxR0)1( )(!()( 由三点公式(51)、(52)和(53)可知， ，则121,2h202002100)12(0 3)()(!3)()(!( hfxxfxfxjj 1110)(1 6( fffRjj 2120220)12( 3)()(!3)(!( hfxxfxfxjj 2、 （p.96，习题 25）设已给出 的数据表，2)1()xfx 1.0 1.1 1.2f(
18、x) 0.2500 0.2268 0.2066试用三点公式计算 的值，并估计误差。)2.(,.),0.1(fff【解】已知 ，用三点公式计算微商：1.020120 xxhxx 1870.206.38.0425.10)2.(3)1.(4)0.(21).( 7.6. 2470.06.28.453).(.4).(32).( fffhf fffhf，5)1(4);)(; xfxxx 用余项表达式计算误差 025.).1(324)()0.1( 50hfR!.104967.).(324)()2.( 52hf3、 （p.96，习题 26）设 ，分别取步长 ，用中点公式（52）xfsin01.,.h计算 的值
19、，令中间数据保留小数点后第 6 位。)8.0(f【解】中心差商公式： ，截断误差： 。可haffaf2)()() 2!3)()(hafR见步长 h 越小，截断误差亦越小。(1) ,则9.08.,7.08.,1.02hxhxh；6954.04218.731.)sin()9i(2)( f(2) ,则,. 20 7.730)70i()81i()8( hf(3) ,则81.,9,. 20 hxx 695.01.52.)sin()si(2)( f而精确值 ，可见当 时得到的误差最小。在670.8co. 0时反而误差增大的原因是 与 很接近，直接相减会造成有01.h )8.(hf).(f效数字的严重损失。
20、因此，从舍入误差的角度看，步长不宜太小。3.1 Euler格式1、 （p.124，题 1）列出求解下列初值问题的欧拉格式， ，取 ；)4.0()(2xyx1(y2.0h， ，取 ；2. ).【解】 （1） ；)(2.0)( 221 nnnnn yxyxhyy （2） 。)(.)(22、 （p.124，题 2）取 ，用欧拉方法求解初值问题 ，.0h )6.0(2xy。1)0(y【解】欧拉格式： ；化)(2.)( 221 nnnnn yxyxyhyy 简后， ，计算结果见下表。21.08.nnxn 0 1 2 3xn 0.0 0.2 0.4 0.6yn 1.0 0.8 0.6144 0.46133
21、、 （p.124，题 3）取 ，用欧拉方法求解初值问题 ，1.0h )40(21 xyxy。并与精确解 比较计算结果。0)(y2xy【解】欧拉格式： ；)21(.0)21(1 nnnnn yxyxhyy 化简后， ，计算结果见下表。221.04.nnnx1、 （p.124，题 7）用改进的欧拉方法求解上述题 2，并比较计算结果。【解】 因为 ， ，且 ，则改进的欧)6.0(),( 2xyxfy .h1)0(y拉公式：。 2)( )(2.)(, 81 22cpn pnnpnnpncnyy yxyxyxhf计算结果见下表。n 0 1 2 3xn 0.0 0.2 0.4 0.6yp 1.0 0.67
22、30 0.5147 0.3941yc 0.76 0.7092 0.5564 0.4319yn 0.88 0.6911 0.5356 0.413与原结果比较见下表 n 0 1 2 3xn 0.0 0.2 0.4 0.6yn 1.0 0.8 0.6144 0.4613yn(改进) 0.88 0.6911 0.5356 0.4133.3 龙格-库塔方法1、 （p.124，题 11）用四阶经典的龙格-库塔方法求解初值问题 ， ，试y382)0(取步长 计算 的近似值，要求小数点后保留 4 位数字。2.0h)4.(y【解】 四阶经典的龙格-库塔方法公式：；),(2),()2(631431121 431h
23、KyxfKhyxfKKynnn列表求得 如下：).0n xn yn0 0.0 2.0001 0.2 2.30042 0.4 2.46544.1 迭代法及收敛定理1、 （p.153，题 1）试取 ，用迭代公式 ，求0x ),210(1201 kxxkk方程 的根，要求准确到 。223x 3【解】 迭代计算结果列于下表k xk |xk-xk-1| R0 c3、 （p.153，题 4）证明迭代过程 对任意初值 均收敛于 。kkxx12110x2【证明】设： ，对于任意 ，因为 ，所以xg2)(2x。一阶导数 ， 根据压缩映像定理，迭代公式)(x 121)( 对任意初值 均收敛。假设 ，对迭代式 两k
24、k1210xxklimkkxx121边取极限，则有 ，则 ，解得 ，因 不在x1222范围内，须舍去。故 。1x4.2 牛顿迭代法1、 （p.154，题 17）试用牛顿迭代法求下列方程的根，要求计算结果有 4 位有效数字：（1） ，013x2（2） ，e10x【解】 （1）设 ，则 ，牛顿迭代公式：3)(f 3)(2xf，迭代计算过),210(1 2 kxxx kkkk程见下列表。k xk |xk-xk-1| 321!)(limaxxk5.1 线性方程组迭代公式1、 （p.170，题 1）用雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代求解方程组： ，要求结1231x果有 3 位有效数字。【解】 雅可比迭代公式
25、： ，迭代计算结果列于下表。 )1(213()()(2 )(2)(2)(1 kkk xxk)(1kx)(2k |)(1)(k|)1(2)(k?05.0 0 0 - -1 2/3 1/2 2/3 1/2 N2 1/2 1/6 1/6 1/3 N3 11/18 1/4 1/9 1/12 N4 7/12 7/36 1/36 1/18 N5 0.60185 0.20833 0.01852 0.01389 N6 0.59722 0.19908 0.00463 0.00925 N7 0.60031 0.20139 0.00309 0.00231 N8 0.59954 0.19985 0.00077 0.0
26、0154 N9 0.60005 0.20023 0.00051 0.00038 N10 0.59992 0.19998 0.00003 0.00025 Y；20.;60.)1(2)1( xx由上表可见，所求根皆为小数点后第 1 位不为零的小数，要取 3 位有效数，则误差限为。302高斯-赛德尔迭代公式： ，迭代计算结果列于下表。 )1(6213(2)()(2 )()(2)(1 kkk xxk)(1x)( |)k |)1(2(k?05.0 0 0 - -1 2/3 1/6 2/3 1/6 N2 0.6111 0.1944 N3 0.6019 0.1991 0.0092 0.0047 N4 0.6
27、003 0.1999 0.0016 0.0008 N5 0.6000 0.1999 0.0003 0.0000 Y；20.;60.)5(2)(1 xx2、 （p.171，题 7）取 ，用松弛法求解下列方程组，要求精度为 。.1 410212403321x【解】欧先写出高斯-赛德尔迭代： )1(2516493414)(3)(2)(2)( )(3)(2)()()()(2)1(32 kkkk kkk xx引入松弛因子，得 )2(451)1( 4)1( )1()(3)(3)(3 )()(2)()(2)(2 )1()(1)1()( 33 22 kkkkk kkkkk xxx xxx将方程组（1）代入（2
28、） ，并化简 )3(825641259654)(3)()1(3)()(2)(2)(2)(1)1(kkk kkkxxxx计算结果见下表。 k)(1k)(2k)(3k|)1()(1k|)1(2)(kx|)1(3)(kxe?0 0 0 0 - - - -1 5 2.5 -3.125 5 2.5 3.125 N2 1.40625 2.65625 -2.14844 N3 2.15820 3.03223 -2.28882 N4 1.61173 3.15872 -2.19860 N5 1.63577 3.24423 -2.19187 N6 1.54959 3.28508 -2.17800 N7 1.5328
29、4 3.30793 -2.17320 N8 1.51561 3.31978 -2.17001 N9 1.50880 3.32615 -2.16847 N0 1.50453 3.32951 -2.16762 N1 1.50245 3.33130 -2.16717 N2 1.50129 3.33225 -2.16694 N3 1.50069 3.33276 -2.16672 N4 1.50037 3.33306 -2.16676 N5 1.50016 3.33318 -2.16670 N6 1.50010 3.33325 -2.16668 N7 1.50005 3.33329 -2.16668 0
30、.00005 0.00004 0.00000 Y迭代解： .1672,3.,501. )7(3)17(2)17( xxx精确解： .61,.3,2321 x5.1 线性方程组迭代公式1、 （p.170，题 2）试列出求解下列方程组的雅可比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式，并考察迭代过程的收敛性。 17238350431431xx【解】 （1）雅可比迭代公式：(1) 71271834831100)(3)()()(4 )(4)()()( )(3)()(2)(4)()( kkkkkkk xxxx， ，迭代收敛。JG07218148320187JG（2）高斯-赛德尔迭代公式：(2) 7127183483
31、11020)(3)1()()(4 )(4)(2)()( )(3)()(2)(4)(3)(1 kkkkkkk xxxx将方程组（1）带入（2） ，经化简后，得：(3) 12039412078639018012)()()(4)(4)()( )()(3)(2)(4)()(1 kkkkkk xxxx， ，迭代收敛。SG24391086153SG2、 （p.171，题 5）分别用雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代求解下列方程组：（1） 231x（2） 15423321x【解】 （1）雅可比迭代：， ,不收敛。)(1)1(22kkxG高斯-赛德尔迭代：或 ， ,不收敛。23)1()1(2kkx5612)()1(
32、2kkx16G（2）雅可比迭代：， ,不收敛。515225)()(1)(3)(3)()( )()(2)1( kkkkkkxxxx 18G高斯-赛德尔迭代：或 515223)()1()1(3)()()( )()(2)1( kkkkkkxxxx518421352)()()(3)()(2)(2)()()1( kkkkkkxxxx,不收敛。8G3、 （p.171，题 6）加工上述题 5 的方程组，比如调换方程组的排列顺序，以保证迭代过程的收敛性。【解】加工后结果如下：（1） 1231x（2） 54321x方程组（1）的雅可比迭代：， ，迭代收敛。2133)()1(2)(2)(kkx12JG方程组（1）
33、的高斯-赛德尔迭代：， ，迭代收敛。32613)()(2)()(kkx13SG方程组（2）的雅可比迭代：， ，迭代收敛。5152231545)(2)(1)(3)()()( )()(2)(1kkkkkkxxxx 154JG方程组（1）的高斯-赛德尔迭代：， ，迭代收敛。1253612584)()()(3 )()(2)1(2)(3)()( kkkkkkxxxx 1258SG6.1 高斯消元法1、 （p.198，题 2）用选列主元高斯消元法求解下列方程组：（1） 12234542121xx（2） 5367421x【解】 （1） 1582203451423511 rr 7981230457981253
34、041822034553 rrr 1204513204879210345 31312 rrr所以： 3x， , .6132x 35)(365xx（2） 310743107457456174 223rrr 9602749362501743203 rrr 1657433251rr所以： ， , .3x5923x 456271436742 x2、 （p.199，题 9）计算下列三阶坡度阵的条件数：（1） 。5143【解】令： ，先求 A-1。51432A 10514320105413221r 1034512026051432622131 rr 1803012616180238021 rr 180301926621803010922133 rr，所以 180301926312r 180309261A最后求得条件数为： 7486)(1Acond
