1、数学思维的教育1第二十六讲 含参数的一元二次方程的整数根问题数学思维的教育2对于一元二次方程 ax2bxc=0(a0)的实根情况，可以用判别式 =b 2-4ac 来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质本讲结合例题来讲解一些主要的方法例 1 m 是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x72 0有两个不相等的正整数根解法 1 首先，m 2-10， m1=36(m- 3)20，所以 m3用求根公式可得由于 x1，x 2是正整数，所以m-1=1，2，3，6，m+1=1，2
2、，3，4，6，12，解得 m=2这时 x1=6，x 2=4解法 2 首先，m 2-10， m1设两个不相等的正整数根为 x1，x 2，则由根与系数的关系知所以 m2-1=2，3，4，6， 8，9，12，18，24，36，72，即m23，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，只有 m2=4，9，25 才有可能，即 m=2，3，5经检验，只有 m=2 时方程才有两个不同的正整数根说明 一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话)，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法 1 就是这样做的有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法 2
3、就是如此，这些都是最自然的做法例 2 已知关于 x 的方程a2x2-(3a2-8a)x2a 2-13a 15=0(其中 a 是非负整数)至少有一个整数根，求 a 的值数学思维的教育3分析 “至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来解 因为 a0，所以所以所以只要 a 是 3 或 5 的约数即可，即 a=1，3，5例 3 设 m 是不为零的整数，关于 x 的二次方程mx2-(m-1)x10有有理根，求 m 的值解 一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数令=(m- 1)2-4mn 2，
4、其中 n 是非负整数，于是m2-6m+1=n2，所以 (m-3)2-n2=8，(m-3n)(m- 3-n)8由于 m-3nm-3- n，并且(m-3n)+(m- 3-n)=2(m-3)是偶数，所以 m-3n 与 m-3-n 同奇偶，所以数学思维的教育4说明 一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决例 4 关于 x 的方程ax2+2(a-3)x+(a-2)=0至少有一个整数解，且 a 是整数，求 a 的值解 当 a=0 时，原方程变成-6x- 2=0，无整数解当 a0 时，方程是一元二次方程，它至少有一个整
5、数根，说明判别式4(a-3) 2-4a(a-2)4(9-4a)为完全平方数，从而 9-4a 是完全平方数令 9-4a=n2，则 n 是正奇数，要使 x1为整数，而 n 为正奇数，只能 n=1，从而 a=2要使 x2为整数，即 n-34，n可取 1，5，7，从而 a=2，-4，- 10综上所述，a 的值为 2，-4，- 10说明 本题是前面两种方法的“综合”既要用判别式是平方数，又要用直接求根有时候，往往是几种方法一同使用例 5 已知关于 x 的方程x2(a- 6)xa=0的两根都是整数，求 a 的值数学思维的教育5解 设两个根为 x1x 2，由韦达定理得从上面两式中消去 a 得x1x2+x1+
6、x26，所以 (x 11)(x 2+1)=7，所以 a=x1x2=0 或 16说明 利用韦达定理，然后把参数消去，得到的是关于 x1，x 2的不定方程，而求解这个对称的不定方程往往是容易入手的例 6 求所有有理数 r，使得方程rx2+(r+1)x(r- 1)=0的所有根是整数分析 首先对 r=0 和 r0 进行讨论r=0 时，是关于 x 的一次方程；r0 时，是关于x 的二次方程，由于 r 是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或用判别式来做，均不能奏效可用韦达定理，先把这个有理数 r 消去解 当 r=0 时，原方程为 x-1=0，所以 x=1当 r0 时，原方程是关于 x 的一元二次方程
7、，设它的两个整数根为 x1，x 2，且x1x 2，则消去 r 得x1x2-x1-x22，数学思维的教育6所以(x 1-1)(x2-1)=3例 7 已知 a 是正整数，且使得关于 x 的一元二次方程ax22(2a- 1)x4(a-3)=0至少有一个整数根，求 a 的值解 将原方程变形为(x2) 2a= 2(x6)显然 x20，于是由于 a 是正整数，所以 a1，即所以 x 2+2x-80，(x4)(x- 2)0，所以 -4x2(x-2)当 x=-4，-3，- 1，0，1，2 时，得 a 的值为 1，6，10，3，说明 从解题过程中知，当 a=1 时，有两个整数根-4，2；当 a=3，6，10 时
8、，方程只有一个整数根有时候，在关于 x 的一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数来求解数学思维的教育7例 8 已知方程 x2+bx+c=0 与 x2+cxb=0 各有两个整数根 x1，x 2(2)求证：b-1cb1 ；(3)求 b，c 的所有可能的值解 (1)由 x1x20 知，x 1与 x2同号若 x10，则 x20，(2)由(1)知，x 10，x 20，所以 x1-1，x 2- 1由韦达定理c-(b- 1)=x1x2x 1x 21=(x11)(x2+1)0，所以 cb-1同理有所以 cb+1，所以 b-1cb+1(3)由(2)可知，b 与 c 的关系有如下三种情况：(i)c=b1由韦达定理知x1x2=-(x1x 2)1，所以 (x 11)(x 21)=2，解得 x1x 2=-5，x 1x2=6，所以 b=5，c=6(ii)c=b由韦达定理知x1x2=-(x1x 2)，数学思维的教育8所以 (x 1+1)(x21)=1，所以 x1=x2=-2，从而 b=4，c=4(iii)c=b-1由韦达定理知所以综上所述，共有三组解：(b，c)=(5，6)，(4，4)，(6，5)
