1、勾股定理全章知识点和典型例习题1、基础知识点:勾股定理内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为 , ,斜边为 ,那么abc22abc勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙
2、,面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理常见方法如下:方法一: , ,化简可证4EFGHSS正 方 形 正 方 形 ABCD214()abc方法二:四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 大正方形2214Sabc面积为 所以22()Sabab方法三: , ,化简1()梯 形 21SADEBabc梯 形得证.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形.勾
3、股定理的应用已知直角三角形的任意两边长,求第三边在 中, ,ABC90则 , , 知道直角三角形一边,可得另外两边之间的2cab2ca2cb数量关系 可运用勾股定理解决一些实际问题.勾股定理的逆定理如果三角形三边长 , , 满足 ,那么这个三角形是直角三角形,其中 为bc22c c斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和 与较2ab长边的平方 作比较,若它们相等时,以 , , 为三边的三角形是直角三角形;若2cabccbaHGFED CBAbac baccabcab abccbaEDCB
4、A,时,以 , , 为三边的三角形是钝角三角形;若 ,时,以 ,22abcabc 22abca, 为三边的三角形是锐角三角形;定理中 , , 及 只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形22三边长 , , 满足 ,那么以 , , 为三边的三角形是直角三角形,但是abc为斜边b勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形.勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即 中, , ,22abcab为正整数时,称 , , 为一组勾股数cabc记住常见的勾股数可以提高解题速度,如 ; ; ; 等3,456,8105,37,45
5、用含字母的代数式表示 组勾股数:n( 为正整数) ;221,n,( 为正整数) ( , 为正整,122,mnn,mn数)勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线(通常作垂线) ,构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解.勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形,在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不可不加思考的用两
6、边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中,是密不可分的一个整体通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决常见图形: A BC30 DCBA ADB C10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。题型一:直接考查勾股定理例.在 中, ABC90已知 , 求 的长68AB已知 , ,求 的长175C题型二:利用勾股定理测量长度例题 1 如果梯子的
7、底端离建筑物 9 米,那么 15 米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米?例题 2 如图(8),水池中离岸边 D 点 1.5 米的 C 处,直立长着一根芦苇,出水部分 BC的长是 0.5 米,把芦苇拉到岸边,它的顶端 B 恰好落到 D 点,并求水池的深度 AC.练习:(1)一架长 2.5 的梯子,斜立在一竖起的墙上,梯子底端距离墙底 0.7 (如图) ,如果mm梯子的顶端沿墙下滑 0.4 ,那么梯子底端将向左滑动 米(2)如图,一个长为 10 米的梯子,斜靠在墙面上,梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 米,如果梯子的顶端下滑 1 米,那么,梯子底端的滑动距离 1 米, (填“大于” , “等于”
8、 ,或“小于” )(3)如图,梯子 AB 斜靠在墙面上,ACBC,AC=BC,当梯子的顶端 A 沿 AC 方向下滑x 米时,梯足 B 沿 CB 方向滑动 y 米,则 x 与 y 的大小关系是( )A. B. C. D. 不能确定yx(4)小明想知道学校旗杆的高度,他发现旗杆上的绳子吹到地面上还多 1 m,当他把绳子的下端拉开 5 米后,发现绳子下端刚好触到地面,试问旗杆的高度为 米86ACB题型三:勾股定理逆定理例 1.已知 与 互为相反数,试判断以 、 、 为三边25yx25102zxyz的三角形的形状。例 2.已知:在 ABC 中,三条边长分别为 、 、 , = , =2 , = (abc
9、12nbc12n1)n试说明: C= 。90例 3.若 ABC 的三边 、 、 满足条件 ,试判断abc2acbacb26410382ABC 的形状。例题 4 如图 3,正方形 ABCD 中,E 是 BC 边上的中点,F 是 AB 上一点,且 那么ABF41DEF 是直角三角形吗?为什么?练习 1.已知 ABC 的三边 、 、 满足 ,则 ABC 为 abc0)()(22cba三角形2.在 ABC 中,若 =( + ) ( - ) ,则 ABC 是 三角形,且 2903.在 ABC 中,AB=13,AC=15,高 AD=12,则 BC 的长为 题型四:勾股定理和逆定理并用例一、如图所示,在四边
10、形 ABCD 中,BAD= , DBC= ,AD=3,AB=4,BC=12,求 CD。9090题型五:利用勾股定理求线段长度例题 4 如图 4,已知长方形 ABCD 中 AB=8cm,BC=10cm,在边 CD 上取一点 E,将ADE 折叠使点 D 恰好落在 BC 边上的点 F,求 CE 的长.题型六:利用勾股定理逆定理判断垂直例题 5 如图 5,王师傅想要检测桌子的表面 AD 边是否垂直与 AB 边和 CD 边,他测得 AD=80cm,AB=60cm,BD=100cm,AD 边与 AB 边垂直吗?怎样去验证 AD 边与 CD 边是否垂直?例题 6 有一个传感器控制的灯,安装在门上方,离地高
11、4.5 米的墙上,任何东西只要移至5 米以内,灯就自动打开,一个身高 1.5 米的学生,要走到离门多远的地方灯刚好打开?题型七:直角边与斜边和斜边上的高的关系:例一、直角三角形两直角边长为 a,b,斜边上的高为 h,则下列式子总能成立的是( )A. B. C. D. 2ba22h1221hba例二、如图,在 RtABC 中,ACB=90,CDAB 于 D,设AB=c,AC=b, BC=a,CD=h。求证:(1) 221hba(2) c(3)以 为三边的三角形是直角三角形,例三、如图 中, , , , ,求 的长ABC90121.5CD2.BAC_2_1_D_C_BA_例四、如果 Rt两直角边的
12、比为 512,则斜边上的高与斜边的比为( )A、6013 B、512 C、1213 D、60169例五、等腰三角形底边上的高为 8,周长为 32,则三角形的面积为 题型八:旋转问题:例 1、如图,ABC 是直角三角形,BC 是斜边,将ABP 绕点 A 逆时针旋转后,能与ACP重合,若 AP=3,求 PP的长。变式 1:如图,P 是等边三角形 ABC 内一点,PA=2,PB= ,PC=4,求ABC 的边长.23分析:利用旋转变换,将BPA绕点B逆时针选择60,将三条线段集中到同一个三角形中,根据它们的数量关系,由勾股定理可知这是一个直角三角形.变式2、如图,ABC为等腰直角三角形,BAC=90,
13、E、F是BC上的点,且EAF=45,试探究 间的关系,并说明理由. 22C、 、练习: 1.如图,点 P 是正ABC 内的点,且 PA=6,PB=8,PC=10 ,若将PAC 绕点 A 旋转后,得到 ,则点 P 与点 P之间的距离为 ,APB= ABPAB CP2.如图, ABC 为等腰直角三角形, BAC= ,将 ABH 绕点 A 逆时针旋转到 AC90处,若 AH=3,试求出 H、 两点之间的距离。H 3.如图所示,P 为正方形 ABCD 内一点,将 ABP 绕 B 顺时针旋转 到 CBE 的位置,90若 BP= ,求:以 PE 为边长的正方形的面积a已知直角三角形 ABC 中, ACB=
14、 ,CA=CB,圆心角为 ,半径长为 CA 的扇形9045CEF 绕点 C 旋转,且直线 CE、CF 分别与直线 AB 交于点 M、N,当扇形 CEF 绕点 C 在ACB 的内部旋转时,如图,试说明 MN 的理由。22BAEBACM NF如图所示,已知在 ABC 中,AB=AC, BAC= ,D 是 BC 上任一点,求证:BD90。22ADC已知AOB=90,在AOB 的平分线 OM 上有一点 C,将一个三角板的直角顶点与点 C重合,它的两条直角边分别与 OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点 D、E。当三角板绕点 C 旋转到 CD 与 OA 垂直时,如图,易证: ;当三角OCED2板绕点
15、C 旋转到 CD 与 OA 不垂直时,如图、这两种情况下,上述结论还是否成立?若成立,请给与证明;若不成立,线段 OE、OC、OD 之间有怎样的等量关系?请写出你的猜想,不需证明。试一试:对于第 1 问,OD=CE,问题的实质是 , ,对于第二2COE问,通过作辅助线,将问题转化为第 1 问可解决。题型九:勾股定理的面积问题(1):勾股树例 1、 (达州市)如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形 A、B、C 、D 的边长分别是 3、5、2、3,则最大正方形 E的面积是( )A.13 B.26 C.47 D.94例 2、1、2、3,正放置的四个正
16、方形的面积依次是 、S12、=_。SS41234、 , 则 课堂练习1如图:梯形ABCD中AB CD,ADC+BCD=90,以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形,其面积分别是S 1、S 2、S 3 ,且S 1 +S3 =4S2,则CD=( )A. 2.5AB B. 3AB C. 3.5AB D. 4AB2.如图,小正方形边长为 1,连接小正方形的三个得到,可得ABC,则边 AC 上的高为( )A. B. C. D. 235035354ABC3 已知如图.在四边形 ABCD 中.AB=4. BC=3.AD=13.CD=12.B=90. 求四边形 ABCD 的面积,5 已知:如图,四边形
17、 ABCD 中,ABBC,AB1,BC 2,CD2,AD3,求四边形ABCD 的面积6、已知直角三角形的周长为 ,斜边上的中线为 1,求这个三角形的面积。267. 如图,以直角三角形的三边向形外作半圆,探究 Sa、 Sb 和 Sc 之间的关系. abcCBA8. 如图,已知 ABC 中,ACB90,以 ABC 的各边为长边向形外作矩形,使其宽为长的一半,则这三个矩形的面积 S1、S 2、S 3 之间有什么关系,并证明你的结论.题型十:运用勾股定理的进行证明、非直角三角形、四边形的计算问题1已知如图.在四边形 ABCD 中,ABBCCDDA=2231.且B=90.求DAB 的度数。 DA B C
18、2.已知如图.在四边形 ABCD 中,ABC 与DCB 互余,AD=m,BC=n,证明:BD 2+AC2=m2+n23.已知如图.在四边形 ABCD 中,ABC=135,BCD=120.AB=,BC=3- ,CD=2 ,求 AD 的长。23C A DBPA DB CCBAS1 S2S34.已知如图,点 P 是矩形 ABCD 内的一点,且PA=3,PB=4,PC=5,求 PD 的长,5、在 中, , 为 边上任一点,求证:ABCDBCDCBA26、已知:如图,在 中, , 是 的中点, 于ABCRt90DACABED求证:(1) 22243(2) E7、如图,在 中, , , ,ABC9013A
19、B2CBCD1(1) 的长 . D(2) 的面积. 8、如图,有一个直角三角形纸片,两直角边 AC=6cm,BC=8cm,现将直角边 AC 沿直线 AD折叠,使它落在斜边 AB 上,且与 AE 重合,你能求出 CD 的长吗?9.如图,已知ABC 中, AD、AE 分别是 BC 边上的高和中线,AB=9 ,AC=7 ,BC=8 ,求 DE 的长。cmccmB CAD A CBDEB CADCB ADEACDEBB CDEA10、如图,在 ABC 中,ABC=90, 四边形 ACDE 是正方形,BC=6,AB=8,求RtBE 的长11、如图,在 中,ABCDACB,90是 上的点,求证:12、如图
20、,在 中,ABC相交于 ,ED、,P于 ,求证:DQQP213、如图,在等腰直角 的斜边上取异于 的两点 ,使ABCCB,FE求证:以 为边的三角形是直角三角形。,45EAFFE,14、如图,在 中, , 为斜边 中ABCRt90DBC点,,求证:DFE22FE15、如图,ABC 中, ABC=90,C=30,AD 是角平分线,求证:DC=2BD 22 题 图 )第 1(题 图 )第 12(题 图 )第 13(题 图 )第 14(AB C16.如图,OP 为角平分线,POA=30, PC OA,PD 垂直 OA,若 PC=4,求 PD17、如图所示,ABC 中, 2,30,45ABCB求:AC
21、 的长题型十一:关于翻折问题例 1、如图,矩形纸片 ABCD 的边 AB=10cm,BC=6cm,E 为 BC 上一点,将矩形纸片沿 AE折叠,点 B 恰好落在 CD 边上的点 G 处,求 BE 的长.变式:如图,AD 是ABC 的中线,ADC=45,把ADC 沿直线 AD 翻折,点 C 落在点 C的位置,BC=4, 求 BC的长.题型十二:关于勾股定理在实际中的应用:例 1、如图,公路 MN 和公路 PQ 在 P 点处交汇,点 A 处有一所中APQMNA 135CD_BCDABPOCD学,AP=160 米,点 A 到公路 MN 的距离为 80 米,假使拖拉机行驶时,周围 100 米以内会受到
22、噪音影响,那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由;如果受到影响,已知拖拉机的速度是 18 千米/小时,那么学校受到影响的时间为多少?题型十三:关于最短性问题例 5、如右图 119,壁虎在一座底面半径为 2 米,高为 4 米的油罐的下底边沿 A 处,它发现在自己的正上方油罐上边缘的 B 处有一只害虫,便决定捕捉这只害虫,为了不引起害虫的注意,它故意不走直线,而是绕着油罐,沿一条螺旋路线,从背后对害虫进行突然袭击结果,壁虎的偷袭得到成功,获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?( 取 3.14,结果保留 1 位小数,可以用计算器计算)变式:如图
23、为一棱长为 3cm 的正方体,把所有面都分为 9 个小正方形,其边长都是 1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm,则它从下地面 A 点沿表面爬行至右侧面的 B 点,最少要花几秒钟?题型十四:方向问题:1. 有一次,小明坐着轮船由 A 点出发沿正东方向 AN 航行,在 A 点望湖中小岛 M,测得MAN30,当他到 B 点时,测得MBN45,AB100 米,你能算出 AM 的长吗? M A B N 2.一轮船在大海中航行,它先向正北方向航行 8 km,接着,它又掉头向正东方向航行 15 千米 此时轮船离开出发点多少 km? 若轮船每航行 1km,需耗油 0.4 升,那么在此过程中轮船共耗油多少升?题
24、型十五:数学风车例 3(安顺市)如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的.在 RtABC 中,若直角边 AC6,BC5,将四个直角三角形中边长为6 的直角边分别向外延长一倍,得到图乙所示的“数学风车” ,则这个风车的外围周长(图乙中的实线)是.题型十六:拼图验证勾股定理例 4(新疆自治区)如图 1 是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形,两直角边长分别是 a,b,斜边长为 c 和一个边长为 c 的正方形,请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.(1)画出拼成的这个图形的示意图.(2)证明勾股定理.题型十七:剪拼操作型例 6(1)四年一度的国际数学家大会于 20
25、02 年 8 月 20 日在北京召开。大会会标如图6 甲。它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。若大正方形的面积为 13,每个直角三角形两条直角边的和是 5,求中间小正方形的面积。(2)现有一张长为 6.5cm、宽为 2cm 的纸片,如图 6 乙,请你将它分割成 6 块,在拼cbacbacbacbacc图 1合成一个正方形。(要求:先在图乙中画出分割线,再画出拼成的正方形并表明相应数据)题型十八、方案设计例 7(恩施自治州)恩施州自然风光无限,特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷(A)和世界级自然保护区星斗山(B)位于笔直的沪渝高速公路 X同侧,AB
26、50km ,A 、B 到直线 X 的距离分别为 10km 和 40km,要在沪渝高速公路旁修建一服务区 P,向 A、B 两景区运送游客.小民设计了两种方案,图 1 是方案一的示意图(AP与直线 X 垂直,垂足为 P) ,P 到 A、B 的距离之和 S1PA+PB,图 2 是方案二的示意图(点 A 关于直线 X 的对称点是 A,连接 BA交直线 X 于点 P) ,P 到 A、B 的距离之和S2PA +PB.(1)求 S1、S 2,并比较它们的大小;(2)请你说明 S2PA+PB 的值为最小;(3)拟建的恩施到张家界高速公路 Y 与沪渝高速公路垂直,建立如图 3 所示的直角坐标系,B 到直线 Y
27、的距离为 30km,请你在 X 旁和 Y 旁各修建一服务区 P、Q,使P、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值 .BAP X图 1C GYXBAQPO图 3ABCBAP XA图 2M三、课后训练:一、填空题1如图(1),在高 2 米,坡角为 30的楼梯表面铺地毯,地毯的长至少需 _米图(1)2种盛饮料的圆柱形杯(如图) ,测得内部底面半径为 2.5,高为 12,吸管放进杯里,杯口外面至少要露出 4.6,问吸管要做 。3已知:如图,ABC 中,C = 90,点 O 为ABC 的三条角平分线的交点,ODBC,OEAC,OF AB,点 D、E、F 分别是垂足,且 BC = 8cm
28、,CA = 6cm,则点 O 到三边 AB,AC和 BC 的距离分别等于 cm4在一棵树的 10 米高处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树 20 米处的池塘的 A 处。另一只爬到树顶 D 后直接跃到 A 处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高_米。5.如图是一个三级台阶,它的每一级的长宽和高分别为 20dm、3dm、2dm,A 和 B 是这个台阶两个相对的端点,A 点有一只蚂蚁,想到 B点去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬到 B 点最短路程是_.二、选择题1已知一个 Rt的两边长分别为 3 和 4,则第三边长的平方是( )A、25 B、14 C、7 D、7 或 252Rt
29、 一直角边的长为 11,另两边为自然数,则 Rt的周长为( )A、121 B、120 C、132 D、不能确定COA BDEF第 3 题图DBC A第 4 题图 203B3如果 Rt两直角边的比为 512,则斜边上的高与斜边的比为( )A、6013 B、5 12 C、1213 D、601694已知 RtABC 中,C=90,若 a+b=14cm,c=10cm,则 RtABC 的面积是( )A、24cm 2 B、36cm 2 C、48cm 2 D、60cm 25等腰三角形底边上的高为 8,周长为 32,则三角形的面积为( )A、56 B、48 C、40 D、326某市在旧城改造中,计划在市内一块
30、如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米售价 a 元,则购买这种草皮至少需要( )A、450a 元 B、225a 元 C、150a 元 D、300a 元7已知,如图长方形 ABCD 中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠,使点 B 与点 D 重合,折痕为 EF,则ABE的面积为( )A、6cm 2 B、8cm 2 C、10cm 2 D、12cm 28在ABC 中,AB =15,AC=13,高 AD=12,则ABC 的周长为A42 B32 C42 或 32 D37 或 339. 如图,正方形网格中的ABC,若小方格边长为 1,则ABC 是 ( )(A)直角三角形 (
31、B)锐角三角形 (C)钝角三角形 (D)以上答案都不对三、计算1、如图,A、B 是笔直公路 l 同侧的两个村庄,且两个村庄到直路的距离分别是 300m 和 500m,两村庄之间的距离为 d(已知 d2=400000m2),现要在公路上建一汽车停靠站,使两村到停靠站的距离之和最小。问最小是多少?2、如图 1-3-11,有一块塑料矩形模板 ABCD,长为 10cm,宽为 4cm,将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点 P 落在 AD 边上(不与 A、D 重合) ,在 AD 上适当移动三角板顶点 P:能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与点 C?若能,请你求出这时 AP 的长;若不能,请
32、说明理由.再次移动三角板位置,使三角板顶点 P 在 AD 上移动,直角边 PH 始终通过点 B,另一直角边 PF 与 DC 的延长线交于点 Q,与 BC 交于点 E,能否使 CE=2cm?若能,请你求出这时 AP 的长;若不能,请你说明理由.四、思维训练:1、如图所示是从长为 40cm、宽为 30cm 的矩形钢板的左上角截取一块长为 20cm,宽为 10cm 的矩形后,剩下15020m 30m第 6 题图ABEFDC第 7 题图 ABCBl的一块下脚料。工人师傅要将它做适当的切割,重新拼接后焊成一个面积与原下脚料的面积相等,接缝尽可能短的正方形工件,请根据上述要求,设计出将这块下脚料适当分割成
33、三块或三块以上的两种不同的拼接方案(在图 2,3 中分别画出切割时所沿的虚线,以及拼接后所得到的正方形,保留拼接的痕迹) 。2、葛藤是一种刁钻的植物,它自己腰杆不硬,为了争夺雨露阳光,常常饶着树干盘旋而上,它还有一手绝招,就是它绕树盘升的路线,总是沿着短路线盘旋前进的。难道植物也懂得数学吗?如果阅读以上信息,你能设计一种方法解决下列问题吗?如果树的周长为 3 cm,绕一圈升高 4cm,则它爬行路程是多少厘米?如果树的周长为 8 cm,绕一圈爬行 10cm,则爬行一圈升高多少厘米?如果爬行 10 圈到达树顶,则树干高多少厘米?3、在,ABC 中,ACB=90,CDAB 于 D,求证:。2211CDB30cm30cm40cm10cmBA DC