1、二次根式易错题集易错题知识点1忽略二次根式有意义的条件，只有被开方数 0 时，式子 才是二次根式；若 0，则aaa式子 就不能叫二次根式，即 无意义。a2易把 与 混淆。22)(3二次根式的乘除法混合运算的顺序，一般从左到右依次进行或先把除法统一成乘法后，再用乘法运算法则计算。4对同类二次根式的定义理解不透。5二次根式的混合运算顺序不正确。典型例题选择题1当 a0， b0 时，n 是正整数，计算 的值是（ ）A （ba） B （a nb3an+1b2） C （b 3ab2） D （a nb3+an+1b2）考点：二次根式的性质与化简。分析：把被开方数分为指数为偶次方的因式的积，再开平方，合并被
2、开方数相同的二次根式解答：解：原式= =anb3 an+1b2=（a nb3an+1b2） 故选 B点评：本题考查的是二次根式的化简最简二次根式的条件：被开方数中不含开得尽方的因式或因数2当 x 取某一范围的实数时，代数式 的值是一个常数，该常数是（ ）A29 B16 C13 D3考点：二次根式的性质与化简。分析：将被开方数中 16x 和 x13 的取值范围进行讨论解答：解： =|16x|+|x13|，（1）当 时，解得 13x16，原式=16x+x 13=3，为常数；（2）当 时，解得 x13，原式=16x+13x=292x，不是常数；（3）当 时，解得 x16；原式=x16+x13=2x2
3、9，不是常数；（4）当 时，无解故选 D点评：解答此题，要弄清二次根式的性质： =|a|，分类讨论的思想3当 x1 时，|x 2|2|x1|的值为（ ）A2 B4x6 C4 4xD4x+4考点：二次根式的性质与化简。分析：根据 x1，可知 2x0，x10，利用开平方和绝对值的性质计算解答：解：x12x0，x10|x 2|2|x1|=|x（2x）2|2（1x）=|2（x2）|2（1x）=2（x2）2（1x）=2故选 A点评：本题主要考查二次根式的化简方法与运用：a0 时， =a；a0 时， =a；a=0 时，=0；解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式、绝对值等考点的运算4化简|2a+3 |+ （
4、a4）的结果是（ ）A 3a B3a Ca+ D 3a考点：二次根式的性质与化简；绝对值。分析：本题应先讨论绝对值内的数的正负性再去绝对值，而根号内的数可先化简、配方，最后再开根号，将两式相加即可得出结论解答：解：a4，2a8，a40，2a+3 8+3 0原式=|2a+3 |+=|2a+3 |+=2a3 +4a= 3a故选 D点评：本题考查的是二次根式的化简和绝对值的化简，解此类题目时要充分考虑数的取值范围，再去绝对值，否则容易计算错误5当 x2y 时，化简 得（ ）Ax（x2y） B C （x 2y） D （2yx）考点：二次根式的性质与化简。分析：本题可先将根号内的分式的分子分解因式，再根
5、据 x 与 y 的大小关系去绝对值解答：解：原式= = =|x2y|x2y原式=（2y x） 故选 D点评：本题考查的是二次根式的化简，解此类题目时要注意题中所给的范围去绝对值6若 =12x，则 x 的取值范围是（ ）Ax Bx Cx Dx考点：二次根式的性质与化简。分析：由于 0，所以 12x0，解不等式即可解答：解： =12x，12x0，解得 x 故选 B点评：算术平方根是非负数，这是解答此题的关键7如果实数 a、b 满足 ，那么点（a ，b）在（ ）A第一象限 B第二象限 C第二象限或坐标轴上 D第四象限或坐标轴上考点：二次根式的性质与化简；点的坐标。专题：计算题；分类讨论。分析：先判断
6、出点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限或坐标轴解答：解：实数 a、b 满足 ，a、b 异号，且 b0；故 a0，或者 a、b 中有一个为 0 或均为 0于是点（a， b）在第二象限或坐标轴上故选 C点评：根据二次根式的意义，确定被开方数的取值范围，进而确定 a、b 的取值范围，从而确定点的坐标位置填空题8计算：（1） （2 + ） （2 ）= 10 ；（2）3 2 = ；（3） = a 考点：实数的运算；二次根式的性质与化简。分析：根据平方差公式，二次根式的性质计算即可解答：解：（1） （2 + ） （2 ）=122=10；（2）3 2 =12 10 =2 ；（3） =a =a点评：主要考
7、查了实数的运算无理数的运算法则与有理数的运算法则是一样的在进行根式的运算时，要先化简再计算，可使计算简便9 （2008山西）计算： = 2+ 考点：二次根式的性质与化简；零指数幂；负整数指数幂。分析：本题涉及零指数幂、负整数指数幂、二次根式化简四个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果解答：解：原式= +2=2 +2=2+ 点评：本题考查 0 次幂、负数次幂、二次根式的化简以及合并，任何非零数的 0 次幂都得 1，=1，负数次幂可以运用底倒指反技巧， =21=210观察下列各式根据以上规律，直接写出结果 = 4030055 考点：二次根式的性质与化简。专
8、题：规律型。分析：根据上面各式，可找出规律，根据规律作答即可解答：解： =2006（2006+3）+1=4030055点评：找出规律是解题的关键，一定要认真观察11代数式 取最大值时，x= 2 考点：二次根式的性质与化简。专题：计算题。分析：根据二次根式有意义的条件，求出 x 的取值即可解答：解： 0，代数式 取得最大值时， 取得最小值，即当 =0 时原式有最大值，解 =0 得：x= 2，答案为2点评：本题比较简单，考查了二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于 012 = 2|a|c 2 考点：二次根式的性质与化简。分析：根据二次根式的性质进行化简即可解答：解： 有意义，ab0，原式=2|a
9、|c 2 点评：本题考查了二次根式的化简，注意二次根式的结果为非负数13若 a1，化简 = a 考点：二次根式的性质与化简。分析： =|a1|1，根据 a 的范围，a10，所以|a 1|=（a1） ，进而得到原式的值解答：解：a1，a1 0， =|a1|1=（a1 ）1=a+11=a点评：对于 化简，应先将其转化为绝对值形式，再去绝对值符号，即 14若 a、b、 c 三个数在数轴上对应点的位置如图所示，化简： = 3 考点：二次根式的性质与化简；实数的性质；实数与数轴。分析：先根据数轴判断出 a、b、c 的大小及符号，再根据有绝对值的性质及二次根式的定义解答解答：解：由数轴上各点的位置可知，a
10、b0，c 0，a|b|c， =a；|ab|=b a；|a+b|=（a+b） ；| 3c|=3c；|a+c|=（a+c） ；故原式= = =3点评：解答此题的关键是根据数轴上字母的位置判断其大小，再根据绝对值的规律计算绝对值的规律：一个整数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 015若 0x1，化简 = 2x 考点：二次根式的性质与化简。分析：由 ， ，又 0x1，则有 x0，通过变形化简原式即可得出最终结果解答：解：原式= =x+ （ x） =2x点评：本题考查的是对完全平方公式的灵活使用和对二次根式的化简应用16计算： （ ） 2（2 ） 0+| |+ 的结果是 考
11、点：二次根式的性质与化简；绝对值；零指数幂；负整数指数幂。分析：计算时首先要分清运算顺序，先乘方，后加减二次根式的加减，实质是合并同类二次根式，需要先化简，再合并解答：解： （ ） 2（2 ） 0+| |+= 41+ +1+=2 +4=7 点评：计算时注意负指数次幂与 0 次幂的含义，并且理解绝对值起到括号的作用选择题1、已知实数 a 满足不等式组 则化简下列式子 的结果是（ ）A、3 2a B、2a3C、 1 D、1考点：二次根式的性质与化简；解一元一次不等式组。分析：此题应先解出不等式组，找出 a 的取值范围，再将根式化简，确定符号，从而得出结论解答：解：解不等式组 得 1a2， =|a2
12、|1a|=（a 2）（1a）=32a故选 A点评：化简二次根式常用的性质： =|a|2、化简 的结果是（ ）A、 B、2aC、 2 D、考点：二次根式的性质与化简。分析：要化简该二次根式，首先进行约分计算解答：解：原式= =2 故选 C点评：进行数的约分计算是解答本题的关键3、若 a0 ，则化简 得（ ）A、 B、C、 D、考点：二次根式的性质与化简。分析：根据二次根式的性质解答解答：解：a0，= = = 故选 D点评：本题主要考查二次根式的化简方法与运用：a0 时， =a；a 0 时， =a；a=0 时，=04、化简（a 1） 的结果是（ ）A、 B、C、 D、考点：二次根式的性质与化简。分
13、析：代数式（a1） 有意义，必有 1a0，由 a1=（1 a） ，把正数（1 a）移到根号里面解答：解：原式= = 故选 D点评：本题考查了根据二次根式性质的运用当 a0时，a= ，运用这一性质可将根号外面的因式“移”到根号里面5、在下列各式中，等号不成立的是（ ）A、 B、2x = （x 0）C、 =a D、 （x+2 +y）（ + ）= +考点：二次根式的性质与化简。分析：分别对每个选项进行运算，然后选出正确答案解答：解：（1）隐含条件 a0， = = ，等式成立（2） x0， 2x = = ，等式成立（3）由表示形式可得 a0，故将 a3开出来得， =a ，等式不成立（4） （x+2 +
14、y）（ + ）= （ + ）= + ，等式成立故选 C点评：本题考查二次根式的化简，属于基础题，关键在于开根号时要注意字母的正负性6、如果 ab，那么 等于（ ）A、 （x+a） B、 （x+a ）C、 （x+a） D、 （x+a）考点：二次根式的性质与化简。分析：根据被开方数的特点，判断出（x+a）0， （x+b）0，再开方即可解答：解：如果 ab，则（ x+a）（x+b ） ；由 有意义，可知（x+a）0， （x+b）0； =（x+a） 故选 C点评：本题考查了根据二次根式的意义与化简，二次根式 规律总结：当 a0时， =a；当a 0 时， =a7、已知代数式 的值是常数 1，则 a 的取
15、值范围是（ ）A、a3 B、a2C、 2a3 D、a=2 或 a=3考点：二次根式的性质与化简。分析：从结果是常数 1 开始，对原式化简，然后求 a 的取值范围解答：解： =|2a|a3|，又（a2）（a3）=1，2a0，a30，解得 a3点评：解决本题的关键是根据二次根式的结果为非负数的意义，得到相应的关系式求解8、若 a0 ，则| a|的结果为（ ）A、0 B、2aC、 2a D、以上都不对考点：二次根式的性质与化简。分析：根据二次根式的化简方法可知解答：解：若 a0，则 =a，故| a|=|aa|=2a故选 B点评：本题主要考查了去绝对值的法则，二次根式的化简方法：a0 时， =a；a
16、0 时，=a；a=0 时， =09、若 2a 3，则化简 得（ ）A、5 2a B、2a5C、 12a D、2a 1考点：二次根式的性质与化简。分析：由 2a3 可知 2a0，a 30，然后去掉根号解答：解：当 2a3 时，2a0，a 30，故 =a23+a=2a5，故选 B点评：本题主要考查二次根式的化简，比较简单10、下列化简中正确的是（ ）A、 B、C、 D、考点：二次根式的性质与化简。分析：化简要注意：（1）化简时，往往需要把被开方数分解出开方开得尽的因数或因式；（2）当一个式子的分母中含有二次根式时，一般应把它化简成分母中不含二次根式的式子，也就是把它的分母有理化解答：解：A、3 =
17、3 = ；故 A 错误；B、 = = ；故 B 正确；C、 = = ；故 C 错误；D、 = ；故 D 错误故选 B点评：此题主要考查二次根式的性质： =|a|，最简二次根式的条件11、化简 ，正确的是（ ）A、 B、C、 D、考点：二次根式的性质与化简。分析：根据二次根式的性质解答解答：解：由被开方数为非负数和分式有意义的条件知，m0， = 故选 C点评：1、最简二次根式的特点：被开方数不含分母， 被开方数中不含开得尽方的因数或因式2、性质： =|a|12、若 a+|a|=0，则 等于（ ）A、1 2a B、2a1C、 1 D、1考点：二次根式的性质与化简。专题：计算题。分析：由 a+|a|
18、=0，可得|a|= a，故 a 为非正数，然后根据二次根式的性质运算解答：解：由 a+|a|=0，得|a|= a，可知 a 为非正数， =1a， =a原式=1aa=12a故选 A点评：本题的关键是判断出 a 的符号，然后化简式子13、下列计算中，正确的是（ ）A、 B、C、 D、考点：二次根式的性质与化简。分析：分别根据二次根式化简的法则计算即可判断正误其中要注意= ， = ，这两个是易错的类型解答：解：A、5 = ，故选项 A 错误；B、 = = ，故选项 B 错误；C、 = = ，故选项 C 错误；D、运用了平方差公式化简，故选项 D 正确故选 D点评：主要考查了二次根式的化简本题中要知道
19、带分数前面的正数和分数是相加的关系，不能分别开方，如 = = ，当两个分数之间是和的形式也不能直接分别开方，如 = 14、下列各式中，对任意实数 a 都成立的是（ ）A、 B、C、 D、考点：二次根式的性质与化简。分析：可运用特殊值法进行选项正确性的判断解答：解：A、当 a=1 时，a= ，故 A 错误；B、当 a=1 时，a ，故 B 错误；C、 =|a|，等式成立，正确；D、当 a 为负数时， 没意义，故 D 错误故选 C点评：本题考查二次根式的化简，属于基础题，注意特殊值法的运用15、若 0a1 ，则 （1+ ） 可化简为（ ）A、 B、C、 1a2 D、a 21考点：二次根式的性质与化
20、简。分析：本题中的代数式涉及到了二次根式和分式关键是正确进行二次根式的开方，正确进行分式的通分、约分化简解答：解：0a1，a 0 ， （1+ ）= （ ）=（ a） = = 故选 A点评：本题考查了二次根式的开方，分式运算的知识点，要合理寻求简单运算途径的能力及分式运算注意本题要将除法转变为乘法进行约分化简16、下列说法错误的是（ ）A、要使表达式 有意义，则 x1 B、满足不等式 x 的整数 x 共有 5 个C、当 1， x，3 分别为某个三角形的三边长时，有 成立 D、若实数a， b 满足 +|b2|=0，则以 a，b 为边长的等腰三角形的周长为 10考点：二次根式的性质与化简；非负数的性
21、质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；估算无理数的大小；二次根式有意义的条件；等腰三角形的性质。分析：根据算术平方根和绝对值应不能为负数来进行解答解答：解：A、若表达式 有意义，则 x10且 x+10，解得 x1；故 A 正确；B、满足不等式 x 的整数 x 可取： 2、1、 0、1、2，共五个，故 B 正确；C、根据三角形三边关系定理可知：3 1x 3+1，即 2x4；而 成立，需满足的条件为 x30且 x20，解得 x3；因此只有在 3x4 时，所给的等式才成立；故 C 错误；D、根据非负数的性质，得：a=4，b=2 ；当 2 为腰长、4 为底长时，2+2=4，不能构成三角形，故此种情况不
22、成立；当 4 为腰长、2 为底长时，4244+2，能构成三角形，所以这个等腰三角形的周长为：4+4+2=10；故 D 正确因此本题只有 C 选项的结论错误，故选 C点评：本题考查的知识点有：二次根式的定义及化简、非负数的性质、三角形三边关系定理等本题需注意的是二次根式的双重非负性： 0，a017、当 a0，b0 时，n 是正整数，计算 的值是（ ）A、 （ba ） B、 （a nb3an+1b2）C、 （b 3ab2） D、 （a nb3+an+1b2）考点：二次根式的性质与化简。分析：把被开方数分为指数为偶次方的因式的积，再开平方，合并被开方数相同的二次根式解答：解：原式= =anb3 an
23、+1b2=（ anb3an+1b2） 故选 B点评：本题考查的是二次根式的化简最简二次根式的条件：被开方数中不含开得尽方的因式或因数18、若 =12x，则 x 的取值范围是（ ）A、x B、xC、 x D、x考点：二次根式的性质与化简。分析：由于 0，所以 12x0，解不等式即可解答：解： =12x，12x0，解得 x 故选 B点评：算术平方根是非负数，这是解答此题的关键19、当 x 取某一范围的实数时，代数式 的值是一个常数，该常数是（ ）A、29 B、16C、 13 D、3考点：二次根式的性质与化简。分析：将被开方数中 16x 和 x13 的取值范围进行讨论解答：解： =|16x|+|x1
24、3|，（1）当 时，解得 13x 16，原式=16x+x13=3，为常数；（2）当 时，解得 x13 ，原式=16x+13x=29 2x，不是常数；（3）当 时，解得 x16 ；原式=x 16+x13=2x29，不是常数；（4）当 时，无解故选 D点评：解答此题，要弄清二次根式的性质： =|a|，分类讨论的思想20、当 x2y 时，化简 得（ ）A、x（x 2y） B、C、 （x 2y） D、 （2yx）考点：二次根式的性质与化简。分析：本题可先将根号内的分式的分子分解因式，再根据 x 与 y 的大小关系去绝对值解答：解：原式= = =|x2y|x2y原式=（2yx） 故选 D点评：本题考查的
25、是二次根式的化简，解此类题目时要注意题中所给的范围去绝对值21、当 x1 时，|x 2|2|x1|的值为（ ）A、2 B、4x6C、 44x D、4x+4考点：二次根式的性质与化简。分析：根据 x1，可知 2x0，x10，利用开平方和绝对值的性质计算解答：解：x12x 0，x 10|x 2|2|x1|=|x（2x ） 2|2（1x）=|2（x2）|2（1x）=2（x2 ）2（1x）=2故选 A点评：本题主要考查二次根式的化简方法与运用：a0 时， =a；a 0 时， =a；a=0 时，=0；解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式、绝对值等考点的运算22、化简|2a+3 |+ （a4）的结果是（
26、）A、 3a B、3aC、 a+ D、 3a考点：二次根式的性质与化简；绝对值。分析：本题应先讨论绝对值内的数的正负性再去绝对值，而根号内的数可先化简、配方，最后再开根号，将两式相加即可得出结论解答：解：a4，2a8，a 40，2a+3 8+3 0原式=|2a+3 |+=|2a+3 |+=2a3 +4a= 3a故选 D点评：本题考查的是二次根式的化简和绝对值的化简，解此类题目时要充分考虑数的取值范围，再去绝对值，否则容易计算错误23、若 2=a2，则 a 的取值范围是（ ）A、a2 B、a2C、 a2 D、a2考点：二次根式的性质与化简。分析：因为一个数的算术平方根为非负数，又因为 2=a2，
27、则可以知道 a20解答：解： 2=a2，根据算术平方根的意义，a20，解得 a2故选 D点评：注意：算术平方根都是非负数，这是解答此题的关键24、若 a+ =0 成立，则 a 的取值范围是（ ）A、a0 B、a0C、 a0 D、a 0考点：二次根式的性质与化简。分析：根据二次根式的性质解答解答：解：a+ =0 成立，则 =a由算术平方根的性质可知，a0 ，解得 a0故选 C点评：解答此题，要弄清二次根式的性质： =|a|025、下列各式正确的是（ ）A、 B、C、 D、考点：二次根式的性质与化简。专题：计算题。分析：根据平方根和算术平方根的概念分析解答：解：A、因为一个数的算术平方根为非负数，
28、所以 A 错误；B、因为一个数的算术平方根为非负数，所以 B 错误；C、正确；D、中的 a 可能为负数，此答案不一定成立，错误；故选 C点评：解答此题要知道平方根和算术平方根的概念一般地，如果一个非负数 x 的平方等于 y，那么这个非负数 x 就叫做 y 的算术平方根 （即一个非负数的正的平方根叫做算术平方根） 26、如果实数 a、b 满足 ，那么点（ a，b）在（ ）A、第一象限 B、第二象限C、第二象限或坐标轴上 D、第四象限或坐标轴上考点：二次根式的性质与化简；点的坐标。专题：计算题；分类讨论。分析：先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限或坐标轴解答：解：实数 a、b 满足 ，
29、a、 b 异号，且 b0；故 a0，或者 a、b 中有一个为 0 或均为 0于是点（a，b）在第二象限或坐标轴上故选 C点评：根据二次根式的意义，确定被开方数的取值范围，进而确定 a、b 的取值范围，从而确定点的坐标位置27、下面是某同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（ ）A、若分式 的值为零，则 x=1，2 B、若 x= ，则 x=2C、若函数 ，则自变量 x 的取值范围是 x1且 x2 D、化简 的结果是考点：解分式方程；分式的值为零的条件；分式的加减法；二次根式有意义的条件。分析：根据分式的值为 0 的条件、函数自变量 x 的取值范围、分式的加减的知识点进行解答解答：解：A、当
30、x=1 时，分母 x1=0，分式无意义，故错误；B、若 x= ，则 x=2，故错误；C、正确；D、化简 = = = = ，故错误故选 C点评：本题考查的知识点比较多，需要牢固掌握28、 （2006黄石）函数 y= 的自变量 x 的取值范围是（ ）A、x2 B、x 2 且 x1C、 x1 D、x1考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件。专题：计算题。分析：立方根的被开方数可以是任意数，不用考虑取值范围，只让分式的分母不为 0 列式求值即可解答：解：由题意得：x+10，解得 x1，故选 C点评：用到的知识点为：立方根的被开方数可以是任意数；分式有意义，分母不为 029、
31、函数 的定义域是（ ）A、x2 B、x 2C、 x2 D、x0考点：函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件。专题：计算题。分析：本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式根据二次根式的意义，被开方数是非负数解答：解：根据题意得：x+20，解得 x2故选 B点评：函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数30、下列五个命题：（1）若直角三角形的两条边长为 5 和 12，则第三边长是 13；（2）如果 a0，那么 =a（3）若点 P（a，b
32、）在第三象限，则点 P（a， b+1）在第一象限；（4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；（5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等其中不正确命题的个数是（ ）A、2 个 B、3 个C、 4 个 D、5 个考点：勾股定理；二次根式的性质与化简；点的坐标；全等三角形的判定；正方形的判定。分析：（1）由于直角三角形的两条边长为 5 和 12，这两条边没有确定谁是斜边谁是直角边，大的一条还可能是斜边，所以第三边长不唯一；（2）正确，符合二次根式的意义；（3）由于点 P（a，b）在第三象限，由此得到 a、b 的取值范围，然后利用它们的取值范围即可得到结果；正确（4）对角线互相垂直平分且相等
33、的四边形是正方形，所以对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形；（5）可以利用全等三角形的判定定理证明是否正确解答：解：（1）由于直角三角形的两条边长为 5 和 12，这两条边没有确定是否是直角边，所以第三边长不唯一，故命题错误；（2）符合二次根式的意义，命题正确；（3） 点 P（a ，b）在第三象限，a0、b 0， a0， b+10，点 P（a，b+1）在第一象限，故命题正确；（4）正方形是对角线互相垂直平分且相等的四边形，故命题错误；（5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等是正确的故选 B点评：需注意没有明确告知两条边都是直角边，故大的一条还可能是斜边对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
