1、1第二章 导数与微分一 导数（一） 导数的概念（见2.1） 内容要求（）理解导数的概念及其几何意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系。（）了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率。 基本题型（）用导数定义推证简单初等函数的导数公式1 用导数定义求证下列导数公式，并记忆下列公式（每题 4 分）（1） （2） （3）0)(C21)(x x21)(（4） （5） （6）xsinco axln 1（）确定简单基本初等函数在某点处的切线方程和法线方程2 （6 分）求 在 点处的切线方程及法线方程。yl)0,1(解： ， ，所以x1 )k切线方程为 y法线方程为 13 （6
2、 分）求 在 点处的切线方程。xy),(解： ， ，43x4143ky切线方程为 ，即)(xy1x（）科技中一些量变化率的导数表示4填空题（每题 4 分）（1）若物体的温度 与时间 的函数关系为 ，则该物体的温度随时间的变化Tt)(tT速度为 )(t（2）若某地区 时刻的人口数为 ，则该地区人口变化速度为 )(tN)(tN 疑难题型（）分段函数在分段点处的导数计算5. 讨论下列函数在 处的连续性与可导性0x2（1） （7 分） |sin|xy解：在 处连续但不可导0x（2） （7 分） 0,1sixy解： )0(lim0fx不存在，xxx 1sinl1snli 00所以 在 处连续但不可导)(
3、f6 （8 分）已知： ，求0,)(2xxf ).(,0)(,xff解： =)0(f 1lim)(lim0 ffxx，)(f li)(li 200 ffxx 不 存 在)0(f,12f）（）用导数定义解决的有关抽象函数的题型（自学）7 （7 分）设 ，求 )0(,)(ff xffx)3()2lim0解： =xx32lim0 ffx 0(li0 = +f)xx)(li0= )(2f53f8 （7 分）对任取的 ，总有 ，且 在 处可导，yx, )(yfyx)(f0求证： 在 上处处可导。)(f)解： ，取 (yfxy0x)(fx)(flim)flim)(f xx 003即 在 上处处可导。)0(
4、)(lim0fxffx )(xf),（二） 初等函数求导（见 A 2.2, 2.3） ；（B 2.2） 内容要求（）记忆基本导数表，掌握四则求导法则及复合求导法则，了解反函数求导法则。（）了解高阶导数的概念，掌握初等函数一阶及二阶导数的求法，自学求函数 n 阶导数的一般表达式。 基本题型（）初等函数一阶及二阶导数的计算题型9. 求下列函数的一阶导数（每题 4 分）（1） ， 2xyxxy12 ln（2） ecos3)si(co3e（3） ，xylnxxy2lnl （4） xyarcosi 2222 )(arcos1sin)(arcosri1.r xxy 22)(r（5） 2xy lnln1 2
5、2 xyx（6） e6cos2 )6si(co12e（7） 1artnxy 1)1()1( 222 xxxy（8） ，)l(2y 222 )(axaxay10. 求下列函数在给定点处的函数值（每题 6 分）（1） ，求cos21sin4d解： sinsid sin21co44d)2(82（2） ，求xy).1(y解： ，xx421 823)1(y（3） ，求|sin|1|si|y).3(解： ，)2,0(xxxy2secin1i，ytasec4 316ta3sec4)(2 （4） ，求nl(x.6y解： xxy sec)ta(sectsec12 326)( 11. 求下列函数的二阶导数（每题
6、7 分）（1） ， xyln12 xy23“xy（2） ，tasectansec2“（3） ，xey22xy3“ )24(xy（4） ，)ln(2a2a2)a(“（5） xy1l 112 xxy2“)(（6） ， ，ln(2axy21axy23“)(axy5 提高题型（）有关抽象函数的求导问题12 （7 分）设函数 和 可导，且 ，试求：)(xfg0)(22xgf.)(22fdx解： 2.)(gfxgf 13 （7 分）设 二阶可导，设 ，求f )(cos)(sin2xfxy ).(,xy解： =c2i)(sin2i)( 22 fxxy cosini 2 f)()(ss)(oco “2“2 x
7、xfxf 14 （7 分）试从 导出：ydx1.)(32yd解： 3“2“2 )(1.)()()( yydxyxydx（）有关 n 阶导数的计算题型（自学）15. 求下列函数 n 阶导数的一般表达式（每题 7 分）（1） axy1)( )(!1nnnaxy（2） 321)()1()(34nx，(4)xy 22 xy)( 33)1()(1xx“xy4424（3） )1ln(xynnnx)(!)(1)（4） 2cossi2x2cos1)( yn（5） xeyxne)(（二） 隐函数、参数方程所确定函数的求导问题及相关变化率问题（A 见2.4） ；（B 见2.3） 内容要求6（）掌握隐函数和参数方程
8、所确定函数的一阶导数，并学会计算简单的二阶导数。（）学会对数求导法。*（）学会解决一些简单实际问题中的相关变化率问题。 基本题型（）涉及隐函数和参数方程所确定函数的一阶导数问题16. 求由下列方程所确定的隐函数 的导数 ：)(xydy（1） （7 分） 033axyx解： ，)(2 axyxay22 3（2） （7 分） yxe1解： ，yy 2 yex17 （7 分）求曲线 在点 处的切线方程及法线方程。3232ax)4,(a解：方程求导得： ， ，03131y3xy1k切线方程为 , 法线方程为 axy218 （7 分）设 ，求)1(.dy解： ， =xylnl xx1)ln( x)(x1
9、ln19求下列参数方程所确定的函数的导数 .dy（1） （7 分） cos)in1(yx解： ，id cossin1dxcossin1x（2） （7 分） ttyar)l(27解： ，221ttdty21tdxtx20 （7 分）求曲线 在点 处的切线方程及法线方程。teyxtcos2in)1,0(解： ，tedtyttics22ttedtxt 2cossin， ，ttxoin0,1y1dxyk切线方程为 01y法线方程为 综合应用题型（）有关变化率及*相关变化率的实际问题21 （8 分）设质点的位移函数 ，其中 和 的单位为 和 ，0,5.123ttStSsm问：（1）何时质点达到 的速度？
10、sm5（2）求 时，质点运动的加速度。st3解：（1） )2(12 ttdt（2） 13ta)/(2sm22 （8 分）在一新陈代谢实验中葡萄糖的含量为 ，其中 的单位为 ，20.5tmth求 后葡萄糖量的变化率。h1解： 04011ttd23 （8 分）在温度不变的条件下，压缩气体的体积与压强之间的关系为 ，求CpV体积关于压强的变化率。解； 2Cpdvp*24 （8 分）设一球状雪球正在融化，其体积以 的速率减小，问雪球直径为min13c时，直径的减小率为多少？cm108解： 2361ttDV)min(5010210 ctt *25 （8 分）设 12：00 时甲船位于乙船西 处，甲船以
11、的速度向南航行，khk35而乙船以 的速度向北航行，求 16：00 时两船距离的增加率。hkm5解： ./4.5)60(12,)60(1 42422 hkmtStS tt *26 （8 分）一架巡逻直升机在距地面 的高度以 的常速沿着一条水平笔km3k直的高速公路向前飞行，飞行员观察到迎面驶来一辆汽车，通过雷达测出直升机与汽车间的距离为 ，并且此距离以 的速率减少，试求出汽车行进的速度。km5h160解： ，9)4120(2tS 1609)1204(20 tt vttS即 )/(86)54hkv 提高题型（）涉及隐函数和参数方程所确定函数的二阶导数题型27 （7 分）设 确定了 ，求)tan(
12、yx)(xy).(解： ，1sec2y)(sin12 )cot()()(2yxx )(cot)(cs32yx28 （7 分）设 ，求tyarn1l2.2d解： ， ，21td21tdxtxy1322 41)(ttyx29 （7 分）设 确定了 ，求5arcn2tey)(xy).0(9解：（1） ，21txt yteetyy tttt 20)2( ),(3)()(1 txtexdytt（2） 022( “ tttttt eyyttt ey“ )(4)，代入公式得 21)1(2020“ tt yt 21)0(y30 （7 分）设 由方程 所确定，其中 二阶可导，且 ，求)xyyfe)( ff.2d
13、xy解： ，yf)(ln “2“2 ).()(1.1 yfyfxfx ，)(1 yfxy)(1 22“ yffx)(1)(1)( 22“22 yfyfxfx322“)()(fxyf31 （7 分）设 ，且 ，求)(tftyfx0t.2dxy解： ，)(“ tffdt )(“tf，xy)(1(“2tfydx二 微分（A 见2.5） ；（B 见2.4） 内容要求10（）理解微分的概念，了解微分的概念中所包含的局部化线性思想。（）了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。（）自学微分在近似计算中的应用。 基本题型（）求函数的微分题型32. 求下列函数的微分（1） （5 分） xy1sindxd)c
14、osi2(2（2） （5 分） )3cs(xeyxdxdino（3） （5 分） ，12xy dxy2 1dx23)(33. 在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立（每空 3 分）（1） （2）dxCxd234)( xdCsin)cos(（3） （4）1ln eedx22134. 填空（每空 3 分）（1） （2） xdlxd2x21xdarctn 提高题型（）涉及微分在近似计算中的应用题型（自学）35 （7 分）计算球体体积时，要求精确度在 2 %以内，问这时测量直径 D 的相对误差不能超过多少？解： ，则33614DrVDV3， o67.2136 （7 分）已知单摆的振动周期 ，
15、其中 ， 为摆长 ，glT2980scml)(c11设原摆长为 ，为使周期 增大 ，摆长约需加长多少？cm20Ts05.解： )(23,42cmlglgTl t第二章 导数与微分计算测试题一、选择题（74 分）1 函数 在 处连续是 在 处可导的-（ B ）)(xfy0)(xfy0A 充分但非必要条件 B 必要但非充分条件 C 充分且必要条件 D 既不充也不必要条件2 设 ，则 -（ C ）f1cos)()(fA B C D 22013 设 ，则 -（ A ）xef)()(fA B C D 2x2x2xe2xe4 设 ，则 -（ C ）ylnA B C D 1y1y1y15 设 ，则 -（ C
16、 ）xysinA B C D xcosxsinxcos6 设 ，则 -（ C ）fart)( ff)1(lim0A B C D 112217若函数 ，则在 处-（ D ）0,sin)(2xxf xA 导数为 B 导数为 C 导数为 D 导数不存在012二、填空题（34 分）1曲线 在点 处的切线方程为 sin3xeyx )2,0( 2xy2 2d21dl3设 ，则 .xf2)()(f)2ln(2x12三、计算题（47 分）1设 ，求)tanl(secxy.y解： ,xsec)t(st12 xyasec“2设 由 所确定，求)(01lny).0(y解： ， ，eyx,0x.2e3 （1）设 ，求
17、 tay3sinco.dy（2） 求 tex.x（3） 求2lnarcyy.d解：（1） tdx（2） ， ，tetytex3te2（3） 221.)(1yxyx222. yxyxy)1()(x)(2 y4设 在 上可导，且 ，求)(xf,)1()()22xfxfF.1F解： )1(2).() 22 xfxfx，00( f 0)(2)0( ffF130)1() F四、 （9 分）设 是由方程 所确定的隐函数，求函数曲线xy1sinyxe在点 处的切线方程及法线方程。)(),(M解： ，0cos yxey2切线方程为 )1(2法线方程为 xy五、 （8 分）设 ，求)205()()(f ).(f
18、解： )204()12051 xxxxf !)()()0另解： ！xfffx(lim0 5)20()1(lim0 xx*六、 （8 分）一探照灯距公路最近点 A 处 500 m，照到一辆汽车正经过 A 点，若汽车以60 km / h 的速度向前行驶，要使探照灯跟踪该汽车（如图） ，问当汽车距探照灯 1000 m 时，探照灯转动的角速度是多少？A 公路60000t汽车5001000探照灯解： ,)120(,120arctn506arctntt当 时， ，故)(22tS 3t )/(3120hradt14七、 （7 分） （两题中任选作一题）（1）讨论函数 在 点的连续性及可微性。0,1)(xexf解： ，1lim)(li00xxxef 01lim)(li00xxxef所以 在点 处连续，)(f，1lim)0(hhef 01lim)0(hef因而在点 处不可微。x（2）设函数 在 点处具有连续的一阶导数，且 ，)(tf 2)1(f求 。)cosli0dx解： xxff 2).sin( )si()(colim)(cosli 00ffdxx12 f
