1、1北师版八年级数学第 1 章 勾股定理一知识归纳勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 ， ，斜边为 ，那么abc22abc勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五” 形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有
2、空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一： ， ，化简可证4EFGHSS正 方 形 正 方 形 ABCD214()abc cbaHGFED CBA方法二： bac baccabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 2214Sabc大正方形面积为 22()Sabab所以 22abc方法三： ， ，化简得证1()Sab梯 形 212SADEBabc梯 形2abccbaEDCBA.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐
3、角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形.勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长，求第三边在 中， ，则 ， ，ABC902cab2ca2cb知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决一些实际问题.勾股定理的逆定理如果三角形三边长 ， ， 满足 ，那么这个三角形是直角三角形，其中 为斜边abc22abc c勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和 与较长边的平方 作比较，若它2ab2们相等时，以 ， ， 为三边
4、的三角形是直角三角形；若 ，时，以 ， ， 为三边的三角cab形是钝角三角形；若 ，时，以 ， ， 为三边的三角形是锐角三角形；22abcabc定理中 ， ， 及 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 ， ， ab满足 ，那么以 ， ， 为三边的三角形是直角三角形，但是 为斜边c2a勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形.勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 中， ， ， 为正整数时，22abcabc称 ， ， 为一组勾股数abc记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 ； ； ； 等3,456,
5、8105,37,45用含字母的代数式表示 组勾股数：n（ 为正整数） ；221,n,（ 为正整数）,1（ ， 为正整数）22,mnn,mn勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线） ，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.勾股定理逆定理的应用3勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，
6、切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决常见图形： A BC30 DCBAADBCCB DA题型一：直接考查勾股定理例.在 中， AC90已知 ， 求 的长68B已知 ， ，求 的长175C分析：直接应用勾股定理 22abc解： 20A 8BC题型二：应用勾股定理建立方程例.在 中， ， ， ， 于 ， A905ABcm3CcDABC已知直角三角形的两直角边长之比为
7、，斜边长为 ，则这个三角形的面积为 :415已知直角三角形的周长为 ，斜边长为 ，则这个三角形的面积为 3分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积有时可根据勾股定理列方程求解解： ，24ACB2.4ACBD4DBAC设两直角边的长分别为 ， ， ，3k422()415k3k54S设两直角边分别为 ， ，则 ， ，可得ab789ab60ab1302ab2cm例.如图 中， ， ， ， ，求 的长ABC90121.5CD2.BAC 21 EDC BA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作 于 ，DB，1290C.5E在 中2,BBDERtACt
8、E在 中，t90，22B22()4AEBC3A例 4.如图 ， ,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积RtC3, BAC答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例 5.如图有两棵树，一棵高 ，另一棵高 ，两树相距 ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一8cm2c8cm棵数的树梢，至少飞了 5AB CDE分析：根据题意建立数学模型，如图 ， ， ，过点 作 ，垂足为 ，8Am28BmDEABE则 ，6AEm8D在 中，由勾股定理得Rt210ED答案： 10题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例 6.已知三角形的三边长为 ， ， ，判定 是否为abcABCRt ， ， ， ，1.5
9、a2b.5c54123c解： ，262.6是直角三角形且ABC90C ， ， 不是直角三角形239bc21a22bcaABC例 7.三边长为 ， ， 满足 ， ， 的三角形是什么形状？18c解：此三角形是直角三角形理由： ，且22()64abab2所以此三角形是直角三角形c题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例 8.已知 中， ， ， 边上的中线 ，求证：ABC13cm10BCc12ADcmABC证明： DCBA为中线，A5Bcm在 中， ， ，21692169AB22DBA， ， ，902AC3cmC一、 选择题1、在 RtABC 中，C=90，三边长分别为 a、b、c，则下列结论中恒
10、成立的是 ( )6A、2abc 2 D、2abc 22、已知 x、y 为正数，且x 2-4+（y 2-3） 2=0，如果以 x、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ） A、5B、25 C、7 D、153、直角三角形的一直角边长为 12，另外两边之长为自然数，则满足要求的直角三角形共有（ ） A、4 个 B、5 个 C、6 个 D、8 个4、下列命题如果 a、b、c 为一组勾股数，那么 4a、4b、4c 仍是勾股数；如果直角三角形的两边是 3、4，那么斜边必是 5；如果一个三角形的三边是 12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；一个等腰直角
11、三角形的三边是 a、b、c， （ab=c） ，那么a2b 2c 2=211。其中正确的是（ ）A、 B、 C、 D、5、若ABC 的三边 a、b、c 满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则此为（ ）A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、不能确定6、已知等腰三角形的腰长为 10，一腰上的高为 6，则以底边为边长的正方形的面积为（ ）A、40 B、80 C、40 或 360 D、80 或 3607、如图，在 RtABC 中，C=90，D 为 AC 上一点，且 DA=DB=5，又DAB 的面积为 10，那么 DC 的长是（ ）A、4 B、3 C、5 D、4.5 8、
12、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边 AC=6，BC=8。现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，则 CD 等于（ ）A、2 B、3 C、4 D、59.一只蚂蚁从长、宽都是 3，高是 8 的长方体纸箱的 A 点沿纸箱爬到 B 点，那么它所行的最短路线的长是_。10.在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面 1 米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为 2 米，问这里水深是_m。二.解答题1.如图，某沿海开放城市 A 接到台风警报，在该市正南方向 260km 的 B 处有一台风中心，沿BC 方向以 15km/h 的速度向 D 移动，
13、已知城市 A 到 BC 的距离 AD=100km，那么台风中心经过多长时间从 B 点移到 D 点？如果在距台风中心 30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在 D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？2、数组 3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；都是勾股数，若奇数 n 为直角三角形的一直角边，用含 n 的代数式表示斜边和另一直角边。并写出接下来的两组勾股数。A BDC第 7 题图ACDB A D B C B A C D 第 14题 图 E第 8 题图ABCD第 1 题图A DB CBACD第 9 题图73、一架方梯长 25 米，如图，斜靠
14、在一面墙上，梯子底端离墙 7 米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了 4 米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？（3）当梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等时，这时梯子的顶端距地面有多高？4.如图，A、B 两个小集镇在河流 CD 的同侧，分别到河的距离为 AC=10 千米，BD=30 千米，且 CD=30 千米，现在要在河边建一自来水厂，向 A、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3 万，请你在河流 CD 上选择水厂的位置 M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？答案：1-5 DCACC 6-8 CBB 9、 10 10、1.5AABAAOAABC D L第 4 题图
