1、- 1 -第 六 节 双 曲 线 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质2了解圆锥曲线的简单应用、了解双曲线的实际背景、了解双曲线在刻画现实世界或解决实际问题中的作用3理解数形结合的思想知识点一 双曲线的定义 平面内动点 P 与两个定点 F1， F2(|F1F2|2 c0)的距离_为常数 2a(2a0， b0) 1y2a2 x2b2(a0， b0)图形范围 x a 或 x a， yR xR， y a， y a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1( a,0)， A2(a,0)顶点坐标：A1_， A2_渐近线 y xba _离心率
2、 e ， e_，其中 cca a2 b2性质实虚轴线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长| A1A2|_；线段 B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长| B1B2|2 b； a 叫做双曲线的实半轴长， b 叫做双曲线的虚半轴长a、 b、 c的关系c2_( ca0， cb0)2.等轴双曲线_和_等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为_，离心率为_答案1(0， a) (0， a) y x (1，) 2 a a2 b2ab2实轴 虚轴 y x e 23双曲线方程： 1，那么 k 的范围是( )x2|k| 2 y25 kA k5B25解析：由题意知，(| k|2)(5 k)5.答案：D4(2016新课标
3、全国卷)已知 F1， F2是双曲线 E： 1 的左、右焦点，点 M 在x2a2 y2b2E 上， MF1与 x 轴垂直，sin MF2F1 ，则 E 的离心率为( )13A. B232C. D23解析：设 F1( c,0)，将 x c 代入双曲线方程，得 1，所以 1 ，c2a2 y2b2 y2b2 c2a2 b2a2所以 y .因为 sin MF2F1 ，所以 tan MF2F1 b2a 13 |MF1|F1F2| b2a2c b22ac c2 a22ac c2a a2c ，所以 e2 e10，所以 e .故选 A.e2 12e 24 22 2答案：A5(选修 11P53 练习第 3 题改编
4、)以椭圆 1 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲x24 y23线方程为_解析：设要求的双曲线方程为 1( a0， b0)，由椭圆 1，得焦点为x2a2 y2b2 x24 y23(1,0)，顶点为(2,0)所以双曲线的顶点为(1,0)，焦点为(2,0)所以a1， c2，所以 b2 c2 a23，所以双曲线标准方程为 x2 1.y23答案： x2 1y23热点一 双曲线的定义及应用 【例 1】 已知 F 是双曲线 1 的左焦点， A(1,4)， P 在双曲线右支上运动，则x24 y212|PF| PA|的最小值为_【解析】 如图所示，设双曲线的右焦点为 E，则 E(4,0)由双曲线的定义及标准方程得|
5、 PF| PE|4，则| PF| PA|4| PE| PA|.由图可得，当 A， P， E 三点共线时，- 4 -(|PE| PA|)min| AE|5，从而| PF| PA|的最小值为 9.【答案】 9【总结反思】双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合| PF1| PF2|2 a，运用平方的方法，建立与| PF1|，| PF2|的联系.(1)已知 F1、 F2为双曲线 C： x2 y22 的左、右焦点，点 P 在 C 上，| PF1|2| PF2|，则cos F1PF
6、2( )A. B.14 35C. D.34 45(2)设椭圆 C1的离心率为 ，焦点在 x 轴上且长轴长为 26，若曲线 C2上的点到椭圆 C1513的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8，则曲线 C2的标准方程为( )A. 1 B. 1x242 y232 x2132 y252C. 1 D. 1x232 y242 x2132 y2122解析：(1)由 x2 y22，知 a b ， c2.由双曲线定义，| PF1| PF2|2 a2 ，2 2又| PF1|2| PF2|，| PF1|4 ，| PF2|2 ，在 PF1F2中，2 2|F1F2|2 c4，由余弦定理，得 cos F1PF2 .|PF1
7、|2 |PF2|2 |F1F2|22|PF1|PF2| 34(2)由题意知椭圆 C1的焦点坐标为 F1(5，0)， F2(5,0)，设曲线 C2上的一点 P，则| PF1| PF2|80， b0)的焦距为 2 ，且双曲线的x2a2 y2b2 5一条渐近线与直线 2x y0 垂直，则双曲线的方程为( )A. y21 B x2 1x24 y24C. 1 D 13x220 3y25 3x25 3y220【解析】 由题意得 c ， ，则 a2， b1，所以双曲线的方程为 y21.5ba 12 x24【答案】 A【总结反思】求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线由双曲线定
8、义，确定 2a,2b 或 2c，从而求出 a2， b2，写出双曲线方程(2)待定系数法：先确定焦点在 x 轴还是 y 轴，设出标准方程，再由条件确定 a2， b2的值，即“先定型，再定量” ，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为 ( 0)，x2m2 y2n2再根据条件求 的值.(1)已知双曲线 1( a0， b0)的一个焦点与圆 x2 y210 x0 的圆心重合，且双x2a2 y2b2曲线的离心率等于 ，则该双曲线的标准方程为( )5A. 1 B. 1x25 y220 x225 y220C. 1 D. 1x220 y25 x220 y225(2)已知双曲线过点(4， )，且渐近线方程为 y
9、 x，则该双曲线的标准方程为312_解析：(1)由题意知圆心坐标为(5,0)，即 c5，又 e ，所以 a25， b220，所ca 5以双曲线的标准方程为 1.x25 y220- 6 -(2)法 1：双曲线的渐近线方程为 y x，可设双曲线的方程为12x24 y2 ( 0)双曲线过点(4， )， 164( )24，双曲线的标准方3 3程为 y21.x24法 2：渐近线 y x 过点(4,2)，而 0， b0)由已知条件可得Error!解得Error!双曲线的标准方程为 y21.x2a2 y2b2 x24答案：(1)A (2) y21x24热点三 双曲线的几何性质 考向 1 求双曲线的离心率【例
10、 3】 (2016山东卷)已知双曲线 E： 1( a0， b0)若矩形 ABCD 的四个x2a2 y2b2顶点在 E 上， AB， CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|3| BC|，则 E 的离心率是_【解析】 如图，由题意不妨设| AB|3，则| BC|2.设 AB， CD 的中点分别为 M， N，则在 Rt BMN- 7 -中，| MN|2 c2，故| BN| .由双曲线的定义可得|BM|2 |MN|2 32 2 22 522a| BN| BM| 1，而 2c| MN|2.所以双曲线的离心率 e 2.52 32 2c2a【答案】 2考向 2 求双曲线的渐近线【例 4】 已知 F1
11、， F2是双曲线 C： 1( a0， b0)的两个焦点， P 是 C 上一点，x2a2 y2b2若| PF1| PF2|6 a，且 PF1F2最小内角的大小为 30，则双曲线 C 的渐近线方程是( )A. xy0 B x y02 2C x2y0 D2 xy0【解析】 由题意，不妨设| PF1|PF2|，则根据双曲线的定义得，| PF1| PF2|2 a，又| PF1| PF2|6 a，解得| PF1|4 a，| PF2|2 a.在 PF1F2中，| F1F2|2 c，而 ca，所以有| PF2|0， b0)中，离x2a2 y2b2- 8 -心率 e 与双曲线的渐近线的斜率 k 满足关系式 e2
12、1 k2.ba(2)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 a， b， c 的方程或不等式，利用 b2 c2 a2和 e 转化为关于 e 的方程或不等式，通过解方程或不等ca式求得离心率的值或取值范围.(1)(2017安徽合肥质检)若双曲线 C1： 1 与 C2： 1( a0， b0)的渐近x22 y28 x2a2 y2b2线相同，且双曲线 C2的焦距为 4 ，则 b( )5A2 B4C6 D8(2)已知双曲线 C： 1( a0， b0)的离心率为 ，则 C 的渐近线方程为( )x2a2 y2b2 52A y x B y x14 13C y x D y x12(3)
13、(2017江西名校学术联盟一调)设 A1， A2分别为双曲线 C： 1( a0， b0)的x2a2 y2b2左、右顶点，若双曲线上存在点 M 使得两直线斜率 k k 2，则双曲线 C 的离心率的取MA1 MA2值范围为( )A(0， ) B(1， )3 3C( ，) D(0,3) 3解析：(1)由题意，得 2 b2 a， C2的焦距 2c4 c 2 b4，故选ba 5 a2 b2 5B.(2)由题意得， e c a a2 a2 b2b a，故渐近线方程为ca 52 52 54 12y x x，故选 C.ba 12(3)设 M(x， y)， A1( a,0)， A2(a,0)，则 k ， k ，
14、 k k MA1 yx a MA2 yx a MA1 MA2(*)又 M(x， y)在双曲线 1 上， y2 b2 ，代入(*)式得，y2x2 a2 x2a2 y2b2 (x2a2 1)- 9 - 2，即 e2121 e .b2x2 a2b2a2 x2 a2 b2a2 c2 a2a2 3答案：(1)B (2)C (3)B双曲线类型问题与椭圆类型问题类似，因而研究方法也有许多类似之处，如“利用定义”， “方程观点” ， “直接法或待定系数法求曲线方程” ， “数形结合”等但双曲线多了渐近线，问题变得略为复杂和丰富多彩复习中要注意如下两个问题：(1)已知双曲线方程，求出它的渐近线方程；(2)求已知
15、渐近线的双曲线方程；已知渐近线方程为 axby0 时，可设双曲线方程为a2x2 b2y2 ( 0)，再利用其他条件确定 的值，此方法的实质是待定系数法忽视“判别式”致误【例】 已知双曲线 x2 1，过点 P(1,1)能否作一条直线 l，与双曲线交于 A、 B 两y22点，且点 P 是线段 AB 的中点？【分析】 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，所以在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑“判别式” 致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑“判别式” ，导致解题错误【解】 设点 A(x1， y1)， B(x2， y2)在双曲线上，且线段 AB 的中点为(
16、 x0， y0)，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意设经过点 P 的直线 l 的方程为 y1 k(x1)，即 y kx1 k，由Error!得(2 k2)x22 k(1 k)x(1 k)220(2 k20)- 10 - x0 .x1 x22 k 1 k2 k2由题意，得 1，解得 k2.k 1 k2 k2当 k2 时，方程成为 2x24 x30. 162480，方程没有实数解不能作一条直线 l 与双曲线交于 A， B 两点，且点 P(1,1)是线段 AB 的中点解题策略：(1)本题是以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不一定正确错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的(2)本题属探索性问题若存在，可用点差法求出 AB 的斜率，进而求方程；也可以设斜率 k，利用待定系数法求方程(3)求得的方程是否符合要求，一定要注意检验
