1、第 6 章 二次型 习题 6.41p.138 - p.139 习题 6.4 (实二次型的定性)1. 判断下列实二次型是否是正定. (1) 22123131323(,)40fxxxx(2) 4 24468(3) 课本中的第(4) 题解这类型题目可用两种方法. 法一：直接将二次型化为标准形或规范形，然后判定；法二：写出二次型的矩阵 ，判定 是否正定，应灵活运用各种判据，包括必要条件，常用顺序主子式判据.A解：（采用法二）(1) 该二次型的矩阵为 ，其三个顺序主子式为：1354A， ，1|02| 013|0A因此， 不是正定矩阵，从而，原二次型不是正定的.A(2) 该二次型的矩阵为 ，由于 的主对角
2、线上有元素为 0，表明 不是正定矩阵，30124A A所以，原二次型不是正定的.（本题运用正定的性质：实对称矩阵 正定，则其主对角元全大于 0）A(3) 该二次型的矩阵为 . 观察 ，对其进行相合变换，得031247A110320234477B 记 为相 合 变 换则 相合于 ，而 的第 3 个主对角元为 0，故 不是正定的，即 不是正定的，原二次型不是正定的.ABBA2. 当 取何值时, 下列二次型是正定的?t(1) 2212313123()4fxxtx解：该二次型的矩阵为 ，0At正定 的顺序主子式全大于 0，即 A12223|40|130ttAtt3t所以，当 时，原二次型是正定的. (
3、注：今后遇到此类型题按此格式书写！)第 6 章 二次型 习题 6.42这里给出关于正定、半正定的一些性质：性质 1 设 ，则mnAR(1) 为正定或半正定矩阵：当 时， 为正定矩阵；当 时，T rank()ATrank()A为半正定矩阵.TA(2) 为正定或半正定矩阵：当 时， 为正定矩阵；当 ，m r()mr()m为半正定矩阵.(3) 当 时，若 可逆，则 和 （注意：二者通常不相等 ）都是正定矩阵；若 不可逆，nATTA A则 和 都是半正定矩阵.TAT证明：只证(1)，其余的类似可证.，则 为实对称矩阵，考虑 对应的实二次型 ，mnRn TTXA1) 若 ，则对任意非零列向量 ，有 ，设
4、 ，于是rak()AnR0T12,ma，故根据定义，实二次型 是正定的，因此，TT221() 0mAa为正定矩阵.2) 若 ，则对任意非零列向量 ， 可能是 维零向量，也可能是 维非零实向ranknAm量，设 ，于是 ，故实二次型T12,m TT()A2210maa是半正定的，因此， 为半正定矩阵.TXA性质 2 如果 都是 阶正定矩阵，则 是正定矩阵；如果 是 阶正定矩阵， 是 阶半,ABnB AnBn正定矩阵，则 是正定矩阵.证明：若 都是 阶正定矩阵，则 为 阶实对称矩阵，现考虑实二次型, An 1(,)nfx. 对于任意非零列向量 ，由 正定可知， ， ，故T()XABR,T0T，因此
5、， 为正定二次型，即 是正定矩阵. 后一个结论T0B1(,)nfx AB的证明是类似的，略.性质 3 如果 是 阶正定矩阵， 且 ，则 是正定矩阵.nk0k证明简单，略.（可类似性质 2 证，也可用正定矩阵判据证）性质 4 如果 是 阶正定矩阵，则 和 都是正定矩阵.A1A证明：若 是 阶正定矩阵，则 可逆，且存在可逆矩阵 ，使得 ，于是 ，CTA11T()AC记 ，则 可逆，且 ，因此， 是正定矩阵. 注意到 ，而 正定，1T()DC1TD1 |，所以由性质 3， 是正定矩阵.|0A性质 5 设 和 分别是 阶和 阶实对称矩阵，则分块对角矩阵 是正定矩阵当且仅当1A2nm120A和 都是正定
6、矩阵.12证明： (证明方法有多种，这里仅给出一种证法 .)（ ）若 是正定的，则 的顺序主子式全大于 0，而 的顺序主子式正是120A120A 1的顺序主子式的前 个，说明 的顺序主子式全大于 0，因此， 是正定的. 又120An1 1A，即 ，T1 22 100nmnmnmnn mnI IAA 121;第 6 章 二次型 习题 6.43因而 也是正定的，类似上面的证明可知， 是正定矩阵.210A 2A（ ）若 和 都是正定矩阵，则存在 阶可逆矩阵 和 阶可逆矩阵 ，使得 ，2 n1Cm2CT11AC，于是， 是可逆矩阵且 ，因此， 是正定矩T22C120C T12220020阵.由这些性质
7、，第 3,4,6,7,10,11,12,13 题容易证明.8. 若 是 阶实方阵 , 且对任意的非零向量 , 都有 . 证明: 存在正定矩阵 及反对An nRT0AB称矩阵 , 使得 , 并且对任意向量 ，都有 . 并问：这样的正定矩CBC ,BTC阵 和反对称矩阵 是唯一的吗？B证明： (这里 A 是实方阵，没说是对称矩阵，所以不能根据条件就说 A 是正定的.)由 p.33，习题 2.1，第 12 题，A 可唯一表示为一个对称矩阵 与一个反对称矩阵 C 之和，事实上，其中 为实对称矩阵， 为实反对称矩阵. 对任意非零向量 ，ACT1()2T1()2CA nR由于 C 是反对称矩阵，则 ，故
8、，这样，又有T()CT0T TABB因此， 是正定矩阵.B当然，由于 A 表示为对称矩阵与反对称矩阵之和的表示式是唯一的，所以，满足题意的正定矩阵和反对称矩阵 是唯一的.C9. 设 是 阶正定矩阵. 证明它的行列式 , 且等式成立当且仅当 为对角阵.()ijna 1|niAaA证明： (数学归纳法，对矩阵阶数 作归纳)n1 若 为 1 阶正定矩阵，当然 ，结论成立.)A1|a2 假设结论对所有 阶正定矩阵成立. 现考虑 阶正定矩阵情形，设 为正定矩阵. 则nn()ijna将 分块为： ，当然，由于 是实对称矩阵， 也是实对称矩阵，且 的顺序主子式恰1TnaA1A1A为 的顺序主子式的前 个，故
9、皆大于 0，即 也是正定矩阵，于是，由归纳假设， ，并A1 1|nia且等式成立当且仅当 为对角阵. 此外，根据正定矩阵的性质知， . 1A 0naT1 111TT11000nnn nnAIIIAIABa 记 为说明 相合于 ，那么 也是正定矩阵，于是， . 由于 是正定矩阵， 也是正定矩BABT111阵，则 ，这样， . 因此，T10T1naA第 6 章 二次型 习题 6.4411 T11 T1T111 00 ()nn nnniini AIIAABAaaaa 易知，上式中等号成立当且仅当： ，且 . 由归纳假设， 当且仅1|i T1na1|nia当 为对角阵. 而 当且仅当 ，由于 是正定矩
10、阵， 当且仅当1AT1naAT10A1AT10A. 因此，等号成立当且仅当： 为对角阵且 ，即 为对角阵.0nR1综上，结论对任意阶正定矩阵成立.14. 设 为 阶正定矩阵, 证明 可以表成 个半正定矩阵之和.AnAn证明：由于 为 阶正定矩阵，所以存在 阶可逆矩阵 ，使得 ，于是，CTACITTTT121100011nCCCEE 显然， ，都是半正定矩阵. 结论得证.,i15. 设 是正定矩阵, 则二次型 是负定的.()ijnAa 1122121(,)0nnnaygyy 证明：记 ，则T21(,)nyY TTT111100)(AYIAYIgy Y由于 是正定矩阵，故 是负定矩阵，因此， 是负
11、定二次型.A1A 12(,)ngy16. 证明正定矩阵的最大元素位于主对角线上. (这条也是正定矩阵的性质)证明：设 是 n 阶正定矩阵，则二次型 是正定二次型. 假如 的最大元素不()ija TfXAA在主对角线上，设 是 的最大元素，取)kllAT0,1,0,00klXkl 则 ，这与二次型 正定矛盾. 因此， 的最大元素只T00()klkllfXAaa()fXAA能在主对角线上.17. 提示：类似 p.136，定理 4，必要性证明. 只是将 “延伸”为 时，不是在后面直接补 0，k而是应将 的分量分别依次放在第 个分量位置，其余位置放上 0.k1,ki第 6 章 二次型 习题 6.45当然本题也可用合同变换思想证明.18. 提示：由 为实可逆矩阵，利用上面的性质 1（或第 13 题）知， 正定，利用第 9 题即得.B TB
