1、1第一篇 函数、极限与连续第一章 函数、极限与连续高等数学的主要内容是微积分,微积分是以变量为研究对象,以极限方法为基本研究手段的数学学科.本章首先复习函数相关内容,继而介绍极限的概念、性质、运算等知识,最后通过函数的极限引入函数的连续性概念,这些内容是学习高等数学课程极其重要的基础知识.第 1 节 集合与函数1.1 集合1.1.1 集合讨论函数离不开集合的概念.一般地,我们把具有某种特定性质的事物或对象的总体称为集合,组成集合的事物或对象称为该集合的元素.通常用大写字母 、 、 、 表示集合,用小写字母 、 、 、 表示集合的ABC abc元素.如果 是集合 的元素,则表示为 ,读作“ 属于
2、 ”;如果 不是集合 的aAaAA元素,则表示为 ,读作“ 不属于 ”.一个集合,如果它含有有限个元素,则称为有限集;如果它含有无限个元素,则称为无限集;如果它不含任何元素,则称为空集,记作 .集合的表示方法通常有两种:一种是列举法,即把集合的元素一一列举出来,并用“”括起来表示集合.例如,有 1,2,3,4,5 组成的集合 ,可表示成=1,2,3,4,5;A第二种是描述法,即设集合 所有元素 的共同特征为 ,则集合 可表示为MxPM.具 有 性 质|例如,集合 是不等式 的解集,就可以表示为A02x.|x由实数组成的集合,称为数集,初等数学中常见的数集有:(1)全体非负整数组成的集合称为非负
3、整数集(或自然数集),记作 ,即N; ,3,210nN(2)所有正整数组成的集合称为正整数集,记作 ,即N; ,(3)全体整数组成的集合称为整数集,记作 ,即Z; ,3,20, nnZ2(4)全体有理数组成的集合称为有理数集,记作 ,即Q;互 质与且 qpNqZpQ,(5)全体实数组成的集合称为实数集,记作 .R1.1.2 区间与邻域在初等数学中,常见的在数集是区间.设 ,且 ,则ba,b(1)开区间 ;xab|),((2)半开半闭区间 , ;| xa|,((3)闭区间 ;bx|,(4)无穷区间 , aa|), ,xa|),( x|,(, .b|)Rx|),(以上四类统称为区间,其中(1)-(
4、4)称为有限区间, (5)-(8)称为无限区间.在数轴上可以表示为(图 1-1):(1) (2)(3) (4)(5) (6) (7) (8)图 1-1在微积分的概念中,有时需要考虑由某点 附近的所有点组成的集合,为此引入邻域0x3的概念.定义 1 设 为某个正数,称开区间 为点 的 邻域,简称为点),(0x0x的邻域,记作 ,即0x),(0xU.00|xx|0x在此,点 称为邻域的中心, 称为邻域的半径,图形表示为(图 1-2):0x图 1-2另外,点 的邻域去掉中心 后,称为点 的去心邻域,记作 ,即0x0x0x),(0xUo,|),(Uo图形表示为(图 1-3):图 1-3其中 称为点 的
5、左邻域, 称为点 的右邻域.),(0x0),(0x0x1.2 函数的概念1.2.1 函数的定义定义 2 设 、 是两个变量, 是给定的数集,如果对于每个 ,通过对应法xyDDx则 ,有唯一确定的 与之对应,则称 为是 的函数,记作 .其中 为自变量,f yx)(fy为因变量, 为定义域,函数值 的全体成为函数 的值域,记作 ,即yD)(fffR.xfyRf),(|函数的记号是可以任意选取的, 除了用 外, 还可用“ ”、“ ”、“ ”等表gF示. 但在同一问题中, 不同的函数应选用不同的记号.函数的两要素:函数的定义域和对应关系为确定函数的两要素.例 1 求函数 的定义域.21xy解 的定义区
6、间满足: ; 的定义区间满足: ,解得x02x012x.4这两个函数定义区间的公共部分是.101x或所以,所求函数定义域为 .,0(),例 2 判断下列各组函数是否相同.(1) , ;xflg)(2lg)(x(2) , ;3431(3) , .xf)(2)(x解 (1) 的定义域为 , 的定义域为 .两个函数定lg02lg)(x0x义域不同,所以 和 不相同.)(xf(2) 和 的定义域为一切实数. ,所以34)(xf)(13xg和 是相同函数.)(xfg(3) , ,故两者对应关系不一致,所以 和 不相xf)(xg2)( )(xf同.函数的表示法有表格法、图形法、解析法(公式法)三种.常用的
7、是图形法和公式法两种.在此不再多做说明.函数举例:例 3 函数 ,函数为符号函数,定义域为 ,值域 . 如0,1,sgnxy R1,0图 1-4:图 1-4例 4 函数 ,此函数为 取整函数,定义域为 , 设 为任意实数, 不超过xyRxy的最大整数, 值域 . 如图 1-5:xZ5图 1-5特别指出的是,在高等数学中还出现另一类函数关系,一个自变量 通过对于法则x有确定的 值与之对应,但这个 值不总是唯一.这个对应法则并不符合函数的定义,fyy习惯上我们称这样的对应法则确定了一个多值函数.1.2.2 函数的性质设函数 ,定义域为 , .)(xfyDI(1)函数的有界性定义 3 若存在常数 ,
8、使得对每一个 ,有 ,则称函数 在0MIxMxf)()(xf上 有界 .I若对任意 ,总存在 ,使 ,则称函数 在 上无界.如图Ix0f)(0)(fI1-6:图 1-6例如 函数 在 上是有界的: .函数 在xfsin)(),(1sinxxf1)(内无上界,在 内有界.)1,0(2,1(2)函数的单调性设函数 在区间 上有定义, 及 为区间 上任意两点, 且 .如果恒)(xfyI1x2I21x有 , 则称 在 上是单调增加的;如果恒有 , 则称)(21xff )(1fxf在 上是 单调递减的.单调增加和单调减少的函数统称为 单调函数(图 1-7). I6图 1-7(3)函数的奇偶性设函数 的定
9、义域 关于原点对称.如果在 上有 , 则称)(xfyDD)(xff为 偶函数;如果在 上有 , 则称 为奇函数.)(xf )(xff)(x例如,函数 ,由于 ,所以 是偶函数;2)(xf 2f2)(xf又如函数 ,由于 ,所以 是奇函数.如图3)()(3xxf 31-8:图 1-8从函数图形上看,偶函数的图形关于 轴对称,奇函数的图形关于原点对称.y(4)函数的周期性设函数 的定义域为 . 如果存在一个不为零的数 ,使得对于任一 有)(xfyDlDx, 且 , 则称 为周期函数, 称为 的周期.如果在函数Dlx)(fl)(xf )(xf的所有正周期中存在一个最小的正数,则我们称这个正数为 的最
10、小正周期.我)(f们通常说的周期是指最小正周期.例如,函数 和 是周期为 的周期函数,函数 和xysinxcos2xytan是周期为 的周期函数.xycot在此,需要指出的是某些周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数 ,对任意实数 ,都有 ,故任意实数都是其Cxf)(l)(xflf周期,但它没有最小正周期.又如,狄里克雷函数7,cQxD,01)(当 时,对任意有理数 , ,必有 ,故任意有理数都是其cQxlcx)(xDl周期,但它没有最小正周期.1.3 反函数在初等数学中的函数定义中,若函数 为单射 ,若存在 ,)(:ff:1fD)(称此对应法则 为 的反函数.1f习惯上, 的反函数记作
11、Dxy),(.)(),(1Dfxfy例如,指数函数 的反函数为 ,图像为(图 1-,(,xey ),0(lnxy9)图 1-9反函数的性质:(1)函数 单调递增(减),其反函数 存在,且也单调递增(减).xfy)(1xfy(2)函数 与其反函数 的图形关于直线 对称.)(1xfyy下面介绍几个常见的三角函数的反函数:正弦函数 的反函数 ,正切函数 的反函数 .xysinarcsinxtanxarctn反正弦函数 的定义域是 ,值域是 ;反正切函数arci1,2,的定义域是 ,值域是 ,如图 1-10:xyrtn),(,89图 1-101.4 复合函数定义 4 设函数 ,函数 ,则fDufy),
12、( fggDRxu值 域,),(fyxg)(或称为由 复合而成的复合函数,其中 为中间变量.)(),(xufy注:函数 与函数 构成复合函数 的条件是 ,否则不能构成复合函数.gfffgDR例如,函数 , .在形式上可以构成复合函数1,arcsinuy, x,2.arcsiny但是 的值域为 ,故 没有意义. 2xu,),i2x在后面的微积分的学习中,也要掌握复合函数的分解,复合函数的分解原则:从外向里,层层分解,直至最内层函数是基本初等函数或基本初等函数的四则运算.例 5 对函数 分解.xaysin解 由 , 复合而成.xsinui例 6 对函数 分解.)12(iy解 由 , , 复合而成.
13、sin2xuvsin12x1.5 初等函数在初等数学中我们已经接触过下面各类函数:常数函数: ( 为常数) ;Cy幂函数: ;)0(x9指数函数: ;)10(ayx且对数函数: ;loga且三角函数: ;xyxyxy cs,se,cot,tan,cs,sin 反三角函数: .arotrrar这六种函数统称为基本初等函数.定义 5 由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并用一个式子表示的函数,称为初等函数.例如, , , 等都是初等函数.xeysin)12i(x2cotxy需要指出的是,在高等数学中遇到的函数一般都是初等函数,但是分段函数不是初等函数,因为分段函数一般都有几
14、个解析式来表示.但是有的分段函数通过形式的转化,可以用一个式子表示,就是初等函数.例如,函数,0,xy可表示为 .2xy习题 1-11.求下列函数的定义域.(1) ; (2) ; 2xy 241xy(3) ; (4) ;ln 3arcsin(5) ; (6) .452xy 2)l(xy2.下列各题中,函数 和 是否相同,为什么?)(fxg(1) , ; (2) , ;2lg)(xflxf)(2)(xg(3) , ; (4) , .xeln)( )sinarc3.已知 的定义域为 ,求下列函数的定义域.)(xf1,0(1) ; (2) ; (3) .)(tanxf )0()(xff104.设 ,
15、求 , .5312xxf )(xf)1f5.判断下列函数的奇偶性.(1) ; (2) ;ytansi 1lg2xy(3) ; (4) ;2xe )(3(5) .0,1xy6.设下列考虑的函数都是定义在区间 上的,证明:)0(,l(1)两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数和奇函数的乘积是奇函数.7.下列函数中哪些是周期函数?如果是,确定其周期.(1) ; (2) ;)1sin(xy xy2cos(3) ; (4) .8.求下列函数的反函数.(1) ; (2) ; 31xy )2lg(1xy(3) ; (4) ;xe,si
16、n(5) .4,21,xy9.下列函数是有哪些函数复合而成的.(1) ; (2) ;)3sin(y )21(cos3xy(3) ; (4) .1larcxine10.设 , ,求 , , .2)(fln)()(xf)(f)(xf11第 2 节 极限极限在高等数学中占有重要地位,微积分思想的构架就是用极限定义的. 本节主要研究数列极限、函数极限的概念以及极限的有关性质等内容.2.1 数列的极限2.1.1 数列的概念定义 1 若按照一定的法则,有第一个数 ,第二个数 a2,依次排列下去,使得1a任何一个正整数 n 对应着一个确定的数 ,那么,我们称这列有次序的数na1,a 2,a n,为数列.数列
17、中的每一个数叫做数列的项。第 n 项 叫做数列的一般项或通项.例如; ,21,84n; ,)(,3, 1; ,421n )(1都是数列,它们的一般项依次为, , , .n21n1)(1)(n12我们可以看到,数列值 随着 n 变化而变化,因此可以把数列 看作自变量为正整ana数 的函数, 即n .),(Nnfn另外,从几何的角度看,数列 对应着数轴上一个点列,可看作一动点在数轴上依a次取 a1,a 2, , , ,在数轴上表示为(图 1-11): n图 1-112.1.2 数列极限的定义数列极限的思想早在古代就已萌生,我国庄子一书中著名的“一尺之锤,日取其半,万世不竭”,魏晋时期数学家刘徽在九
18、章算术注中首创“割圆术”,用圆内接多边形的面积去逼近圆的面积,都是极限思想的萌芽.设有一圆,首先作圆内接正六边形,把它的面积记为 ;再作圆的内接正十二边形,1A其面积记为 ;再作圆的内接正二十四边形,其面积记为 ;依次进行下去,一般把内2A3接正 边形的面积记为 ,可得一系列内接正多边形的面积:16nn, , , ,1A23nA它们就构成一列有序数列.可以发现,当内接正多边形的边数无限增加时, 也无限接近nA某一确定的数值(圆的面积),这个确定的数值在数学上被称为数列 当 时的极限.在上面的例子中,数列 如图 1-12:n21图 1-1213当 时, 无限接近于常数 0,则 0 就是数列 当
19、时的极限.nn21n21再如数列 :当 时, 无限接近于常数 1,则 1 就是数列 当n 1n时的极限;而数列 :当 时, 在 1 和-1 之间来回震荡,无法n1)()(n趋近一个确定的常数,故数列 当 时无极限.由此推得数列的直观定义:n定义 2 设 是一数列, 是一常数.当 n 无限增大时(即 ), 无限接近naanna于 ,则称 为数列 当 时的极限,记作a或 ana (n) nlim在上例中, ,021lin1lin .0)(lim1n对于数列 ,其极限为 ,即当 n 无限增大时, 无限接近于 .如何度量 与naaaan无限接近呢?a一般情况下,两个数之间的接近程度可以用这两个数之差的
20、绝对值 来度量,并b且越小,表示 与 越接近.abab例如数列 ,通过观察我们发现 当 n 无限增大时, 无限接近n1)( an1)(na0,即 0 是数列 当 时的极限.下面通过距离来描述数列 的极限为 0.an由于 ,1)(0nan当 n 越来越大时, 越来越小,从而 越来越接近于 0. 当 n 无限增大时, 无限接n1 na近于 0.例如,给定 ,要使 ,只要 即可.也就是说从 101 项开始都能使0010na14成立.给定 ,要使 ,只要 即可.也就是说从 10001 项开始都能使1010n10na成立.一般地,不论给定的正数 多么的小,总存在一个正整数 ,使得当 时,不等Nn式 an
21、都成立.这就是数列 当 时极限的实质.na1)(根据这一特点得到数列极限的精确定义.定义 3 设 是一数列, 是一常数.如果对任意给定的正数 ,总存在正整数 ,n N使得当 时,不等式Nan都成立,则称 是数列 的极限,或称数列 收敛于 .记作 .ananlim反之,如果数列 的极限不存在,则称数列 发散.n在上面的定义中, 可以任意给定,不等式 表达了 与 无限接近程度.ana此外 与 有关,随着 的给定而选定. 表示了从 项开始满足不等式NN1.an对数列 的极限为 也可以略写为:na .,.0,lim axnnn 有时当数列 的极限为 的几何解释 :na将常数 与数列 在数轴上用对应的点
22、表示出来,从 项开始,数 ,21na 1N列 的点都落在开区间 内,而只有有限个(至多只有 N 个)在此区间以外n )((图 1-13).图 1-1315例 1 证明数列极限 .0)1(limn证明 由于 ,10)(nann对 ,要使0 ,)1(n即 取 当 时,有 由极限的定义知,1n.,1N.0)(1n.)(lim1n例 2 证明数列极限 .231lin证明 由于 ,4124123nnan 对 ,要使0 ,1即 取 当 时,有 由极限的定义知,41n.,4Nn.23n.123limn注:在利用数列极限的定义来证明数列的极限时,重要的是要指出对于任意给定的正数 ,正整数 确实存在,没有必要非
23、去寻找最小的 . N例 3 证明数列极限 .021lin证明 由于 ,210nnna对 ,要使)1(0他16,021n即 取对数得 .取 ,当 时,有 由极限的定,21nlnlNN.021n义知.021limn2.2 数列极限的性质定理 1(极限的唯一性) 收敛数列的极限必唯一 证明 (反证法)假设同时有 及 且 ,不妨设 a0 由于 ,存在充分大的正整数 使当2bm1N时 有1Nn2aban有.n由于 ,存在充分大的正整数 使当 时 有banlim2N2aban有.n2取 ,则当 时,同时有 和 成立,这是不可能21N,maxnabn2的,故假设不成立.收敛数列的极限必唯一.定理 2(收敛数
24、列的有界性) 如果数列 收敛 那它一定有界 即对于收敛数列 ,n na必存在正数 ,对一切 ,有Mn.Ma证明 设 , 根据数列极限的定义 取 1 存在正整数 N 当 时 不等anlim式 an都成立 于是当 时 Nn17.aaann 1取 ,那么数列 中的一切 都满足不等式 这MN1,max21 n.Man就证明了数列 是有界的 n定理 2 说明了收敛数列一定有界,反之不成立. 例如,数列 有界,但是不收敛 .n)1(定理 3(收敛数列的保号性 )如果 , 且 (或 ) 那么存在正整数 N 当 时 有 (或anlim0an0na)0na证明 就 的情形 由数列极限的定义 对 , , 当 时
25、有02a|an从而.n20推论 如果数列 从某项起有 (或 ) 且 那么 (或 ).nanaanlim0a定理 4(夹逼准则) 如果数列 、 及 满足下列条件 nbnc(1) ),21(ncabn(2) limali那么数列 的极限存在 且 nnlim证明 因为 以根据数列极限的定义 0 当bnlic 1N时 有1N.abn又 当 时 有022Nncn现取 则当 时 有21,max18 abn acn同时成立 又因 所以当 时 有),21(cabnn N cnn即 |a这就证明了 anlim例 4 求证 .0)(1)(1li 222 nn证明 由于,222)()1()( nn而 , ,由夹逼准
26、则知,0)(lim2nnli2n.0)(1)(1lim222 nnn如果数列 满足条件na 121naa就称数列 是单调增加的. n如果数列 满足条件a 121naa就称数列 是单调减少的 n单调增加和单调减少数列统称为单调数列 定理 5(单调有界准则) 单调有界数列必有极限 例 5 求数列 的极限. , 111解 证明数列的有界性.令 则 其中 , .设 ,则,na,nna1122aka.3kk19由归纳法知,对所有的 ,有 故 有界.Nn,20nan证明数列的单调性.已知 , ,则 .设 ,则1a2121k.011 kk-kkk aa由归纳法知,对所有的 ,有 故 单调递增.Nn,n1由单
27、调有界准则知,数列 存在极限,设为 . 在 两边取极限,得nann1,a解得 或 .由于收敛数列保号性知 舍去. 故所求数列的极限251a25是 .2.3 函数的极限由于数列 可以看做是自变量为 的函数: .所以数列 的极nanNnfan),(na限为 ,可以认为是当自变量 取正整数且无限增大时,对应的函数值 无限接近于常)(f数 .对一般的函数 而言,在自变量的某个变化过程中,函数值 无限接近于)(xfy x某个确定的常数,那么这个常数就叫做 在自变量 在这一变化过程的极限.这说明函)(xf数的极限与自变量的变化趋势有关,自变量的变化趋势不同,函数的极限也会不同.下面主要介绍自变量的两种变化
28、趋势下函数的极限.2.3.1 自变量 时函数的极限x引例 观察函数 当 时的变化趋势(图 1-14).ysinx20图 1-14从图 1-14 可以看出,当 无限增大时,函数 无限接近于 0(确定的常数).xxsin由此推得函数 在 时极限的直观定义:)(f定义 4 设 当 x 大于某一正数时有定义,当 x 无限增大时 ,函数值 无限接近)(xf于一个确定的常数 ,称 为 当 x+时的极限. 记作A)(f或 Axlim)()(xAf引例中, .0sinlx类比于数列极限的定义推得当 时函数 的极限的直观定义:x)(xf定义 5 设 当 x 大于某一正数时有定义,如果存在常数 ,对任意给定的正数
29、)(f A,总存在正数 ,使得当 时,不等式XAxf)(都成立,则称 是函数 在 时的极限,记作A)(xf.xfx)(lim对定义 5 的简单叙述: .)(,.0,)(li AxfXxfx 他他类比当 时函数 的极限定义,当 时函数 的极限定义:x定义 6 设 当 大于某一正数时有定义,如果存在常数 ,对任意给定的正)(xf数 ,总存在正数 ,使得当 时,不等式XXAxf)(都成立,则称 是函数 在 时的极限,记作A)(xf.xfx)(lim对定义 6 的简单叙述: .)(,.0,)(lim AxfXxfx 他他在引例中, .0snx结合定义 5 和定义 6,推得函数 在 时的极限定义:)(x
30、f21定义 7 设 当 大于某一正数时有定义,如果存在常数 ,对任意给定的正数)(xf| A,总存在正数 ,使得当 时,不等式XAxf)(都成立,则称 是函数 在 时的极限,记作A)(xf.xf)(lim对定义 7 的简单叙述: .)(,.0,)(lim AxfXxf 有时当结合定义 7,函数 在 时的极限存在的充要条件是: .)(lim)(li)(li xfxfAxfx 例 6 证明 .0snlix证明 由于 ,1sin0si)( xxAf 对 ,要使0 ,)(f即 取 当 时,有 由极限的定义知,1x.,1Xx,Axf.0sinlmx从几何上看, 表示当 时,曲线 位于直线 和Axf)(l
31、imX)(xfyAy之间(图 1-15).Ay图 1-15这时称直线 为曲线 的水平渐近线.Ay)(xfy22例如 ,则 是曲线 的水平渐近线.0sinlmxyxysin2.3.2 自变量 时函数的极限引例 1 观察函数 和 在 时函数值的变化趋势(图 1-1)(xf 1)(2xg16):图 1-16从图 1-16 中得出,函数 和 在 时函数值都无限接近于1)(xf 1)(2xg2,则称 2 是函数 和 在 时的极限.)(xf)(2从上例中看出,虽然 和 在 处都有极限,但 在 处不定义. 这fxg1)(xg1说明函数在一点处是否存在极限与它在该点处是否有定义无关. 因此,在后面的定义中假定
32、函数 在 的某个去心邻域内有定义,函数 在 时函数极限的直观定义:)(xf0 )(xf0定义 7 函数 在 的某个去心邻域内有定义.当 时,函数 的函数值无)(f0x0)(xf限接近于确定的常数 ,称 为函数 在 时的极限.A)(xf0在定义 7 中,函数 的函数值无限接近于某个确定的常数 ,表示 能任)(xf AAxf)(意小,在此同样可以通过对于任意给定的正数 , 表示. 而 可以表示xf)(0为 ( 0), 体现了 接近 的程度. 由此得到函数 在 时0xx0 )(xf函数极限的精确定义:定义 8 函数 在 的某个去心邻域内有定义.对于任意给定的正数 ,总存在正)(f0x 数 ,当 满足
33、不等式 时,函数 满足不等式x)(xf,Af23称 为函数 在 时的极限.记作A)(xf0或 .Axf)(lim0 )()0xxf定义 8 简单表述为: .)(,0,)(li 00 Afxf 有时当函数 在 时极限为 的几何解释:0A对 ,当 时,曲线 位于直线 和 之间,),(xUo)(xfyyy如图 1-17:图 1-17例 7 证明 为常数.Cx,lim0证明 由于 ,0)(CAxf对 ,对 ,当 时,都有 故00 ,)(xf.lim0x例 8 证明 .21limx证明 由于 ,12)(xxAf对 ,要使 ,即 取 ,当 时,都有0xf)(.10故,)(Axf .21limx在函数的极限
34、中, 既包含 从左侧向 靠近,又包含从右侧向 靠近. 因此,0x0 0x24在求分段函数在分界点 处的极限时,由于在 处两侧函数式子不同,只能分别讨论.0x0x左侧向 靠近的情形,记作 . 从右侧向 靠近的情形,记作 .x0 0 0x在定义 8 中,若把空心邻域 改为 ,则称 为函数0x0xA在 时的左极限. 记作)(xf0或 .Axfx)(lim0 xf)(0类似地,若把空心邻域 改为 ,则称 为函数 在A)(xf时的右极限.记作0x或 .Axfx)(li0 xf)(0我们把左极限和右极限统称为单侧极限.根据 在 时极限的定义推出 在 时的极限存在的充要条件是左、)(xf0)(f0右极限都存
35、在并且相等,即:.AxfxfAxfx )(lim)(li)(lim000例 9 讨论函数 0,1)(xf当 时 极限不存在.0x)(f解 函数图形(图 1-18)如下:图 1-18载 处的左极限为)(xf0;0)(lim)(li00xfx25右极限为.1)(lim)(li00xxfx由于 ,故 不存在.)(lim)(li00fxfx2.3.3 函数的极限的性质类比数列极限的性质,可以推得函数极限的性质.由于函数极限自变量的变化趋势有不同的形式,下面仅以 为代表讨论.)(li0xf性质 1(唯一性) 若 ,则极限值是唯一的.Axm0性质 2(局部有界性) 若 ,若存在常数 及 ,当f)(li0
36、0M时,有 .0xMxf)(性质 3(保号性) 若 ,且 (或 ),若存在 ,当Axli0 0A0时,有 (或 ).0x)(f)(f性质 4(夹逼准则) 设 、 、 是三个函数,若存在 ,当xgxh0时,有0x, ,)()(xfxAxhx)(lim)(li00则.fx)(li02.4 无穷大与无穷小 在研究函数的变化趋势时,经常会遇到两种特殊情形:一是函数的极限为零,二是函数的绝对值无限增大,即是本节讨论的无穷小和无穷大,以 为代表讨论.)(lim0xf2.4.1 无穷小 若 ,则称函数 为 时的无穷小.0)(lim0xf )(xf0例如 ,则 是 时的无穷小. ,则 是 时的12x 1201
37、lixx无穷小.在此需要指出的是:(1)无穷小不是很小的数,它表示当 时, 的绝对值0)(f26可以任意小的函数. (2)在说一个函数是无穷小时,一定要指明自变量的变化趋势. 同一函数,在自变量的不同变化趋势下,极限不一定为零;在常数里面. (3)0 是唯一的无穷小.2.4.2 无穷大 函数 在 的某个去心邻域内有定义.对于任意给定的正数 ,总存在正数 ,)(xf0 M当 满足不等式 时,函数值 满足不等式)(xf,则称函数 为 时的无穷大.)(xf0按照函数极限的定义,当 时无穷大的函数 极限是不存在的.为了便于叙述0x)(xf函数的这一性态,习惯上称作函数的极限是无穷大,记作.)(lim0
38、fx若把定义中 改为 ,称函数极限为正无穷大(或Mxf)( )(Mf或负无穷大),记作.)(li()li00 xfxf或在此,同样注意无穷大不是很大的数,不能和很大的数混为一谈.例如 由于 , 为 时的无穷大,如图 1-19.x1lim0图 1-19从图形上看,当 时,曲线 无限接近于直线 . 0xxy10x一般地,若 ,则直线 为曲线 的铅直渐近线.)(lim0fx 0)(fy在上例中, 是曲线 的铅直渐近线.xy2.4.3 无穷小的性质27性质 1 充要条件是 ,其中 为 时的无穷小.Axf)(lim0 Axf)( 0x证明 , ,当 时,都有x0 00x.f)(令 ,则 ,即 ,说明 为
39、 时的无穷小. Af)(li0x 0x此时 .x性质 2 在自变量的同一变化过程中,若 为无穷大,则 为无穷小;若)(xf)(1xf为无穷小,且 ,则 为无穷大.)(xf 0)(xf)(1f例如 由于 ,则 .lim1x li1x性质 3 有限个无穷小的和是无穷小.性质 4 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.例 10 求极限 . xxsinl0解 由于 ,是有界函数,而 .由性质 4 得1i0limx.01sinlm0xx推论 1 常数与无穷小的乘积是无穷小.推论 2 有限个无穷小的乘积是无穷小.习题 1-21.根据数列的变化趋势,求下列数列的极限:(1) ; (2) ;21)(nannna2)
40、1((3) ; (4) .sin n2.根据数列极限的定义,证明:(1) ; (2) .0lim2n 31limn(3) ; (4) .1lin 0slin3.设 ,求证 .aanli4.设数列 有界, ,求证 .n0mnb0linb285.根据函数极限的定义,证明:(1) ; (2) ;42limx31lim2x(3) ; (4) . 1li2x 0sinlx6.求下列函数在指定点处的左、右极限,并判断在改点处极限是否存在.(1) ,在 处; (2) ,在 处;xf)(00,1cos)(xf (3) ,在 处.0,1sin)(2xf7.指出下列函数在什么情况下是无穷小,什么情况下是无穷大.(
41、1) ; (2) ;)(xf xfln)((3) ; (4) .fcot ef18.求下列函数的极限.(1) ; (2) ;21lim2xx xlim(3) ; (4) .cos0 arctn9.求函数 的图形的渐近线 .21)(xf10.利用极限存在准则证明:(1) ; (2) ;limnn 121lim22 nnn(3)数列 的极限存在; 21na(4)数列 , 的极限存在.1 nn1129第 3 节 极限的运算本节讨论极限的求法,主要内容是极限的四则运算、复合函数的极限运算法则,以及利用这些法则,求某些特定函数的极限.由于函数极限自变量的变化趋势有不同的形式,下面仅以 为代表讨论.)(l
42、im0xf3.1 极限的四则运算法则定理 1 如果 ,则BxgAxf)(lim,)(li00(1) ;gx0(2) ;f)(lim0(3)若 ,则B.)(li0BAxgfx证明 只证 .fxli030由于 ,则BxgAxf)(lim,)(li00, ,f Bxg)(其中 是 时的无穷小.于是和 0x.)()()( AAgf由于 仍然是 时的无穷小,则0x.Bxgfx)(lim0其它情况类似可证.注:本定理可推广到有限个函数的情形.例 1 求 .53li2x解 5limli35li3lim22222 xxxxxxx.14-例 2 求 .li21x解 .62lim32li33lim111 xxxx注:在运用极限的四则运算的商运算时,分母的极限 .但有时分母的极限 ,0B0B这时就不能直接应用商运算了.例 3 求 .li1x解 由于 ,分母中极限为 0,故不能用四则运算计算.0)(m由于 ,根据无穷小的性质,知2)1(lili1xx .1limx例 4 求 .12lim1x解 由于 时,分子、分母的极限都为 0,记作 型.分子分母有公因子 ,可约1x去公因子 ,所以 .021lim)(1li12li 21 xxx