1、2015-2016 学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1已知 i 是虚数单位，若 =1i，则 z 的共轭复数为（ ）A12i B24i C 2 i D1+2i2已知等比数列a n的公比为 q，则“0q1”是“a n为递减数列”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3下列函数中，既是偶函数又在（0，+）上单调递增的函数是（ ）Ay=2x 3By=|x|+1 Cy=x 2+4 Dy=2 |x|4已知函数 f（x）=e
2、x1，g（x）=x 2+4x3，若有 f（a）=g（b） ，则 b 的取值范围为（ ）A B （2 ，2+ ） C D （1，3）5若函数 f（x）在 R 上可导，且满足 f（x）xf（x） ，则（ ）A2f（1）f（2） B2f（1）f（2） C2f（1）=f（2） Df（1）=f（2）6如图是函数 y=Asin（x+）的图象的一段，它的解析式为（ ）A BC D7函数 f（x）=|sinx|+2|cosx|的值域为（ ）A B C D8数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a1=1，a n+1=3Sn（n1） ，则 a6=（ ）A34 4B34 4+1 C4 4 D4 4+19若向量 与
3、不共线， 0，且 ，则向量 与 的夹角为（ ）A0 B C D10在 RtABC 中，CA=CB=3，M，N 是斜边 AB 上的两个动点，且 ，则 的取值范围为（ ）A B C D二、填空题：（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上 ）11设集合 A=x|xa|1，xR，B=x|1x5，xR，若 AB=，则实数 a 的取值范围是 12函数 的定义域是 13设向量 ，且 ，则 cos2= 14在ABC 中，|AB|=3，|AC|=4，|BC|=5，O 为ABC 的内心，且 = + ，则+= 15已知函数 f（x）=cosx（x（0，2） ）有两个不同
4、的零点 x1，x 2，且方程 f（x）=m 有两个不同的实根 x3，x 4，若把这个数按从小到大排列构成等差数列，则实数 m 的值为 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）16 （12 分） （2015 秋长沙校级月考）已知函数 f（x）=sin（2x ）+cos（2x ）+2cos2x1（）求函数 f（x）的最小正周期；（）若 且 f（）= ，求 cos217 （12 分） （2012 秋徐汇区校级期中）已知定义在 R 上的奇函数 f（x）有最小正周期 2，且当 x（0，1）时，f（x）= （1）求 f（x）在上的解析式；（2）证明：f（x）
5、在（0，1）上是减函数18 （12 分） （2015娄星区模拟）等差数列a n中，a 7=4，a 19=2a9，（）求a n的通项公式； （）设 bn= ，求数列b n的前 n 项和 Sn19 （13 分） （2013河北）如图，在ABC 中，ABC=90， ，BC=1，P 为ABC 内一点，BPC=90（）若 ，求 PA；（）若APB=150，求 tanPBA20 （13 分） （2015淄博校级三模）设数列a n的前 n 项和为 Sn已知a1=a，a n+1=Sn+3n，nN *由（）设 bn=Sn3 n，求数列b n的通项公式；（）若 an+1a n，nN *，求 a 的取值范围21 （
6、13 分） （2015安庆校级模拟）设函数 f（x）的导函数为 f（x） ，若 f（x）=exf（0）x+ x2（e 是自然对数的底数） （1）求 f（0）和 f（1）的值；（2）若 g（x）= x2+a 与函数 f（x）的图象在区间上恰有 2 两个不同的交点，求实数 a 的取值范围2015-2016 学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1已知 i 是虚数单位，若 =1i，则 z 的共轭复数为（ ）A12i B24i C 2 i D1+
7、2i考点： 复数的基本概念专题： 数系的扩充和复数分析： 利用复数的运算法则及其共轭复数的意义即可得出解答： 解： =1i， = = =1+2i =12i故选：A点评： 本题考查了复数的运算法则及其共轭复数的意义，属于基础题2已知等比数列a n的公比为 q，则“0q1”是“a n为递减数列”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断专题： 等差数列与等比数列分析： 可举1， ， ，说明不充分；举等比数列1，2，4，8，说明不必要，进而可得答案解答： 解：可举 a1=1，q= ，可得数列的前几项依次为1， ， ，显然不是
8、递减数列，故由“0q1”不能推出“a n为递减数列” ；可举等比数列1，2，4，8，显然为递减数列，但其公比 q=2，不满足 0q1，故由“a n为递减数列”也不能推出“0q1” 故“0q1”是“a n为递减数列”的既不充分也不必要条件故选 D点评： 本题考查充要条件的判断，涉及等比数列的性质，举反例是解决问题的关键，属基础题3下列函数中，既是偶函数又在（0，+）上单调递增的函数是（ ）Ay=2x 3By=|x|+1 Cy=x 2+4 Dy=2 |x|考点： 函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质专题： 计算题；函数的性质及应用分析： 由函数的奇偶性和单调性的定义和性质，对选项一一加以判断，即可得
9、到既是偶函数又在（0，+）上单调递增的函数解答： 解：对于 Ay=2x 3，由 f（x）=2x 3=f（x） ，为奇函数，故排除 A；对于 By=|x|+1，由 f（x）=|x|+1=f（x） ，为偶函数，当 x0 时，y=x+1，是增函数，故 B 正确；对于 Cy=x 2+4，有 f（x）=f（x） ，是偶函数，但 x0 时为减函数，故排除 C；对于 Dy=2 |x| ，有 f（x）=f（x） ，是偶函数，当 x0 时，y=2 x ，为减函数，故排除D故选 B点评： 本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和单调性及运用，注意定义的运用，以及函数的定义域，属于基础题和易错题4已知函数 f（
10、x）=e x1，g（x）=x 2+4x3，若有 f（a）=g（b） ，则 b 的取值范围为（ ）A B （2 ，2+ ） C D （1，3）考点： 函数的零点与方程根的关系专题： 计算题；压轴题分析： 利用 f（a）=g（b） ，整理等式，利用指数函数的性质建立不等式求解即可解答： 解：f（a）=g（b） ，e a1=b 2+4b3b 2+4b2=e a0即 b24b+20，求得 2 b2+故选 B点评： 本题主要考查了函数的零点与方程根的关系5若函数 f（x）在 R 上可导，且满足 f（x）xf（x） ，则（ ）A2f（1）f（2） B2f（1）f（2） C2f（1）=f（2） Df（1）=
11、f（2）考点： 导数的运算专题： 导数的概念及应用分析： 根据条件 f（x）xf（x）可构造函数 g（x）= ，然后得到函数的单调性，从而得到所求解答： 解：设 g（x）= ，则 g（x）= ，f（x）xf（x） ，g（x）0，即 g（x）在（0，+）上单调递增， ，即 2f（1）f（2）故选：A点评： 本题主要考查了导数除法的运算法则，以及利用构造法是解题的关键，同时考查了运算求解的能力，属于基础题6如图是函数 y=Asin（x+）的图象的一段，它的解析式为（ ）A BC D考点： 由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式专题： 计算题分析： 通过函数的图象，求出 A，求出周期，得到
12、，函数经过（ ） ，求出 ，得到函数的解析式解答： 解：由题意与函数的图象可知：A= ，T=2（ ）=，=2，因为函数图象经过 ，所以 = = ，所以 解得 = ，所以函数的解析式为： 故选 D点评： 本题考查函数的图象的应用，函数解析式的求法，考查计算能力7函数 f（x）=|sinx|+2|cosx|的值域为（ ）A B C D考点： 三角函数值的符号；函数的值域专题： 三角函数的图像与性质分析： 先将函数 y=|sinx|+2|cosx|的值域当 x时，y=sinx+2cosx 的值域，利用两角和与差的正弦函数化简，由正弦函数的性质求出函数的值域解答： 解：函数 y=|sinx|+2|co
13、sx|的值域当 x时， y=sinx+2cosx 的值域，y=sinx+2cosx= （其中 是锐角， 、 ） ，由 x得，x+，所以 cossin（x+）1，即 sin（x+）1，所以 ，则函数 y=|sinx|+2|cosx|的值域是，故选：D点评： 本题考查两角和与差的正弦函数，正弦函数的性质，将函数 y=|sinx|+2|cosx|的值域当 x时，y=sinx+2cosx 的值域，是解题的关键，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题8数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a1=1，a n+1=3Sn（n1） ，则 a6=（ ）A34 4B34 4+1 C4 4 D4 4+1考点：
14、等比数列的通项公式；等比数列的前 n 项和专题： 计算题分析： 根据已知的 an+1=3Sn，当 n 大于等于 2 时得到 an=3Sn1 ，两者相减，根据SnS n1 =an，得到数列的第 n+1 项等于第 n 项的 4 倍（n 大于等于 2） ，所以得到此数列除去第 1 项，从第 2 项开始，为首项是第 2 项，公比为 4 的等比数列，由 a1=1，a n+1=3Sn，令n=1，即可求出第 2 项的值，写出 2 项以后各项的通项公式，把 n=6 代入通项公式即可求出第 6 项的值解答： 解：由 an+1=3Sn，得到 an=3Sn1 （n2） ，两式相减得：a n+1a n=3（S nS
15、n1 ）=3a n，则 an+1=4an（n2） ，又 a1=1，a 2=3S1=3a1=3，得到此数列除去第一项后，为首项是 3，公比为 4 的等比数列，所以 an=a2qn2 =34n2 （n2）则 a6=344故选 A点评： 此题考查学生掌握等比数列的确定方法，会根据首项和公比写出等比数列的通项公式，是一道基础题9若向量 与 不共线， 0，且 ，则向量 与 的夹角为（ ）A0 B C D考点： 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角分析： 求两个向量的夹角有它本身的公式，条件中 表现形式有点繁琐，我们可以试着先求一下要求夹角的向量的数量积，求数量积的过程有点出乎意料，一下就求出结果，数量积为
16、零，两向量垂直，不用再做就得到结果，有些题目同学们看着不敢动手做，实际上，我们试一下，它表现得很有规律解答： 解：=0向量 a 与 c 垂直，故选 D点评： 用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，本题使用两个不共线的向量来表示第三个向量，这样解题时运算有点麻烦，但是我们应该会的10在 RtABC 中，CA=CB=3，M，N 是斜边 AB 上的两个动点，且 ，则 的取值范围为（ ）A B C D考点： 平面向量数量积的运算专题： 计算题；平面向量及应用分析： 通过建立直角坐标系求出 AB 所在直线的方程，设出 M，N 的坐标，将=2（b1） 2
17、+4，0b2，求出范围即可解答： 解：以 C 为坐标原点，CA 为 x 轴建立平面坐标系，则 A（3，0） ，B（0，3） ，AB 所在直线的方程为： =1，则 y=3x，设 N（a，3a） ，M（b，3b） ，且 0a3，0b3 不妨设 ab，MN= ，（ab） 2+（ba） 2=2，ab=1，a=b+1，0b2， =（a，3a）（b，3b）=2ab3（a+b）+9，=2（b 22b+3）=2（b1） 2+4，0b2，当 b=0 或 b=2 时有最大值 6；当 b=1 时有最小值 4 的取值范围为故选 B点评： 熟练掌握通过建立直角坐标系、数量积的坐标运算是解题的关键二、填空题：（本大题共
18、5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上 ）11设集合 A=x|xa|1，xR，B=x|1x5，xR，若 AB=，则实数 a 的取值范围是 a0 或 a6 考点： 集合关系中的参数取值问题专题： 计算题分析： 解绝对值不等式|xa|1 可得集合 A，进而分析可得若 AB=，则必有 a+11或 a15，解可得答案解答： 解：|xa|1a1xa+1，则 A=x|a1 xa+1，若 AB=，则必有 a+11 或 a15，解可得，a0 或 a6；故 a 的取值范围是 a0 或 a6故答案为 a0 或 a6点评： 本题考查集合交集的意义，关键是由 AB=，得到 a+11
19、 或 a1512函数 的定义域是 考点： 对数函数的定义域专题： 计算题分析： 欲求函数的定义域，只需找到使函数解析式有意义的 x 的取值范围，因为函数中有对数，所以真数大于 0，因为函数中有二次根式，所以被开方数大于等于 0，解不等式组即可解答： 解：要使函数有意义，需满足，解得函数的定义域为故答案为点评： 本题主要考察了函数定义域的求法，主要是求使函数成立的 x 的取值范围13设向量 ，且 ，则 cos2= 考点： 三角函数的恒等变换及化简求值；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角专题： 计算题分析： 由两个向量共线的性质可得 cos3cos1=0，cos 2= ，再由 cos2=2cos
20、21 求得结果解答： 解：向量 ，且 ，则有cos3cos1=0，cos 2= ，故 cos2=2cos 21= ，故答案为 点评： 本题主要考查两个向量共线的性质，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题14在ABC 中，|AB|=3，|AC|=4，|BC|=5，O 为ABC 的内心，且 = + ，则+= 考点： 平面向量的基本定理及其意义专题： 常规题型；高考数学专题分析： 本题首先由内心的相关知识得出 AO 用基本向量 AB，AC 来表示，得出系数；从而最后要求的值解答： 解：ABC 中，|AB|=3，|AC|=4，|BC|=5，由题意得：三角形的内切圆的半径为 r= ，= ，=则 + 是 ，
21、故选 C点评： 平面向量基本定理的使用要注意选择适当的基本向量，得出的系数唯一性，在解题过程中要注意向量加法和减法以及数乘的运用，这样对解题就能做到得心应手15已知函数 f（x）=cosx（x（0，2） ）有两个不同的零点 x1，x 2，且方程 f（x）=m 有两个不同的实根 x3，x 4，若把这个数按从小到大排列构成等差数列，则实数 m 的值为 考点： 函数的零点专题： 计算题分析： 函数 f（x）=cosx（x（0，2） ）有两个不同的零点 x1，x 2，可知x1= ，x 2= ，因为方程 f（x）=m 有两个不同的实根 x3，x 4，若把这个数按从小到大排列构成等差数列，需要分两种情况进
22、行讨论：m0 和 m0，再利用等差数列的性质进行求解；解答： 解：函数 f（x）=cosx（x（0，2） ）有两个不同的零点 x1，x 2，x 1= ，x 2= ，方程 f（x）=m 有两个不同的实根 x3，x 4，若把这个数按从小到大排列构成等差数列，若 m0 则，x 3， ， ，x 4，构成等差数列，可得公差 d= =，则 x1= =0，显然不可能；若 m0 则， ，x 3，x 4， ，构成等差数列，可得公差 3d= ，解得 d= ，x 3=+ ，m=cosx 3= = ，故答案为： ；点评： 此题主要考查三角函数的性质及三角函数值的求解问题，涉及函数的零点构成等差数列，解题过程中用到了分
23、类讨论的思想，是一道基础题；三、解答题：（本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）16 （12 分） （2015 秋长沙校级月考）已知函数 f（x）=sin（2x ）+cos（2x ）+2cos2x1（）求函数 f（x）的最小正周期；（）若 且 f（）= ，求 cos2考点： 三角函数中的恒等变换应用专题： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析： （）由三角函数中的恒等变换应用化简可得解析式 f（x）= sin（x+ ） 利用周期公式即可求得函数 f（x）的最小正周期（）由 f（）= ，可得 sin（2 ）= ，由 a，可得 ，可求 cos（2 ） ，利用
24、两角差的余弦函数公式即可求得 cos2=cos 的值解答： 解：（）f（x）= sin2x cos2x+ cos2x+=sin2x+cos2x= sin（2x+ ） （4 分）函数 f（x）的最小正周期 T= （6 分）（）f（）= ， ，sin（2 ）= ，（7 分）， ，cos（2 ）= ，（9 分）cos2=cos=cos（2 ）cos +sin（2 ）sin = （12 分）点评： 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，两角差的余弦函数公式，周期公式，特殊角的三角函数值等知识的应用，属于基本知识的考查17 （12 分） （2012 秋徐汇区校级期中）已知定义在 R 上的奇函数 f（x
25、）有最小正周期 2，且当 x（0，1）时，f（x）= （1）求 f（x）在上的解析式；（2）证明：f（x）在（0，1）上是减函数考点： 函数单调性的性质；函数奇偶性的性质分析： （1）定义在 R 上的奇函数 f（x） ，可得 f（0）=0，及 x（1，0）时 f（x）的解析式，x=1 和 1 时，同时结合奇偶性和单调性求解（2）证明单调性可用定义或导数解决解答： （1）解当 x（1，0）时，x（0，1） f（x）是奇函数，f（x）=f（x）=由 f（0）=f（0）=f（0） ，且 f（1）=f（1）=f（1+2）=f（1） ，得 f（0）=f（1）=f（1）=0在区间上，有 f（x）=（2）证
26、明当 x（0，1）时，f（x）= ，设 0x 1x 21，则 f（x 1）f（x 2）=0x 1x 21， 0， 10，f（x 1）f（x 2）0，即 f（x 1）f（x 2） ，故 f（x）在（0，1）上单调递减点评： 本题考查奇偶性、周期性的综合应用，及函数单调性的证明，综合性较强18 （12 分） （2015娄星区模拟）等差数列a n中，a 7=4，a 19=2a9，（）求a n的通项公式； （）设 bn= ，求数列b n的前 n 项和 Sn考点： 数列的求和；等差数列的通项公式专题： 计算题；等差数列与等比数列分析： （I）由 a7=4，a 19=2a9，结合等差数列的通项公式可求 a
27、1，d，进而可求 an（II）由 = = ，利用裂项求和即可求解解答： 解：（I）设等差数列a n的公差为 da 7=4，a 19=2a9，解得，a 1=1，d= =（II） = =s n= =点评： 本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用，试题比较容易19 （13 分） （2013河北）如图，在ABC 中，ABC=90， ，BC=1，P 为ABC 内一点，BPC=90（）若 ，求 PA；（）若APB=150，求 tanPBA考点： 余弦定理；正弦定理专题： 解三角形分析： （I）在 RtPBC，利用边角关系即可得到PBC=60，得到PBA=30在PBA中，利用余弦定理即可求得
28、PA（II）设PBA=，在 RtPBC 中，可得 PB=sin在PBA 中，由正弦定理得，即 ，化简即可求出解答： 解：（I）在 RtPBC 中， = ，PBC=60，PBA=30在PBA 中，由余弦定理得 PA2=PB2+AB22PBABcos30= PA= （II）设PBA=，在 RtPBC 中，PB=BCcos（90）=sin在PBA 中，由正弦定理得 ，即 ，化为 点评： 熟练掌握直角三角形的边角关系、正弦定理和余弦定理是解题的关键20 （13 分） （2015淄博校级三模）设数列a n的前 n 项和为 Sn已知a1=a，a n+1=Sn+3n，nN *由（）设 bn=Sn3 n，求数
29、列b n的通项公式；（）若 an+1a n，nN *，求 a 的取值范围考点： 数列递推式；数列的概念及简单表示法专题： 计算题；压轴题分析： （）依题意得 Sn+1=2Sn+3n，由此可知 Sn+13 n+1=2（S n3 n） 所以bn=Sn3 n=（a3）2 n1 ，nN *（）由题设条件知 Sn=3n+（a3）2 n1 ，nN *，于是，a n=SnS n1 =，由此可以求得 a 的取值范围是上恰有 2 两个不同的交点，求实数 a 的取值范围考点： 导数的运算；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性专题： 导数的综合应用分析： （1）由 f（x）= exf（0）x+ x2，可得
30、f（x）=+x，令 x=1，可得 f（0） ，进而得到 f（1） （2）g（x）= x2+a 与函数 f（x）的图象在区间上恰有 2 两个不同的交点y=a 与 h（x）=x 在 x上有两个不同交点利用导数研究函数 h（x）的单调性极值与最值，结合图象即可得出解答： 解：（1）f（x）= exf（0）x+ x2，f（x）= +x，f（1）=f（1）f（0）+1，f（0）=1，f（x）= exx+ x2，f（0）=f（1）0+0，f（1）=1（2）由（1）可得：f（x）= x+ ，由 g（x）= x2+a=f（x） ，化为 a= x=h（x） ，xh（x）= = ，令 h（x）0，解得 1x2，此时函数 h（x）单调递增；令 h（x）0，解得1x1，此时函数 h（x）单调递减当 x=1 时，函数 h（x）取得最小值，h（1）=0而 h（1）= ，h（2）=e2g（x）= x2+a 与函数 f（x）的图象在区间上恰有 2 两个不同的交点，0ae2实数 a 的取值范围是（0，e2） 点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题
