1、- 1 -第 一 节 绝 对 值 不 等 式 1.理解绝对值不等式的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a b| a| b|；(2)| a b| a c| c b|.2会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：| ax b| c；| ax b| c；|x a| x b| c.知识点一 绝对值三角不等式 1定理 1：如果 a， b是实数，则| a b| a| b|，当且仅当_时，等号成立2定理 2：如果 a， b， c是实数，那么| a c| a b| b c|，当且仅当_时，等号成立答案1 ab0 2.( a b)(b c)01判断正误(1)对| a b| a|
2、b|当且仅当 ab0时等号成立( )(2)对| a| b| a b|当且仅当| a| b|时等号成立( )(3)对| a b| a| b|当且仅当 ab0 时等号成立( )答案：(1) (2) (3)2若存在实数 x使| x a| x1|3 成立，则实数 a的取值范围是_解析：| x a| x1|( x a)( x1)| a1|，要使| x a| x1|3 有解，可使| a1|3，3 a13，2 a4.答案：2,4知识点二 含绝对值的不等式的解法 1含绝对值的不等式| x|a的解法不等式 a0 a0 aa _ _ R2.|ax b| c(c0)和| ax b| c(c0)型不等式的解法(1)|
3、ax b| c_；(2)|ax b| c_.3| x a| x b| c(c0)和| x a| x b| c(c0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想答案1 x| aa，或 x0，| x1|0)”型不等式的解法【例 2】 (1)|54 x|9的解集是_(2)在实数范围内，不等式| x2|1|1 的解集为_【解析】 (1)因为|54 x|9，所以 54 x9或 54 x14，所以 x ，所以原不等式的解集为Error!.72(2)由于| x2|
4、1|1，即1| x2|11，即| x2|2，所以2 x22，所以 0 x4.【答案】 (1)Error! (2)0 x4考向 2 “| x a| x b| c和| x a| x b| c(c0)”型不等式的解法【例 3】 (2016新课标全国卷)已知函数 f(x)| x1|2 x3|.()画出 y f(x)的图象；- 4 -()求不等式| f(x)|1的解集【解】 () f(x)Error!y f(x)的图象如图所示()由 f(x)的表达式及图象知，当 f(x)1 时，可得 x1 或 x3；当 f(x)1 时，可得 x 或 x5.13故 f(x)1的解集为 x|1513所以| f(x)|1的解
5、集为 x|x5.13【总结反思】含绝对值不等式的常用解法(1)基本性质法：对 a(0，)，| x|axa.(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号(3)零点分区间法(或叫定义法)：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解.(1)若不等式| x a|3 x0(其中 a0)的解集为 x|x1，则实数 a的值是_(2)解不等式|2 x1| x4|0.解析：(1
6、)不等式| x a|3 x0 等价于Error!或Error!即Error!或Error! 因为 a0，所以不等- 5 -式组的解集为Error!.由题设可得 1，故 a2.a2(2)解：令 f(x)|2 x1| x4|，当 x4 时， f(x)2 x1( x4) x50 得x5，所以 x4 时，不等式成立当 x0，得12x1，所以，10，得 x1或 x1时，等价于 a1 a3，解得 a2.所以 a的取值范围是2，).【总结反思】不等式恒成立问题的常见类型及其解法(1)分离参数法运用“ f(x) af(x)max a， f(x) af(x)min a”可解决恒成立中的参数范围问题(2)数形结合
7、法在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可直观解决问题提醒：不等式的解集为 R是指不等式恒成立问题，而不等式的解集为的对立面也是不等式恒成立问题，如 f(x)m的解集为，则 f(x) m恒成立.(2017郑州模拟)已知函数 f(x)|2 x1|2 x3|.(1)求不等式 f(x)6 的解集(2)若关于 x的不等式 f(x)4，解此不等式得 a5.1对于绝对值三角不等式，易忽视等号成立的条件对| a b| a| b|，当且仅当|a| b|且 ab0 时，等号成立，对| a| b| a b| a| b|，当且仅当| a| b|且ab0 时左边等号成立，当且仅当 ab0 时右边等号成立2形如| x a| x b| c(c0)的不等式解法在讨论时应注意分类讨论点处的处理及c的符号判断，若 c0，则不等式解集为 R.
