1、2014-2015 学年四川省宜宾三中高一（上）第一次月考数学试卷一选择题（共 12 个小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1设 U=0，1，2，3，4，A=0，1，2，3，B=2，3，4，则（ uA）（ uB）等于( )A1 B0，1 C0，1，4 D0 ，1，2，3，42函数 的定义域为( )A （，+） B3，1 ）（1，+） C3，1 D （1，+）3全集 U=2，3，a 2+2a3， A=|a+7|，2 ， uA=5，则实数 a=( )A2，4 B2 ，4 C2 D44已知集合 P=x|x2=1，集合 Q=x|ax=1，若 QP，那么 a
2、的值是( )A1 B1 C1 或 1 D0，1 或15下列各组函数中，表示同一函数的是( )Ay=|x|，y= By= ，y=Cy=1 ，y= Dy=|x|，y=（ ） 26已知 A=2，2010，x 21，B=0 ，2010，x 23x，且 A=B，则 x 的值为( )A1 B0 C 1 D1，17设 U=1，2，3， 4，5，A ，B 为 U 的子集，若 AB=2， （ UA） B=4， （ UA）（ UB）=1 ， 5，则下列结论正确的是( )A3A，3B B3A，3B C3 A，3B D3A，3B8设函数 ，若 f（a）=3，则 a 等于( )A1 B1 或 2 C2 D39若函数 f
3、（x）=x 22kx+5 在2 ，4上具有单调性，则实数 k 的取值范围是( )A4，+ ） B （ ， 2 C2，+） D （，24，+）10定义集合 A、B 的一种运算：A*B=x|x=x 1+x2，x 1A，x 2B，若 A=1，2，3 ，B=1，2，则 A*B 中的所有元素之和为( )A21 B18 C14 D911函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）=x（1+x） ，则当 x0 时，f（x）等于( )Ax（ 1x） Bx（1 x） C x（1+x） Dx（1+x ）12函数 y=f（x）与 y=g（x）有相同的定义域，且对定义域中的任意 x，有 f（x）+f
4、（x）=0，g（x）g（x）=1，且 g（0）=1，则函数 是( )A奇函数 B偶函数C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数二填空题（每小题 4 分共 16 分）13已知 f（x+1 ）=x 23x+2，则 f（x）=_14已知函数 y=f（2x+1）的定义域为3 ，5，则 y=f（x）的定义域为_15求函数 y=x 的值域为_16已知函数 f（x）是定义在非负实数集上的单调函数且 若f（2a 21）f（3 2a） ，则实数 a 的取值范围_三、解答题（本大题共 6 小题，满分 74 分）17计算：设全集为 R，集合 A=x|1x3 ，B=x|x|2（1）求：AB，A B，C R（A B） ；
5、（2）若集合 C=x|2xa0，满足 BC=C，求实数 a 的取值范围18设全集 U=x|x5，且 xN*，集合 A=x|x25x+q=0，B=x|x 2+px+12=0，且（ UA）B=1，4，3， 5，求实数 p、q 的值19如图，用长为 1 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆半径为 x，求此框架围成的面积 y 与 x 的函数式 y=f（x） ，并写出它的定义域20设 A=x|x2+4x=0，B=x|x 2+2（a+1）x+a 21=0，其中 xR，如果 AB=B，求实数 a的取值范围21已知二次函数 f（x）=ax 2+bx+c（a，b，cR ，a0） ，f（2）=f（0）
6、=0，f（x）的最小值为1（1）求函数 f（x）的解析式；（2）设 g（x）=f（x）mx， （0x3）求函数 g（x）的值域22 （14 分）设函数 y=f（x）定义在 R 上，对于任意实数 m，n，恒有 f（m+n ）=f（m）f（n） ，且当 x0 时，0f（ x）1（1）求证：f（0）=1 且当 x0 时，f（x）1（2）求证：f（x）在 R 上是减函数；（3）设集合 A=（x，y）|f（x 2+6x1） f（y）=1，B=（x，y）|y=a，且 AB=，求实数 a 的取值范围2014-2015 学年四川省宜宾三中高一（上）第一次月考数学试卷一选择题（共 12 个小题，每小题 5 分，
7、满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1设 U=0，1，2，3，4，A=0，1，2，3，B=2，3，4，则（ uA）（ uB）等于( )A1 B0，1 C0，1，4 D0 ，1，2，3，4【考点】交、并、补集的混合运算 【专题】计算题【分析】由全集 U，以及 A 与 B，找出 A 与 B 的补集，求出补集的并集即可【解答】解：U=0 ，1，2，3，4，A=0，1，2，3，B=2，3，4 ，uA=4， uB=0，1，则（ uA）（ uB）=0 ，1， 4故选 C【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2函数 的定义域为( )A （，+） B3
8、，1 ）（1，+） C3，1 D （1，+）【考点】函数的定义域及其求法 【专题】计算题【分析】把使得原函数有意义的条件列出来，解方程组即可【解答】解：要使得原函数有意义，需满足解得 x3 且 x1原函数的定义域为：3，1） （1，+）故选 B【点评】本题考查函数的定义域，要满足偶次根式的被开方数大于等于 0、分式的分母不为 0属简单题3全集 U=2，3，a 2+2a3， A=|a+7|，2 ， uA=5，则实数 a=( )A2，4 B2 ，4 C2 D4【考点】补集及其运算 【专题】集合【分析】由 A 的补集中元素为 5，得到全集中的多项式值为 5，列出关于 a 的方程，求出方程的解得到 a
9、 的值，将 a 的值代入检验，即可得到满足题意 a 的值【解答】解：由题意得：a 2+2a3=5，即（a+4） （a 2）=0，解得：a= 4 或 a=2，当 a=2 时，|2+7|=9，即 A=2，9，不合题意，舍去；当 a=4 时，|4+7|=3，即 A=2，3 ，合题意；则 a=4故选：D【点评】此题考查了补集及其运算，以及集合关系中的参数取值问题，熟练掌握补集的定义是解本题的关键4已知集合 P=x|x2=1，集合 Q=x|ax=1，若 QP，那么 a 的值是( )A1 B1 C1 或 1 D0，1 或1【考点】集合的包含关系判断及应用 【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】先化简 P
10、，再根据 QP 分情况对参数的取值进行讨论，即可求出参数 a 的取值集合【解答】解：P=x|x 2=1=1，1，Q=x|ax=1，Q P，当 Q 是空集时，有 a=0 显然成立；当 Q=1时，有 a=1，符合题意；当 Q=1时，有 a=1，符合题意；故满足条件的 a 的值为 1，1，0故选 D【点评】本题考查集合关系中的参数取值问题，解题的关键是根据包含关系的定义对集合Q 的情况进行正确分类，本题求解中有一易错点，就是忘记讨论 Q 是空集的情况，分类讨论时一定注意不要漏掉情况5下列各组函数中，表示同一函数的是( )Ay=|x|，y= By= ，y=Cy=1 ，y= Dy=|x|，y=（ ） 2
11、【考点】判断两个函数是否为同一函数 【专题】计算题【分析】A 中的两个函数具有相同的定义域和对应关系，故是同一个函数而 B、C、D 中的两个函数的定义域不同，故不是同一个函数【解答】解：由于函数 y=|x|和 y= 具有相同的定义域和对应关系，故是同一个函数，故 A 满足条件由于函数 y= 的定义域为 x|x2，而 y= 的定义域为x|x2，或x2 ，故这两个函数的定义域不同，故不是同一个函数，故 B 不满足条件由于函数 y=1 的定义域为 R，而函数 y= 的定义域为x|x0，故这两个函数的定义域不同，故不是同一个函数，故 C 不满足条件由于函数 y=|x|的定义域为 R，而函数 y=（ ）
12、 2 的定义域为 x|x0，故这两个函数的定义域不同，故不是同一个函数，故 D 不满足条件，故选：A【点评】本题主要考查函数的三要素，两个函数是同一个函数，当且仅当这两个函数具有相同的定义域、值域、对应关系，属于基础题6已知 A=2，2010，x 21，B=0 ，2010，x 23x，且 A=B，则 x 的值为( )A1 B0 C 1 D1，1【考点】集合的相等 【专题】计算题；集合【分析】根据 A=B，得到两个集合的元素相同，然后根据集合元素的特点建立方程即可【解答】解：因为 A=2，2010，x 21，B=0 ，2010，x 23x，且 A=B，所以 x21=0 且 x23x=2，解得 x
13、=1当 x=1 时，A=2，2010，0，B=0，2010，2，满足条件所以 x=1故选：A【点评】本题主要考查集合相等的应用，集合相等，对应元素完全相同注意进行检验7设 U=1，2，3，4，5，A ，B 为 U 的子集，若 AB=2， （ UA） B=4， （ UA）（ UB）=1 ， 5，则下列结论正确的是( )A3A，3B B3A，3B C3 A，3B D3A，3B【考点】交、并、补集的混合运算 【专题】计算题【分析】利用集合间的关系画出韦恩图，结合韦恩图即可得到答案【解答】解：因为：U=1，2，3，4，5，A ，B 为 U 的子集，若 AB=2， （ UA） B=4， （ UA）（ U
14、B）=1 ，5，对应的韦恩图为：故只有答案 C 符合故选：C【点评】本题考查集合的表示法，学会利用韦恩图解决集合的交、并、补运算8设函数 ，若 f（a）=3，则 a 等于( )A1 B1 或 2 C2 D3【考点】分段函数的应用 【专题】函数的性质及应用【分析】利用分段函数，列出方程求解即可【解答】解：函数 ，f（a）=3，当 a2 时，a+1=3，解得 a=2，不满足题意当2 a2 时，a 2+2a=3，解得 a=1，a=3 不满足题意舍去当 a2 时，2a1=3，解得 a=2，不满足题意综上 a=1故选：A【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点与方程根的关系，考查计算能力9若函数 f（
15、x）=x 22kx+5 在2 ，4上具有单调性，则实数 k 的取值范围是( )A4，+ ） B （ ， 2 C2，+） D （，24，+）【考点】二次函数的性质 【专题】函数的性质及应用【分析】由函数 f（x）=x 22kx+5=（xk） 2+5k2 在2，4上具有单调性，可得 k2 或4k即可得出【解答】解：函数 f（x）=x 22kx+5=（xk） 2+5k2 在2， 4上具有单调性，k2 或 4k则实数 k 的取值范围是 k2 或 4k故选：D【点评】本题考查了二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10定义集合 A、B 的一种运算：A*B=x|x=x 1+x2，x 1A，
16、x 2B，若 A=1，2，3 ，B=1，2，则 A*B 中的所有元素之和为( )A21 B18 C14 D9【考点】元素与集合关系的判断 【专题】计算题【分析】根据新定义 A*B=x|x=x1+x2，x 1A，x 2B，把集合 A 与集合 B 中的元素分别代入再求和即可求出答案【解答】解：A*B=x|x=x 1+x2，x 1A，x 2B，A=1，2，3，B=1，2，A*B=2，3，4，5，A*B 中的所有元素之和为：2+3+4+5=14 ，故选 C【点评】本题考查了元素与集合关系的判断，属于基础题，关键是根据新定义求解11函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）=x（1+
17、x） ，则当 x0 时，f（x）等于( )Ax（ 1x） Bx（1 x） C x（1+x） Dx（1+x ）【考点】函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法 【专题】函数的性质及应用【分析】当 x0，则x0，利用函数是奇函数，代入整理即可求 f（x） 【解答】解：当 x0 时，x 0，此时 f（ x）=x（1x） ，f（ x）是定义在 R 上的奇函数，f（ x）= f（x） ，f（ x）= x（1 x）=f（x） ，即 f（x）=x （1 x） ，x0故选：B【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用函数是奇函数，将 x0 转化为x0，是解决本题的关键12函数 y=f（x）与 y=g（x）
18、有相同的定义域，且对定义域中的任意 x，有 f（x）+f（x）=0，g（x）g（x）=1，且 g（0）=1，则函数 是( )A奇函数 B偶函数C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数【考点】函数奇偶性的判断 【专题】计算题【分析】利用定义判断函数的奇偶性，先化简 F（x） ，再求 F（ x） ，观察 F（x）与F（x）的关系，即可判断【解答】解： = = = =F（ x）=F（x） ，函数为偶函数故选 B【点评】本题主要考查了利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，如果要判断的函数解析式比较复杂，可先化简，再判断二填空题（每小题 4 分共 16 分）13已知 f（x+1 ）=x 23x+2，则 f
19、（x）=x 25x+6【考点】函数解析式的求解及常用方法 【专题】计算题【分析】设 x+1=t，则 x=t1，由 f（x+1）=x 23x+2，知 f（t ）=（t1） 23（t1）+2，由此能求出 f（x） 【解答】解：设 x+1=t，则 x=t1，f（ x+1）=x 23x+2，f（ t）=（t1） 23（t 1）+2=t25t+6，f（ x）=x 25x+6故答案为：x 25x+6【点评】本题考查函数解析式的求解及其常用方法，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答14已知函数 y=f（2x+1）的定义域为3 ，5，则 y=f（x）的定义域为7，11【考点】函数的定义域及其求法 【专题】函数
20、的性质及应用【分析】由函数 y=f（2x+1）的定义域为3 ，5，即 3x5，进一步求出 2x+1 的范围得y=f（x）的定义域【解答】解：由函数 y=f（2x+1）的定义域为3 ，5，即 3x5，得 2x+17，11y=f（x）的定义域为7，11 故答案为：7，11 【点评】本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的解决方法，是基础题15求函数 y=x 的值域为（， 【考点】函数的值域 【专题】函数的性质及应用【分析】求出原函数的定义域，然后利用函数在定义域内为增函数求得函数的值域【解答】解：由 12x0，得 ， 为定义域上的减函数，y=x 在（ ， 上为增函数，则函数 y=x 的最
21、大值为 函数 y=x 的值域为（， 故答案为：（， 【点评】本题考查函数的值域的求法，训练了利用函数的单调性求函数值域，是基础题16已知函数 f（x）是定义在非负实数集上的单调函数且 若f（2a 21）f（3 2a） ，则实数 a 的取值范围a|a 2 或 1 a 【考点】函数单调性的性质 【专题】函数的性质及应用【分析】由题意可得函数 f（ x）在非负实数集上的单调递增，可得 2a2132a0，由此求得 a 的范围【解答】解：由题意可得函数 f（x）在非负实数集上的单调递增，故由 f（2a 21）f（3 2a） ，可得 2a213 2a0，即 ，求得 a2 或 1a ，故答案为：a|a 2
22、或 1a 【点评】本题主要考查函数的单调性的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题三、解答题（本大题共 6 小题，满分 74 分）17计算：设全集为 R，集合 A=x|1x3 ，B=x|x|2（1）求：AB，A B，C R（A B） ；（2）若集合 C=x|2xa0，满足 BC=C，求实数 a 的取值范围【考点】交、并、补集的混合运算 【专题】计算题【分析】 （1）由全集为 R，集合 A=x|1x3 ，B=x|x| 2=x|2x2，能够求出AB，AB ，C R（A B） （2）由 C=x|2xa0=x|x ，B C=C，知 BC，故 ，由此能求出实数 a 的取值范围【解答】解：（1）全集为 R
23、，集合 A=x|1x3 ，B=x|x|2=x|2x2，AB=x|2x3，AB=x|1x2，CR（AB）=x|x 1，或 x2（2）C=x|2x a0=x|x ，B C=C，BC， ，解得 a4故实数 a 的取值范围（，4【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化18设全集 U=x|x5，且 xN*，集合 A=x|x25x+q=0，B=x|x 2+px+12=0，且（ UA）B=1，4，3， 5，求实数 p、q 的值【考点】交、并、补集的混合运算 【分析】化简全集 U，据（C UA） B 得到 2A 代入求出 p，解集合 A 中的二次
24、方程求出集合 A，进一步求出 A 的补集，再根据条件（C UA）B=1，4，3，5，得到 3B，将 3代入 B 求出 q【解答】解：U=1，2，3，4，5（ CUA）B=1，4，3，5，2AA=x|x25x+q=0将 2 代入得 410+q=0 得 q=6A=x|x25x+6=0=2，3CUA=1，4，5（ CUA）B=1，4，3，5，3B9+3p+12=0 解得 p=7p=7，q=6【点评】本题考查集合的交集、并集、补集的混合运算，据运算结果得出个集合的情况19如图，用长为 1 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆半径为 x，求此框架围成的面积 y 与 x 的函数式 y=f（x）
25、 ，并写出它的定义域【考点】函数模型的选择与应用 【专题】应用题【分析】根据题意，用长为 1 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，分别计算其面积，可得框架围成的面积 y 与 x 的函数式 y=f （x） ，根据实际意义，可写出它的定义域【解答】解：由题意 AB=2x，弧 CD=x，于是 AD= ，因此，y=2x + ，即函数的解析式为 y= 又由 ，得 0x ，故函数的定义域为（0， ） 【点评】本题考查的重点是函数模型的构建，解题的关键是正确表示出上、下两部分的面积20设 A=x|x2+4x=0，B=x|x 2+2（a+1）x+a 21=0，其中 xR，如果 AB=B，求实数 a的取值
26、范围【考点】集合的包含关系判断及应用 【专题】计算题【分析】先由题设条件求出集合 A，再由 AB=B，导出集合 B 的可能结果，然后结合根的判别式确定实数 a 的取值范围【解答】解：A=x|x 2+4x=0=0， 4，AB=B 知，BA，B=0或 B=4或 B=0，4 或 B=，若 B=0时，x 2+2（a+1）x+a 21=0 有两个相等的根 0，则 ，a=1，若 B=4时， x2+2（a+1）x+a 21=0 有两个相等的根4，则 ，a 无解，若 B=0，4 时， x2+2（a+1）x+a 21=0 有两个不相等的根 0 和4，则，a=1，当 B=时，x 2+2（a+1）x+a 21=0
27、无实数根， =2（a+1） 24（a 21）=8a+80，得 a 1，综上：a=1，a1【点评】本题考查集合的包含关系的判断和应用，解题时要认真审题，注意公式的合理应用21已知二次函数 f（x）=ax 2+bx+c（a，b，cR ，a0） ，f（2）=f（0）=0，f（x）的最小值为1（1）求函数 f（x）的解析式；（2）设 g（x）=f（x）mx， （0x3）求函数 g（x）的值域【考点】二次函数的性质 【专题】函数的性质及应用【分析】 （1）根据二次函数的性质求出 a，b 的值，从而求出函数的表达式即可；（2）先求出 g（x）的表达式，求出函数的对称轴，通过讨论对称轴的位置，求出函数的最值
28、，进而求出函数的值域即可【解答】解：（1）二次函数 f（x）=ax 2+bx+c，a、b、c R，a0，f（ 2）=f （0）=0 ，可得 c=0，4a2b=0，函数的对称轴为：x= 1，f（x）的最小值为1所以1=ab，a=1， b=2函数的解析式为：f（x）=x 2+2x；（2）g（x）=f（x）mx=x 2+2xmx=x2+（2m）x， （0x3） ，对称轴 x= ，对称轴 x= 0，即 m2 时：g（x）在0，3 递增，g（x） min=g（ 0）=0 ，g（x） max=g（3）=15 3m，故函数 g（x）的值域是0，15 3m，0 ，即 2m5 时：g（x）在0， ）递减，在（
29、，3 递增，g（x） min=g（ ）= ，g（x） max=g（3）=153m ，故函数 g（x）的值域是 ，153m ， 3，即 5m7 时：g（x）在0， ）递减，在（ ，3 递增，g（x） min=g（ ）= ，g（x） max=g（0）=0，故函数 g（x）的值域是 ，0，对称轴 x= 3，即 m7 时：g（x）在0，3 递减，g（x） max=g（0）=0，g（x） min=g（3）=15 3m，故函数 g（x）的值域是153m ，0【点评】本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题22 （14 分）设函数 y=f（x）定义在 R 上，对于任意实数 m，n，
30、恒有 f（m+n ）=f（m）f（n） ，且当 x0 时，0f（ x）1（1）求证：f（0）=1 且当 x0 时，f（x）1（2）求证：f（x）在 R 上是减函数；（3）设集合 A=（x，y）|f（x 2+6x1） f（y）=1，B=（x，y）|y=a，且 AB=，求实数 a 的取值范围【考点】抽象函数及其应用 【专题】证明题；综合题【分析】 （1）用赋值法求 f（ 0） ，在构造x0 时对应的 f（x） ，可得 x0 时，f（x）1（2）利用定义来证，将 f（x 1）f（x 2）转化为f （x 1x2） 1f（x 2）再利用在 R 上 f（x）0 即可（3）先利用 f（x 2+6x1） f（
31、y）=1 找到 x，y 的关系 y=x26x+1，再利用 AB=，求出a【解答】 （1）证明：f（m+n）=f（m）f（n） ，m 、n 为任意实数，取 m=0，n=2，则有 f（0+2 ）=f （0） f（2）当 x 0 时，0f（x）1，f（ 2）0，f（0）=1当 x0 时，x 00 f（x）1，则取 m=x，n= x，则 f（xx）=f（0）=f（x） f（x）=1则 f（x x）=f（0）=f（x）f（x）=1（2）证明：由（1）及题设可知，在 R 上 f（x）0 设 x1，x 2R，且 x1x 2，则x1x20 f（x 1x2）1f（x 1） f（x 2）=f（x 1x2+x2）
32、f（ x2）=f（x 1x2）f （x 2） f（x 2）=f（x 1x2）1f（x 2）f（ x1x2）10，f（x 2） 0f（x 1）f（x 2）0 即 f（x 1）f （x 2）所以 f（x）在 R 上是减函数（3）解：在集合 A 中 f（x 2+6x1）f （y）=1由已知条件，有 f（x 2+6x1+y）=f（0）x 2+6x1+y=0，即 y=x26x+1在集合 B 中，有 y=aAB=，则抛物线 y=x26x+1 与直线 y=a 无交点 y=x26x+1=（x 3）28， ymin=8， a 8即 a 的取值范围是（，8）【点评】本题的第一和第二问考查的是抽象函数性质的证明抽象函数性质的证明是一种代数推理，和几何推理证明一样，要注意推理的严谨性，每一步推理都要有充分的条件，不可漏掉条件，更不可臆造条件，推理过程要层次分明，书写规范
