1、武汉未来星教育（光谷） 电话：02759537250 QQ:605187105欢迎资料共享交流专题 勾股定理在动态几何中的应用一.勾股定理与对称变换（一）动点证明题1.如图，在ABC 中，AB=AC，（1）若 P 为边 BC 上的中点，连结 AP，求证：BPCP=AB 2-AP2；（2）若 P 是 BC 边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理由；（3）若 P 是 BC 边延长线上一点，线段 AB、AP 、BP、CP 之间有什么样的关系？请证明你的结论.（二）最值问题2.如图，E 为正方形 ABCD 的边 AB 上一点，AE =3 ，BE=1，P 为 AC 上的动点，则
2、 PB+PE 的最小值是 AB P C BCPA B CA DPE武汉未来星教育（光谷） 电话：02759537250 QQ:605187105欢迎资料共享交流EA DB C CNM3. 如图，四边形 ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60得到 BN，连接 EN、AM 、CM.（1）求证：AMBENB；（2）当 M 点在何处时，AMCM 的值最小；当 M 点在何处时，AMBM CM 的值最小，并说明理由；（3）当 AM BMCM 的最小值为 时，求正方形的边长 .13EA DB C CNMEA DB C CN
3、M武汉未来星教育（光谷） 电话：02759537250 QQ:605187105欢迎资料共享交流4.问题：如图，在 ABC 中， D 是 BC 边上的一点，若 BAD= C=2 DAC=45， DC=2求 BD 的长小明同学的解题思路是：利用轴对称，把 ADC 进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决（1）请你回答：图中 BD 的长为 ；（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图，在 ABC 中， D 是 BC 边上的一点，若BAD=C=2DAC=30，DC=2，求 BD 和 AB 的长图 图DAB CDAB C武汉未来星教育（光谷） 电话：02759537250 QQ:605187105欢迎
4、资料共享交流图2图1APPA AB CB C二.勾股定理与旋转5.阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图 1，在ABC（其中BAC 是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以 BC 为边在 BC 的下方作等边PBC，求 AP 的最大值。小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合他的方法是以点 B 为旋转中心将ABP 逆时针旋转 60得到A BC,连接 ,当点 A 落在 上时,此题可解（如图 2） C请你回答：AP 的最大值是 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图 3，等腰 RtABC边 AB=4,P 为ABC 内部一点， 则 AP+BP+CP 的最小值是 .（结果
5、可以不化简）6.如图，P 是等边三角形 ABC 内一点，AP=3，BP=4，CP=5，求APB 的度数. BACP图3 CABP武汉未来星教育（光谷） 电话：02759537250 QQ:605187105欢迎资料共享交流变式 1：ABC 中， ACB=90 ，AC=BC，点 P 是 ABC 内一点，且 PA=6，PB=2，PC=4，求BPC 的度数变式 2：问题：如图 1， P 为正方形 ABCD 内一点，且 PA PB PC=123，求 APB 的度数小娜同学的想法是：不妨设 PA=1， PB=2， PC=3，设法把 PA、 PB、 PC 相对集中，于是他将 BCP 绕点 B 顺时针旋转
6、90得到 BAE（如图 2） ，然后连结 PE，问题得以解决请你回答：图 2 中 APB 的度数为 请你参考小娜同学的思路，解决下列问题：如图 3， P 是等边三角形 ABC 内一点，已知 APB=115， BPC=125（1）在图 3 中画出并指明以 PA、 PB、 PC 的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹） ；（2）求出以 PA、 PB、 PC 的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于 EDDPPP CCC BBBAAA图 1 图 2 图 3CBAP武汉未来星教育（光谷） 电话：02759537250 QQ:605187105欢迎资料共享交流CA BEFM N图7. 已知 RtA
7、BC 中，ACB =90，CA=CB，有一个圆心角为 ，半径的长等于 CA 的扇形 CEF45绕点 C 旋转，且直线 CE，CF 分别与直线 AB 交于点 M，N（1）当扇形 CEF 绕点 C 在ACE 的内部旋转时，如图，求证： ；22BNAM（2）当扇形 CEF 绕点 C 旋转至图的位置时，关系式 是否仍然成立？若成立，22BAN请证明；若不成立，请说明理由变式 1：如图，在 中, RtABC90,45ACBDE且 , ,则 = 3BD4E变式 2：如图，在 Rt ABC 中， ， D、 E 是斜边 BC 上两点，且 DAE=45，将 绕ABC ADC点 顺时针旋转 90 后，得到 ，连接
8、 ，下列结论：AFCA BEFM N图武汉未来星教育（光谷） 电话：02759537250 QQ:605187105欢迎资料共享交流 ；AEDF ；BC ； 其中正确的是（ ）22EDA； B； C； D（三）其它应用7. 在 中， 、 、 三边的长分别为 、 、 ，求这个三角形的面积 ABC5103小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的 边长为 1） ，再在网格中画出格点 （即 三个顶点都在小正方形的顶点处） ，如图 1 所示这样不需 求 的高，而借用网格就能计算出它的面积（1）请你将 的面积直接填写在横线上_；ABC思维拓展：（2）我们把上述求 面积的方法叫做构图法若
9、 三边的长分别为 、 、 ABC 2a13（ ） ，请利用图 2 的正方形网格（每个小正方形的边长为 ）画出相应的17a0，并求出它的面积填写在横线上_；ABC探索创新：（3）若 中有两边的长分别为 、 （ ） ，且 的面积为 ，试运用构 2a10ABC 2a图法在图 3 的正方形网格（每个小正方形的边长为 ）中画出所有符合题意的 (全aABC等的三角形视为同一种情况)，并求出它的第三条边长填写在横线上_B CDEFA武汉未来星教育（光谷） 电话：02759537250 QQ:605187105欢迎资料共享交流8.已知ABC=90，点 P 为射线 BC 上任意一点（点 P 与点 B 不重合） ，分别以 AB、AP 为边在ABC 的内部作等边ABE 和APQ ,连结 QE 并延长交 BP 于点 F.（1）如图 1，若 AB= 32，点 A、E、P 恰好在一条直线上时，求此时 EF 的长（直接写出结果）；（2）如图 2，当点 P 为射线 BC 上任意一点时，猜想 EF 与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段） ，并加以证明；（3）若 AB= 3，设 BP= x，以 QF 为边的等边三角形的面积 y，求 y 关于 x的关系式武汉未来星教育（光谷） 电话：02759537250 QQ:605187105欢迎资料共享交流
